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1. 向量組及其線性組合

定義 1 ??? $n$ 個(gè)有次序的數(shù) $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{n}$ 所組成的數(shù)組稱為 $n$ 維向量，這 $n$ 個(gè)數(shù)稱為該向量的 $n$ 個(gè)分量，第 $i$ 個(gè)數(shù) $a_{i}$ 稱為第 $i$ 個(gè)分量。

$n$ 維向量可寫成一行或者一列，分別稱為行向量與列向量，也就是行矩陣和列矩陣。
$n$ 維列向量
$a=\begin{pmatrix} a_{1}\\ a_{2}\\ \vdots\\ a_{n}\\ \end{pmatrix}$
與 $n$ 維行向量
$a^{T} = \begin{pmatrix} a_{1} , a_{2} , ... , a_{n}\\ \end{pmatrix},$
總看做是兩個(gè)不同的向量。

定義 1 ??? 給定向量組 $A:a_{1},a_{2},\cdots ,a_{m}$ ，對(duì)于任何一組實(shí)數(shù) $k_{1},k_{2},\cdots ,k_{m}$ ，表達(dá)式 $k_{1}a_{1}+k_{2}a_{2}+\cdots +k_{m}a_{m}$ 稱為向量組 $A$ 的一個(gè)線性組合， $k_{1},k_{2},\cdots ,k_{m}$ 稱為這個(gè)線性組合的系數(shù)。

定義 2 ??? 給定向量組 $A:a_{1},a_{2},\cdots ,a_{m}$ 和向量 $b$ ，如果存在一組數(shù) $\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots ,\lambda_{m}$ ，使 $b=\lambda_{1}a_{1}+\lambda_{2}a_{2}+\cdots +\lambda_{m}a_{m}$ 則向量 $b$ 是向量組 $A$ 的線性組合，這時(shí)稱向量 $b$ 能由向量組 $A$ 線性表示。

定理 1 ??? 向量 $b$ 能由向量組 $A:a_{1},a_{2},\cdots ,a_{m}$ 線性表示的充分必要條件是矩陣 $A=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{m})$ 的秩等于矩陣 $B=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{m},b)$ 的秩。

定義 3 ??? 設(shè)有兩個(gè)向量組 $A:a_{1},a_{2},\cdots ,a_{m}$ 及 $B:b_{1},b_{2},\cdots ,b_{l}$ ，若 $B$ 組中的每個(gè)向量都能由向量組 $A$ 線性表示，則稱向量組 $B$ 能由向量組 $A$ 線性表示。若向量組 $A$ 與向量組 $B$ 能相互線性表示，則稱這兩個(gè)向量組等價(jià)。

定理 2 ??? 向量組 $B:b_{1},b_{2},\cdots ,b_{l}$ 能由向量組 $A:a_{1},a_{2},\cdots ,a_{m}$ 線性表示的充分必要條件是矩陣 $A=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{m})$ 的秩等于矩陣 $(A,B)=(a_{1},\cdots ,a_{m},b_{1},\cdots ,b_{l})$ 的秩，即 $R(A)=R(A,B)$

推論 ??? 向量組 $A:a_{1},a_{2},\cdots ,a_{m}$ 與向量組 $B:b_{1},b_{2},\cdots ,b_{l}$ 等價(jià)的充分必要條件是 $R(A) = R(B)= R(A,B)$ ，其中 $A,B$ 是向量組 $A$ 和 $B$ 組成的矩陣。

定理 3 ??? 設(shè)向量組 $B:b_{1},b_{2},\cdots ,b_{l}$ 能由向量組 $A:a_{1},a_{2},\cdots ,a_{m}$ 線性表示，則 $R(b_{1},b_{2},\cdots ,b_{l}) \leqslant R(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{m})$

