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拓展光源尺寸 $l$ 對干涉條紋對比度的影響

將光源看做若干光強(qiáng)度為 $i_0$ 、元尺寸為 $\mathrmu0z1t8osx`$ 的元光源的集合。

干涉強(qiáng)度公式為： $I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}cos\delta$ (其中 $\delta$ 為兩光光場到達(dá)干涉觀察屏的相位差)

在楊氏雙縫實(shí)驗(yàn)中，由同一元光源，發(fā)出的光在雙縫的光源一側(cè)引入光程差 $\Delta`$ ，在雙縫的干涉觀察屏一側(cè)引入光程差為 $\Delta$ 。由于是同一元光源發(fā)出的光，于是光強(qiáng) $I_1=I_2=i_0\mathrmu0z1t8osx`$

其中 $\Delta=\fracu0z1t8os{D}x$ ， $\Delta`=\fracu0z1t8os{l}x`$ (l和D分別是雙縫屏到拓展光源和干涉觀察屏的距離，d為雙縫屏上雙縫的距離)

那么拓展光源上 $x`$ 坐標(biāo)處的元光源在干涉光差觀察屏上 $x$ 坐標(biāo)位置處的引起的干涉光強(qiáng)為

$\begin{aligned}i&=i_0\mathrmu0z1t8osx`+i_0\mathrmu0z1t8osx`+2\sqrt{i_0\mathrmu0z1t8osx`\cdot i_0\mathrmu0z1t8osx`}cos[k(\Delta`-\Delta)]\\&=i_0\mathrmu0z1t8osx`\{1+2\cos[k(\Delta`-\Delta)]\}\\&=i_0\mathrmu0z1t8osx`\left\{1+2\cos\left[k(\fracu0z1t8os{l}x`-\fracu0z1t8os{D}x)\right]\right\}\end{aligned}$

當(dāng)(圓形)拓展光源的直徑為 $b$ ，光波的波矢為 $\vec{k}=\frac{2\pi}{\lambda}\vec{k_0}，|\vec{k_0}|=1$ 時：

非相干的光場(不同元光源發(fā)出的光場是非相干的)在某點(diǎn)有光強(qiáng)的線性疊加為(積分運(yùn)算實(shí)際上是一個線性相加的過程，下面積分實(shí)際上不是光場的線性相加而是光強(qiáng)的線性相加)：

$\begin{aligned}I&=\int_{-\frac{2}}^{\frac{2}}i_0\left\{1+2\cos\left[k(\fracu0z1t8os{l}x`-\fracu0z1t8os{D}x)\right]\right\}\mathrmu0z1t8osx`\\&=2i_0b+2i_0b\frac{sin\frac{\pi b\beta}{\lambda}}{\frac{\pi b\beta}{\lambda}}cos(k\fracu0z1t8os{D}x)\\&=2I_0\left[1+\frac{sin\frac{\pi b\beta}{\lambda}}{\frac{\pi b\beta}{\lambda}}cos(k\fracu0z1t8os{D}x)\right]\end{aligned}$

由于拓展光源上同一位置處的元光源發(fā)出的光場經(jīng)過雙縫后才會發(fā)生光場的相干疊加；而不同位置處的元光源的光場強(qiáng)度不能相干疊加，只能光強(qiáng)線性相加。

使用拓展光源時的對比度

$\boldsymbol{K}=\left|\frac{sin\frac{\pi b\beta}{\lambda}}{\frac{\pi b\beta}{\lambda}}\right|$

當(dāng)取得對比度 $\boldsymbol{K}$ 第一個零值點(diǎn)，也即 $\frac{\pi b\beta}{\lambda}=\pi$ ,時候，拓展光源的尺寸為臨界尺寸。拓展光源的尺寸超過臨界尺寸后，不是沒有干涉發(fā)生，只是干涉對比度小到可以忽略，因此一般只選擇 $sinc$ 函數(shù)主峰值內(nèi)的b值來作為拓展光源尺寸進(jìn)行干涉實(shí)驗(yàn)。

sinc函數(shù)曲線.png

拓展光源導(dǎo)致對比度下降的原因

在拓展光源照明的條件下，拓展光源上不通位置處 $S_1$ ， $S_2$ ， $S_3$ 的元光源發(fā)出的光場是不能疊加的。自由某一元光源發(fā)出的光場能和自己的光場疊加，與其他光場只能進(jìn)行強(qiáng)度疊加。

