Linear Algebra

Chapter 1——行列式

一、逆序數(shù)

在一個(gè)排列中，如果一對(duì)數(shù)的前后位置與大小順序相反，即前面的數(shù)大于后面的數(shù)，那么它們就稱(chēng)為一個(gè)逆序。一個(gè)排列中逆序的總數(shù)就稱(chēng)為這個(gè)排列的逆序數(shù)。
求解：依次查詢排列中每個(gè)數(shù)字前比他大的數(shù)字個(gè)數(shù)，累加起來(lái)就是逆序數(shù)。

二、行列式

行列式是一個(gè)值，不是一個(gè)矩陣。設(shè)矩陣為 A，則 det(A) 為或|A|行列式。

計(jì)算： $D=\sum (-1)^n a_{1k_1}a_{2k_2}a_{3k_3}$ ， $k$ 是 $k_1,k_2,…,k_n$ 排列的逆序數(shù)

性質(zhì)：
[1] $D=D^T$
[2] 互換兩行或兩列，行列式變?yōu)樵档南喾磾?shù)
[3] $D = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1j} + b_{1j} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2j} + b_{2j} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nj} + b_{nj} & ... & a_{nn} \\ \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1j} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2j} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nj} & ... & a_{nn} \\ \end{vmatrix} + \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & b_{1j} & ... & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & ... & b_{2j} & ... & a_{2n} \\ ... & ... & ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & b_{nj} & ... & a_{nn} \\ \end{vmatrix}$
[4] 把行列式的某一列(行)的各元素乘以同一數(shù)然后加到另一列(行)對(duì)應(yīng)的元素上去，行列式不變。

三、代數(shù)余子式

在 n 階行列式中，劃去元 $a_{ij}$ 所在的第 i 行與第 j 列的元，剩下的元不改變?cè)瓉?lái)的順序所構(gòu)成的 n-1 階行列式稱(chēng)為元 $a_{ij}$ 的余子式。數(shù)學(xué)表示上計(jì)作 $M_{ij}$ 。
$a_{ij}$ 的代數(shù)余子式： $A_{ij} = (-1)^{i+j} M_{ij}$ 。
行列式等于它任意一行(列)的各元素與其對(duì)應(yīng)的代數(shù)式余子式乘積之和。
$D=a_{i1}A_{i1}+a_{i2}A_{i2}+......+a_{in}A_{in} (i=1,2,3,......n) = a_{1j}A_{1j}+a_{2j}A_{2j}+......+a_{nj}A_{nj} (j=1,2,3,......n)$
范德蒙特行列式計(jì)算：
$D = \begin{vmatrix} 1 & 1 & ... & 1 \\ x_{1} & x_{2} & ... & x_{n} \\ x_{1}^2 & x_{2}^2 & ... & x_{n}^2 \\ ... & ... & ... & ... \\ x_{1}^n-1 & x_{2}^n-1 & ... & x_{n}^n-1 \\ \end{vmatrix} = \prod_{n \geq i \geq j \geq 1}^{} (x_i - x_j)$

Chapter 2——矩陣

一、矩陣性質(zhì)

滿足分配律和結(jié)合律，不滿足交換律
AB=0，則：
若 A、B 均為非零矩陣，則 A、B 的行列式均為 0
若有一個(gè)是可逆矩陣，則另一個(gè)是 0 矩陣
轉(zhuǎn)置矩陣性質(zhì)：

$(A+B)^T = A^T + B^T$
$(AB)^T = B^TA^T$

對(duì)稱(chēng)矩陣： $A^T = A$
對(duì) n 階方陣 A 的行列式：
$|\lambda A|=\lambda^nA$ $|AB|=|A||B|$ $|AB|≠|(zhì)BA|$
數(shù)量矩陣：對(duì)角矩陣的對(duì)角線上的元相等