定理 4 ??? 向量 $\beta$ 能由向量組 $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{s}$ 線性表示出 $\Leftrightarrow 非齊次線性方程組[a_{1}, a_{2}, \dots, a_{s}]\begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{s} \end{bmatrix}=\beta有解\\ \Leftrightarrow 秩 r[a_{1},a_{2},\cdots ,a_{s}] = r[a_{1},a_{2},\cdots ,a_{s}, \beta]$

2. 向量組的線性相關(guān)性

定義 1??? 給定向量組 $A:a_{1},a_{2},\cdots ,a_{m}$ ，如果存在不全為0的數(shù) $k_{1},k_{2},\cdots ,k_{m}$ ，使 $k_{1}a_{1}+k_{2}a_{2}+\cdots +k_{m}a_{m}=0$ 則稱向量組 $A$ 是線性相關(guān)的，否則稱它線性無(wú)關(guān)。

向量組 $A:a_{1},a_{2},\cdots ,a_{m}(m \geqslant 2)$ 線性相關(guān)，也就是在向量組 $A$ 中至少有一個(gè)向量能由其余 $m-1$ 個(gè)向量線性表示。

定理 1 ??? 向量組 $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{m}$ 線性相關(guān)的充分必要條件是它所構(gòu)成的矩陣 $A=(a_{1},a_{2},\cdots ,a_{m})$ 的秩小于向量個(gè)數(shù) $m$ ，向量組 $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{m}$ 線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是 $R(A)=m$ 。

定理 2 ??? (1) 若向量組 $A:a_{1},a_{2},\cdots ,a_{m}$ 線性相關(guān)，則向量組 $B:a_{1},a_{2},\cdots ,a_{m},a_{m+1}$ 也線性相關(guān)。反言之，若向量組 $B$ 線性無(wú)關(guān)，則向量組 $A$ 也線性無(wú)關(guān)。
(2) $m$ 個(gè) $n$ 維向量組成的向量組，當(dāng)維數(shù) $n$ 小于向量的個(gè)數(shù) $m$ 時(shí)一定線性相關(guān)。特別的， $n+1$ 個(gè) $n$ 維向量一定線性相關(guān)。
(3) 設(shè)向量組 $A:a_{1},a_{2},\cdots ,a_{m}$ 線性無(wú)關(guān)，而向量組 $B:a_{1},a_{2},\cdots ,a_{m},b$ 線性相關(guān)，則向量 $b$ 必能由向量組 $A$ 線性表示，且表示式是惟一的。

推論 ??? 若向量組 $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{m}$ 線性無(wú)關(guān) $\Rightarrow$ 延伸組 $\tilde{a}_{1},\tilde{a}_{2},\cdots ,\tilde{a}_{m}$ 線性無(wú)關(guān)
??? ??? ??? 若 $\tilde{a}_{1},\tilde{a}_{2},\cdots ,\tilde{a}_{m}$ 線性相關(guān) $\Rightarrow$ 縮短組 $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{m}$ 線性相關(guān)
（向量組 $a_{1} = [a_{11}, a_{21},\cdots, a_{r1}]^{T}$ ， $\tilde{a}_{1} = [a_{11}, a_{21},\cdots, a_{r1},\cdots, a_{s1}]$ ，其中 $s\geqslant r$ ，稱 $\tilde{a}_{1}$ 為 $a_{1}$ 的延伸組（或稱 $a_{1}$ 為 $\tilde{a}_{1}$ 的縮短組））

定理 3 ??? 如果向量組 $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{s}$ 可由向量組 $b_{1},b_{2},\cdots ,b_{t}$ 線性表示，而且 $s>t$ ，那么 $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{s}$ 線性相關(guān)。即如果多數(shù)向量組能由少數(shù)向量組線性表示，那么多數(shù)向量一定線性相關(guān)。

推論 ??? 若向量組 $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{m}$ 線性無(wú)關(guān)，且它可由 $b_{1},b_{2},\cdots ,b_{t}$ 線性表示，則 $s\leqslant t$ 。