比如 $S_1$ 處元光源發(fā)出的光場經(jīng)過雙縫后將在干涉光查屏上進(jìn)行光場疊加。但是 $S_1$ 自相干后的光場與 $S_2$ 自相干后的光場智能進(jìn)行光強(qiáng)疊加不能進(jìn)行光場疊加。

使用拓展光源照明會使得對比度下降可以由一下兩圖解析。

前一張圖是再說 $S_1$ ， $S_2$ ， $S_3$ 處的元光源發(fā)出的光場經(jīng)過楊氏雙縫后在干涉觀察屏上光程差為 $\Delta$ 的點(diǎn)的位置不同。

第二章圖的意識是 $S_1$ , $S_2$ , $S_3$ 的光場各自的在干涉觀察屏上的干涉光場分布(此時還沒有進(jìn)行強(qiáng)度疊加)。

也就是說干涉觀察屏上光強(qiáng)的表現(xiàn)經(jīng)過了 $S_1$ 的光場疊加， $S_1$ 的光強(qiáng)與 $S_2$ ， $S_3$ 的疊加。

拓展光源楊氏雙縫干涉.png

拓展光源干涉實(shí)驗(yàn)各元光源光場疊加前的分布.png

也就是說導(dǎo)致對比度下降的原因是 $S_1$ ， $S_2$ 和 $S_3$ 三個(點(diǎn))元光源在干涉觀察屏上的光程差為 $\Delta$ 的點(diǎn)的位置不同位置不同。

影響等光程差位置的因素

① 使用拓展光源，拓展光源上不同元光源的位置。
② 同一點(diǎn)光源發(fā)出的光的(時間)頻率 $\nu$ 。

使用具有一定(時間)頻寬的點(diǎn)光源時的對比度

光源視作一個每一個波長的元波源強(qiáng)度為 $i_0$ 、元波數(shù)為 $\mathrmu0z1t8osk$ 點(diǎn)光源。

由于是點(diǎn)光源照明，因此干涉光強(qiáng)公式： $I=I_1+I_2+2\sqrt{I_1I_2}cos\delta$ 中的 $I_1=I_2=i_0$ ，因此

點(diǎn)光源某一具體頻率 $\nu=\nu_0$ 的光場造成的相干光強(qiáng)為： $\mathrmu0z1t8osI=2i_0\mathrmu0z1t8osk[1+cos(k\cdot\Delta)]$ （其中時間頻率為 $\nu_0$ 的光波對應(yīng)的波長為 $\lambda_0$ ）

那么由光強(qiáng)的線性疊加(積分計(jì)算是一個線性相加的計(jì)算)得，所有頻率對應(yīng)的干涉光強(qiáng)(注意是光強(qiáng)疊加而不是光場疊加)所疊加的總光強(qiáng)為：

$\begin{aligned}\mathrmu0z1t8osI&=\int_{k_0-\frac{\Delta k}{2}}^{k_0+\frac{\Delta k}{2}}2i_0[1+cos(k\cdot\Delta)]\mathrmu0z1t8osk\\&=2i_0(\Delta)\left[1+\frac{sin(\Delta k\cdot \frac{\Delta}{2})}{\Delta k\cdot \frac{\Delta k}{2}}\right]\\&=I_0\left[1+\frac{sin(\Delta k\cdot \frac{\Delta}{2})}{\Delta k\cdot \frac{\Delta}{2}}\right]\end{aligned}$

一定頻寬點(diǎn)光源照明的楊氏干涉實(shí)驗(yàn)對比度

$\boldsymbol{K}=\left|\frac{sin(\Delta k\cdot\frac{\Delta}{2})}{sin(\Delta k\cdot\frac{\Delta}{2})}\right|$

$\Delta k$ 為波矢寬度， $\Delta$ 為光程差

注意：在這個對比度的條件下可以推導(dǎo)出時間相干性所對應(yīng)的干涉長度 $\Delta l$ 。

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光源性質(zhì)對干涉對比度影響#2022_3_4

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