二、矩陣的秩 R(A)

k 階子式：在一個(gè)矩陣或行列式中取 k 行 k 列,交叉處的 $k^2$ 個(gè)元素按原順序構(gòu)成的行列式
最高階非零子式：矩陣 A 有一個(gè)不等于 0 的 r 階子式 D，且所有 r+1 階子式均為 0，則 D 是 A 的最高階非零子式
矩陣的秩：矩陣最高階非零子式為 r 階子式，r 為該矩陣的秩
n 階方陣等價(jià)的定義：
滿秩矩陣==可逆矩陣==非奇異矩陣==標(biāo)準(zhǔn)型是 E==可表示為有限==個(gè)初等方陣乘積==行/列向量組線性無(wú)關(guān)==特征值全不為 0==行列式不為 0
降秩矩陣==不可逆矩陣==奇異矩陣==行/列向量組線性相關(guān)==特征值有 0==行列式為 0
矩陣的秩的大小關(guān)系
$R(AB)<=min(R(A),R(B))<=max(R(A),R(B))<=R(A|B)<=R(A+B) <= R(A)+R(B)$ 其中，A|B 是 A 和 B 橫向拼接

三、矩陣變換

矩陣的初等變換

某一行（列），乘以一個(gè)非零倍數(shù)。
某一行（列），乘以一個(gè)非零倍數(shù)，加到另一行（列）。
某兩行（列），互換。

矩陣等價(jià)
A 與 B 等價(jià)（A∽B）：A 經(jīng)過(guò)有限次初等變換變?yōu)?B。R(A)=R(B),|A|不一定等于|B|。
最簡(jiǎn)形矩陣：矩陣滿足（1）是階梯形矩陣；（2）所有的非零行的第一個(gè)非零元素均為 1，且其所在列中的其他元素都是零。
任何一個(gè)非零矩陣總可以經(jīng)過(guò)有限次初等變換為階梯形矩陣和最簡(jiǎn)階梯形矩陣，非零行行數(shù)為矩陣的秩。
標(biāo)準(zhǔn)形矩陣：矩陣的左上角是單位矩陣，其余三部分可以沒(méi)有或者是 0 變換方法：先變?yōu)樾凶詈?jiǎn)形再變?yōu)榱凶詈?jiǎn)形
逆矩陣：AB=BA=E，A 和 B 互為逆矩陣
逆矩陣性質(zhì)： $({\lambda}A)^{-1} = \frac {1}{\lambda} *A^{-1}$ $(AB)^{-1} = B^{-1} A^{-1}$ $(A^{-1})^T = (A^T)^{-1}$ $|A^{-1}| = |A|^{-1}$
伴隨矩陣 $A^*$ ：A 中各元的代數(shù)余子式轉(zhuǎn)置后組成的矩陣
性質(zhì)：
i. $A^* =|A|A^{-1}$ (基本性質(zhì))
ii. $AA^*=A^*A=|A|E$
iii. $|A^*|=|A|^{n?1}$
iv. $(AT)^*=(A^*)T (A?1)^*=(A^*)?1$
v. $(AB)^*=B^*A^*$
vi. $(A^*)^*=|A|n?2A$
vii. $R(A)=n$ ,則 $R(A^*)=n$
viii. $R(A)=n-1$ ,則 $R(A^*)=1$
ix. $R(A)<n-1$ ,則 $R(A^*)=0$
正交矩陣： $AA^T=A^TA=E$
正交矩陣 A 的性質(zhì)：
i. $A^*$ 正交
ii. $|A|=±1$
iii. A 可逆且 $A^{-1}=A^T$
求解矩陣（左行右列）
i. AX=B: $(A B) \rightarrow (E X)$
ii. XA=B: $(A B)^T \rightarrow (E X)^T$
增廣矩陣：系數(shù)矩陣 A $|$ 等號(hào)右側(cè)常數(shù)項(xiàng) B
$R(A)<R(A|B)$ ：方程組無(wú)解

Chapter 3——線性方程組

一、齊次線性方程組

定義：Ax=0 向量，A 是系數(shù)矩陣，x 是（列）解向量
解的性質(zhì)（方程組有 n 個(gè)變量）：
i. R(A)<n：存在非零解
ii. R(A)=n：只有零解
基礎(chǔ)解系：齊次線性方程組的 k 個(gè)解向量滿足向量組線性無(wú)關(guān)，解空間中其他向量都可以用這 k 個(gè)向量線性表示，則這 k 個(gè)解向量構(gòu)成基礎(chǔ)解系。

二、非齊次線性方程組

定義：Ax=b（非零向量）
相容：方程組有解，即：系數(shù)矩陣和增廣矩陣的秩相等；否則不相容
相容方程組的解的性質(zhì)（方程組有 n 個(gè)變量）：
i. R(A)<n：存在無(wú)窮多解
ii. R(A)=n：唯一解