定理 4 ??? 向量組 $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{s}$ 線性相關(guān) $\Leftrightarrow 齊次線性方程組[a_{1}, a_{2}, \dots, a_{s}]\begin{bmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{s} \end{bmatrix}=0有非零解\\ \Leftrightarrow 向量組的秩 r[a_{1},a_{2},\cdots ,a_{s}] < s \\ \Leftrightarrow 行列式 |a_{1},a_{2},\cdots ,a_{s}|=0$

3. 向量組的秩

略

4. 線性方程組解的結(jié)構(gòu)

定義 1??? 下列三種變換稱為線性方程組的初等變換：
(1) 用一個(gè)非零常數(shù)項(xiàng)乘方程的兩邊
(2) 把某方程的 $k$ 倍加到另一個(gè)方程上
(3) 互換兩個(gè)方程的位置
線性方程組經(jīng)初等變換化為階梯型方程組后，每個(gè)方程中的第一個(gè)未知量通常稱為主變量，其余的未知量稱為自由變量。

定義 2??? 向量組 $\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{t}$ 稱為齊次線性方程組 $Ax=0$ 的基礎(chǔ)解系，如果：
(1) $\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{t}$ 是 $Ax=0$ 的解
(2) $\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{t}$ 線性無(wú)關(guān)
(3) $Ax=0$ 的任一解均可由 $\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{t}$ 線性表示

定義 3??? 如果 $\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{t}$ 是齊次線性方程組 $Ax=0$ 的一組基礎(chǔ)解系，那么對(duì)于任意常數(shù) $c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{t}$ ， $c_{1}\eta_{1}+ c_{2}\eta_{2}+ \cdots+ c_{t}\eta_{t}$ 是齊次方程組 $Ax=0$ 的通解。

定理 1??? 設(shè)齊次線性方程組 $Ax=0$ 系數(shù)矩陣的秩 $R(A) = r < n$ ，則 $Ax=0$ 的基礎(chǔ)解系有 $n-R(A)$ 個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量構(gòu)成。

定理 2??? 非齊次線性方程組 $Ax=b$ 有解的充分必要條件是其系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩相等，及 $R(A) = R(A,b)$
若 $R(A) = R(A,b) = n$ ，則方程組有唯一解
若 $R(A) = R(A,b) < n$ ，則方程組有無(wú)窮多解

非齊次線性方程組 $Ax=b$ 無(wú)解 $\Leftrightarrow R(A) +1 = R(A,b)\\ \Leftrightarrow b不能由A 的列向量線性表示出$

定理 3??? 對(duì)非齊次線性方程組 $Ax=b$ ，若 $R(A) = R(A,b) = r$ ，且已知 $\eta_{1}, \eta_{2}, \cdots, \eta_{n-r}$ 是導(dǎo)出組 $Ax=0$ 的基礎(chǔ)解系， $\xi_{0}$ 是 $Ax=b$ 的某個(gè)已知解，則 $Ax=b$ 的通解為 $\xi_{0} + c_{1}\eta_{1}+ c_{2}\eta_{2}+ \cdots+ c_{n-r}\eta_{n-r}$ 其中 $c_{1}, c_{2}, \cdots, c_{n-r}$ 為任意常數(shù)。

5. 向量空間

定義 1??? 設(shè) $V$ 為 $n$ 維向量的集合，如果集合 $V$ 非空，且集合 $V$ 對(duì)于向量的加法和乘數(shù)都封閉，那么就稱集合 $V$ 為向量空間。
所謂封閉，是指在集合 $V$ 中可以進(jìn)行向量的加法及乘數(shù)兩種運(yùn)算。具體的說(shuō)，就是：若 $a\in V,b\in V$ ，則 $a+b\in V$ ；若 $a\in V,\lambda\in R$ ，則 $\lambda a\in V$ 。

定義 2??? 設(shè) $V$ 為向量空間，如果 $r$ 個(gè)向量 $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{r} \in V$ ，且滿足
(i) $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{r}$ 線性無(wú)關(guān)
(ii) $V$ 中任一向量均可由 $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{r}$ 線性表示
那么向量組 $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{r}$ 就稱為向量空間 $V$ 的一個(gè)基， $r$ 稱為向量空間 $V$ 的維數(shù)，并稱 $V$ 為 $r$ 維向量空間。

定義 3??? 如果在向量空間 $V$ 中取定一個(gè)基 $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{r}$ ，那么 $V$ 中任一向量 $x$ 可唯一的表示為 $x=\lambda _{1}a_{1}+\lambda _{2}a_{2}+\cdots +\lambda _{r}a_{r}$
數(shù)組 $\lambda _{1},\lambda _{2}, \cdots,\lambda _{r}$ 稱為向量 $x$ 在基 $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{r}$ 中的坐標(biāo)。

6. 向量的內(nèi)積、長(zhǎng)度及正交性

定義 1??? 設(shè)有 $n$ 維向量
$x=\begin{pmatrix} x_{1}\\ x_{2}\\ \vdots\\ x_{n}\\ \end{pmatrix}， y=\begin{pmatrix} y_{1}\\ y_{2}\\ \vdots\\ y_{n}\\ \end{pmatrix}$
令 $\left [ x,y \right ] = x_{1}y_{1} + x_{2}y_{2}+ \cdots + x_{n}y_{n}$
$\left [ x,y \right ]$ 稱為向量 $x$ 與 $y$ 的內(nèi)積。

內(nèi)積是兩個(gè)向量之間的一種運(yùn)算，其結(jié)果是一個(gè)實(shí)數(shù)。如果用矩陣表示：當(dāng) $x,y$ 都是列向量時(shí)，有 $\left [ x,y \right ] =x^{T}y$ 。

內(nèi)積具有下列性質(zhì)（其中 $x,y,z$ 為 $n$ 維向量， $\lambda$ 為實(shí)數(shù)）
(i) $\left [ x,y \right ]=\left [ y,x \right ]$
(ii) $\left [ \lambda x,y \right ]=\lambda \left [ x,y \right ]$
(iii) $\left [ x+y,z \right ]=\left [ x,z \right ] + \left [ y,z \right ]$
(iv) 當(dāng) $x=0$ 時(shí)， $\left [ x,x \right ]=0$ ；當(dāng) $x\neq 0$ 時(shí)， $\left [ x,x \right ]>0$ ；

在解析幾何中，向量的數(shù)量積表示為 $x\cdot y = |x||y|cos\theta$ 且在直角坐標(biāo)系中有 $(x_{1},x_{2}, x_{3})\cdot (y_{1},y_{2}, y_{3})=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+x_{3}y_{3}$
$n$ 維向量的內(nèi)積是數(shù)量積的一種推廣。

定義 2??? 令
$\left \| x \right \| = \sqrt{\left [ x,x \right ]}=\sqrt{x_{1}^{2}+{x_{2}^{2}}+\cdots +{x_{n}^{2}}}$
$\left \| x \right \|$ 稱為 $n$ 維向量 $x$ 的長(zhǎng)度（或范數(shù)）。
當(dāng) $\left \| x \right \| =1$ 時(shí)，稱 $x$ 為單位向量。

定理 1??? 若 $n$ 維向量 $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{r}$ 是一組兩兩正交的非零向量，則 $a_{1},a_{2},\cdots ,a_{r}$ 線性無(wú)關(guān)。

定義 3??? 設(shè) $n$ 維向量 $e_{1},e_{2},\cdots ,e_{r}$ 是向量空間 $V(V \in R^{n})$ 的一個(gè)基，如果 $e_{1},e_{2},\cdots ,e_{r}$ 兩兩正交，且都是單位向量，則稱 $e_{1},e_{2},\cdots ,e_{r}$ 是 $V$ 的一個(gè)規(guī)范正交基。