Chapter 4——向量空間

一、向量（列向量）

向量 a,b 的內(nèi)積 $(a,b)=a·b=a_1b_1+a_2b_2+……+a_nb_n = |a| |b| \cos \theta$ 是數(shù)值。
向量?jī)?nèi)積為 0 則兩向量正交
向量 a 的模 $||a||= \sqrt {a_1+a_2...+a_n}$ (a 各方向分量的平方和開(kāi)根)
柯西施瓦茨不等式： $(a,b)^2 \leq (a,a)(b,b)$

二、線性相關(guān)

對(duì)于 m 個(gè) n 維向量 $a_1,a_2,…,a_m$ ，若存在一組不全為零的常數(shù) $b_1,b_2,…b_m$ ，使得 $a_1b_1+a_2b_2+…+a_nb_n=零向量$ ，則這組向量線性相關(guān)，否則線性無(wú)關(guān)。
上述表達(dá)于向量組中至少一個(gè)向量可以用其余的向量線性表示。
最大/極大線性無(wú)關(guān)組和秩：向量組 T 中選取其中 r 個(gè)向量，若這些向量線性無(wú)關(guān)而加上其他任一向量都線性相關(guān)，則這 r 個(gè)向量是 T 的一個(gè)最大線性無(wú)關(guān)組，r 是 T 的秩。

三、正交向量組

正交向量組：不含 0 向量的向量組中任兩個(gè)向量正交
標(biāo)準(zhǔn)正交向量組：向量均為單位向量的正交向量組
正交向量組線性無(wú)關(guān)
方陣 A 是正交矩陣==A 的行/列向量組是標(biāo)準(zhǔn)正交向量組
施密特標(biāo)準(zhǔn)正交化

作用：將線性無(wú)關(guān)的向量組變?yōu)槠涞葍r(jià)的標(biāo)準(zhǔn)正交向量組
步驟：
i. 正交化:
$\beta_1 = \alpha_1$
$\beta_2 = \alpha_2 - \frac{\langle \alpha_1, \beta_1\rangle}{\langle\beta_1, \beta_1\rangle}\beta_1$
...
$\beta_m = \alpha_m - \frac{\langle \alpha_m, \beta_1\rangle}{\langle \beta_1, \beta_1\rangle}\beta_1 - \frac{\langle \alpha_m, \beta_2\rangle}{\langle \beta_2, \beta_2\rangle}\beta_2 - ... - \frac{\langle \alpha_m, \beta_m-1\rangle}{\langle \beta_m-1, \beta_m-1\rangle}\beta_m-1$
ii. 標(biāo)準(zhǔn)化
$e_i = \frac{\beta_i}{||\beta_i||}(i = 1, 2, ..., m)$

四、向量空間

定義：n 維向量構(gòu)成的非空集合，定義的加法和數(shù)乘滿足封閉性，且滿足八條定律（如交換律、結(jié)合律、分配率等）
向量空間的基和維數(shù)：
設(shè)V是一向量空間， $a_1, a_2, ..., a_r \in V$ 且滿足：
i. $a_1, a_2, ..., a_r$ 線性無(wú)關(guān)；
ii. $\forall \beta \in V, \beta$ 可由 $a_1, a_2, ..., a_r$ 線性表出
則稱(chēng)向量組 $a_1, a_2, ..., a_r$ 為向量空間V的一組基底，r稱(chēng)為向量空間V的維數(shù)，記為dim V = r。
過(guò)渡矩陣：可逆，右乘過(guò)渡矩陣可以進(jìn)行基變換。