定義 4??? 如果 $n$ 階矩陣 $A$ 滿足 $A^{T}A=E \qquad (即A^{-1}=A^{T})$ 那么稱 $A$ 為正交矩陣，簡(jiǎn)稱正交陣。
上式用 $A$ 的列向量來(lái)表示，即是
$\begin{pmatrix} a_{1}^{T}\\ a_{2}^{T}\\ \vdots\\ a_{n}^{T}\\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{1} , a_{2} , ... , a_{n}\\ \end{pmatrix}=E$
亦即 $(a_{i}^{T}a_{j})=(\delta_{ij})$
這也就是 $n^{2}$ 個(gè)關(guān)系式 $a_{i}^{T}a_{j}=\delta_{ij}=\left\{\begin{matrix} 1, i=j\\ 0, i\neq j \end{matrix}\right. \qquad (i,j=1,2,\cdots,n)$
于是可以得出：方陣 $A$ 為正交陣的充分必要條件是 $A$ 的列向量都是單位向量，且兩兩正交。

正交矩陣具有下述性質(zhì)：
(i) 若 $A$ 為正交陣，則 $A^{-1}=A^{T}$ 也是正交陣，且 $|A|=1$ 或（-1）
(ii) 若 $A,B$ 都是正交陣，則 $AB$ 也是正交陣。

定義 5??? 若 $P$ 為正交陣，則線性變換 $y=Px$ 稱為正交變換。
正交變換線段長(zhǎng)度保持不變。

6. 方陣的特征值與特征向量

定義 1??? 設(shè) $A$ 是 $n$ 階矩陣，如果數(shù) $\lambda$ 和 $n$ 維非零列向量 $x$ 使關(guān)系式 $Ax=\lambda x \tag{1}$ 成立，那么，這樣的數(shù) $\lambda$ 稱為矩陣 $A$ 的特征值，非零向量 $x$ 稱為矩陣 $A$ 對(duì)應(yīng)于特征值 $\lambda$ 的特征向量。

$(1)$ 式也可寫成 $(A-\lambda E)x=0$ 這是 $n$ 個(gè)未知數(shù) $n$ 個(gè)方程的齊次線性方程組，它有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式 $|A-\lambda E|=0$ 即
$\begin{vmatrix} a_{11}-\lambda & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22}-\lambda & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}-\lambda\\ \end{vmatrix}=0$
上式是以 $\lambda$ 為未知數(shù)的一元 $n$ 次方程，稱為矩陣 $A$ 的特征方程，其左端 $|A-\lambda E|$ 是 $\lambda$ 的 $n$ 次多項(xiàng)式，記作 $f(\lambda)$ ，稱為矩陣 $A$ 的特征多項(xiàng)式。

設(shè) $n$ 階矩陣 $A=(a_{ij})$ 的特征值為 $\lambda _{1},\lambda _{2}, \cdots,\lambda _{n}$ ，則有
(i) $\lambda _{1}+\lambda _{2}+\cdots+\lambda _{n}=a_{11}+a_{22}+\cdots +a_{nn}$
(ii) $\lambda _{1} \lambda _{2} \cdots \lambda _{n}=|A|$

推論??? 若 $\lambda$ 是 $A$ 的特征值，則 $\lambda^{k}$ 是 $A^{k}$ 的特征值； $\varphi (\lambda )$ 是 $\varphi (A )$ 的特征值（其中 $\varphi (\lambda )=a_{0}+a_{1}\lambda +\cdots +a_{m}\lambda^{m}$ 是 $\lambda$ 的多項(xiàng)式， $\varphi (A)=a_{0}E+a_{1}A +\cdots +a_{m}A^{m}$ 是 $A$ 的多項(xiàng)式）。

定理 1??? 設(shè) $\lambda _{1},\lambda _{2}, \cdots,\lambda _{m}$ 是方陣 $A$ 的 $m$ 個(gè)特征值， $p_{1},p_{2},\cdots ,p_{m}$ 是與之對(duì)應(yīng)的特征向量，如果 $\lambda _{1},\lambda _{2}, \cdots,\lambda _{m}$ 各不相等，則 $p_{1},p_{2},\cdots ,p_{m}$ 線性無(wú)關(guān)。

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7. 相似矩陣

定義 1??? 設(shè) $A,B$ 都是 $n$ 階矩陣，若有可逆矩陣 $P$ ，使 $P^{-1}AP=B$ 則稱 $B$ 是 $A$ 的相似矩陣，或說(shuō)矩陣 $A$ 與 $B$ 相似。對(duì) $A$ 進(jìn)行運(yùn)算 $P^{-1}AP$ 稱為對(duì) $A$ 進(jìn)行相似變換，可逆矩陣 $P$ 稱為把 $A$ 變成 $B$ 的相似變換矩陣。

定理 1??? 若 $n$ 階矩陣 $A$ 與 $B$ 相似，則 $A$ 與 $B$ 的特征多項(xiàng)式相同，從而 $A$ 與 $B$ 的特征值亦相同。

推論 1??? 若 $n$ 階矩陣 $A$ 與對(duì)角陣
$\Lambda =\begin{pmatrix} \lambda _{1} & & & \\ & \lambda _{2} & & \\ & & \ddots & \\ & & & \lambda _{n} \end{pmatrix}$
相似，則 $\lambda _{1},\lambda _{2}, \cdots,\lambda _{n}$ 即是 $A$ 的 $n$ 個(gè)特征值。

推論 2??? 設(shè) $f(\lambda)$ 是矩陣 $A$ 的特征多項(xiàng)式，則 $f(A)=0$ 。
提示：因?yàn)閷?duì)角陣的特征多項(xiàng)式 $f(\lambda_{i})=0$

定理 2??? $n$ 階矩陣 $A$ 與對(duì)角陣相似（即 $A$ 能對(duì)角化）的充分必要條件是 $A$ 有 $n$ 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。

推論 3??? 如果 $n$ 階矩陣 $A$ 的 $n$ 個(gè)特征值互不相等，則 $A$ 與對(duì)角陣相似。

8. 對(duì)稱矩陣的對(duì)角化

定理 1??? 對(duì)稱陣的特征值為實(shí)數(shù)。

定理 2??? 設(shè) $\lambda_{1},\lambda_{2}$ 是對(duì)稱陣 $A$ 的兩個(gè)特征值， $p_{1},p_{2}$ 是對(duì)應(yīng)的特征向量。若 $\lambda_{1}\neq \lambda_{2}$ ，則 $p_{1}$ 與 $p_{2}$ 正交。

定理 3??? 設(shè) $A$ 為 $n$ 階對(duì)稱陣，則必有正交陣 $P$ ，使 $P^{-1}AP=P^{T}AP=\Lambda$ ，其中 $\Lambda$ 是以 $A$ 的 $n$ 個(gè)特征值為對(duì)角元的對(duì)角陣。

推論??? 設(shè) $A$ 為 $n$ 階對(duì)稱陣， $\lambda$ 是 $A$ 的特征方程的 $k$ 重根，則矩陣 $A-\lambda E$ 的秩 $R(A-\lambda E)=n-k$ ，從而對(duì)應(yīng)特征值 $\lambda$ 恰有 $k$ 個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量。

定理 4??? 設(shè) $A$ 為實(shí)對(duì)稱陣 $\Rightarrow 則 A 必與對(duì)角矩陣相似\\ \Rightarrow 不同特征值的特征向量必正交\\ \Rightarrow k重特征值必有k個(gè)線性無(wú)關(guān)的特征向量$

9. 二次型及正定矩陣

定義 1??? 含有 $n$ 個(gè)變量 $x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}$ 的二次齊次函數(shù) $\begin{eqnarray}f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}) &=& a_{11}x_{1}^{2} + a_{22}x_{2}^{2} + \cdots + a_{nn}x_{n}^{2} \\ &&+2a_{12}x_{1}x_{2}+2a_{13}x_{1}x_{3}+ \cdots + 2a_{1n}x_{1}x_{n} \\ &&+ 2a_{23}x_{2}x_{3}+ \cdots + 2a_{2n}x_{2}x_{n} \\ &&+ \cdots +2a_{n-1,n}x_{n-1}x_{n}\end{eqnarray}$
稱為 $n$ 元二次型，若規(guī)定 $a_{ij} = a_{ji}, \forall \, i,j=1,2,\cdots ,n$ ，則二次型有矩陣表示 $f(x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}) =x^{T}Ax$ 其中 $x=[x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}]^{T}, A=[a_{ij}]$ 且 $A^{T} = A$ 是對(duì)稱矩陣，稱 $A$ 為二次型的矩陣，秩 $r(A)$ 稱為二次型的秩，記為 $r(f)$ 。

定義 2??? 對(duì)二次型 $x^{T}Ax$ ，如果對(duì)任何 $x\neq 0$ ，恒有 $x^{T}Ax>0$ ，則稱二次型 $x^{T}Ax$ 為正定二次型，并稱實(shí)對(duì)稱矩陣 $A$ 是正定矩陣。

定理 1??? $n$ 元二次型 $x^{T}Ax$ 正定的充分必要條件有：
????????(1) $A$ 的正慣性指數(shù)為 $n$
????????(2) $A$ 與 $E$ 合同，及存在可逆矩陣 $C$ ，使 $C^{T}AC=E$
????????(3) $A$ 的所有特征值均為正數(shù)
????????(3) $A$ 的各階順序主子式均大于零

推論 1??? $x^{T}Ax$ 正定的必要條件是：
????????(1) $a_{ii}>0(i=1,2, \cdots ,n)$
????????(2) $|A|>0$

定義 3??? 兩個(gè) $n$ 階矩陣 $A$ 和 $B$ ，如果存在可逆矩陣 $C$ ，使得 $C^{T}AC=B$ 就稱矩陣 $A$ 和 $B$ 合同，記作 $A\simeq B$ ，并稱由 $A$ 到 $B$ 的變換為合同變換，稱 $C$ 為合同變換的矩陣。

10. 線性空間

定義 1??? 設(shè) $V$ 是一個(gè)非空集合， $R$ 為實(shí)數(shù)域。如果對(duì)于任意兩個(gè)元素 $\alpha, \beta \in V$ ，總有唯一的一個(gè)元素 $\gamma \in V$ 與之對(duì)應(yīng)，稱為 $\alpha$ 與 $\beta$ 的和，記作 $\gamma = \alpha+\beta$ ；又對(duì)于任一數(shù) $\lambda \in R$ 與任一元素 $\alpha \in V$ ，總有唯一的一個(gè)元素 $\delta \in V$ 與之對(duì)應(yīng)，稱為 $\lambda$ 與 $\alpha$ 的積，記作 $\delta = \lambda \alpha$ ；并且這兩種運(yùn)算滿足以下八條運(yùn)算規(guī)律（設(shè) $\alpha, \beta, \gamma \in V, \lambda, \mu \in R$ ）：
(i) $\alpha+\beta = \beta + \alpha$
(ii) $(\alpha+\beta) + \gamma= \alpha+(\beta + \gamma)$
(iii) 在 $V$ 中存在零元素 $0$ ；對(duì)任何 $\alpha \in V$ ，都有 $\alpha+0=\alpha$
(iv) 對(duì)任何 $\alpha \in V$ ，都有 $\alpha$ 的負(fù)元素 $\beta \in V$ ，使 $\alpha+\beta =0$
(v) $1 \alpha=\alpha$
(vi) $\lambda(\mu \alpha)=(\lambda \mu)\alpha$
(vii) $(\lambda+\mu )\alpha=\lambda \alpha + \mu \alpha$
(viii) $\lambda (\alpha+\beta) = \lambda \alpha+ \lambda \beta$
那么， $V$ 就稱為（實(shí)數(shù)域 $R$ 上的）向量空間（或線性空間）， $V$ 中的元素不論其本來(lái)性質(zhì)如何，統(tǒng)稱為（實(shí)）向量。