Chapter 5——線性變換

一、特征值

對(duì)方陣 A 滿足： $Ax=\lambda x$ 或 $(A-\lambda E)x=0$ 向量，其中 x 為非零向量，則：
x 為特征向量， $\lambda$ 為特征值。非方陣沒(méi)有特征值和特征向量。
特征值性質(zhì)
i. 特征值個(gè)數(shù)等于方陣 A 的階數(shù)，但可能有重根或復(fù)數(shù)根
ii. AB 的特征值與 BA 相同，A 和其轉(zhuǎn)置矩陣的特征值相同，但特征矩陣不一定相同
iii.一個(gè)特征值對(duì)應(yīng)無(wú)窮多的特征向量，但一個(gè)特征向量只對(duì)應(yīng)一個(gè)特征值
iv. 所有特征值（包括重復(fù)的）的乘積=|A|
v. 所有特征值（包括重復(fù)的）的和=方陣 A 對(duì)角線元素和（矩陣的跡）
vi. 若 $\lambda$ 是可逆方陣 A 的特征值，則 $\frac{1}{\lambda}$ 是 $A^{-1}$ 的特征值，特征向量不變
vii. 若 $\lambda$ 是方陣 A 的特征值，則 $\lambda k$ 是 Ak的特征值（k 為正整數(shù)），特征向量不變
viii. 若特征值各不相等，則對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān)
特征值和特征向量計(jì)算
i. $|A-\lambda E|=0$ （特征多項(xiàng)式），解得對(duì)應(yīng)的所有 $\lambda$ 即所有的特征值
ii. 回代各 $\lambda$ 進(jìn) $(A-\lambda E)x=0$ ，解特征向量 x
特征值和特征向量的意義
i. 如果矩陣對(duì)某一個(gè)向量或某些向量只發(fā)生伸縮變換，不對(duì)這些向量產(chǎn)生旋轉(zhuǎn)的效果，那么這些向量就稱(chēng)為這個(gè)矩陣的特征向量，伸縮的比例就是特征值。
ii. 求特征向量，就是把矩陣 A 所代表的空間進(jìn)行正交分解，使得 A 的向量集合可以表示為每個(gè)向量 a 在各個(gè)特征向量上的投影長(zhǎng)度。通常求特征值和特征向量即為求出這個(gè)矩陣能使哪些向量只發(fā)生拉伸，而方向不發(fā)生變化，觀察其發(fā)生拉伸的程度。這樣做的意義在于，看清一個(gè)矩陣在哪些方面能產(chǎn)生最大的分散度，減少重疊，意味著更多的信息被保留下來(lái)。（PCA）

二、相似矩陣

設(shè) A，B 為 n 階矩陣，如果有 n 階可逆矩陣 P 存在，使得 $P^{-1}AP=B$ ，則稱(chēng)矩陣 A 與 B相似，記為 A~B，P 為把 A 變成 B 的相似變換矩陣。
相似矩陣的性質(zhì)：
i. 特征值相同，行列式相同
ii. 相似矩陣是等價(jià)矩陣的真子集
iii. N 個(gè)特征值互不相等，則 A 與對(duì)角矩陣相似；
有相等的特征值，A 不一定能相似對(duì)角化

三、矩陣的相似對(duì)角化

目的：相似對(duì)角化后，對(duì)角線的值就是矩陣的 A 的 n 個(gè)特征值
只有實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣能正交相似對(duì)角化：
設(shè) A 為 n 階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，則必有正交矩陣 P，使 $P^{-1}AP=P^TAP=\Lambda$ ，其中 $\Lambda$ 是以 A的 n 個(gè)特征值為對(duì)角元的對(duì)角矩陣。
求實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 A 的正交相似對(duì)角化矩陣 B 步驟：
i. 求 A 的 n 個(gè)（全部）特征值
ii. 對(duì)每個(gè)特征值求解其特征向量并將其正交化、標(biāo)準(zhǔn)化
iii. 這 N 個(gè)列向量按序拼接成對(duì)應(yīng)的變換矩陣 P，通過(guò) P-1
AP 求得正交對(duì)角矩陣 B
四、 n 階方陣的等價(jià)敘述：
n 個(gè)特征值互不相等(不一定可逆) $\rightarrow$ n 個(gè)特征向量線性無(wú)關(guān)==矩陣 A 能相似對(duì)角化

Chapter 6——二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形

Calculus

拉格朗日乘數(shù)

目的：尋找多元函數(shù)在其變量受到一個(gè)或多個(gè)條件的約束時(shí)的局部極值的方法。（最優(yōu)化問(wèn)題）
方法：將一個(gè)有n個(gè)變量與k個(gè)約束條件的最優(yōu)化問(wèn)題轉(zhuǎn)換為一個(gè)解有n + k個(gè)變量的方程組的解的問(wèn)題。這種方法中引入了一個(gè)或一組新的未知數(shù)，即拉格朗日乘數(shù) $\lambda$ ，這時(shí)只需要求下列拉格朗日函數(shù)的局部極值： $\mathcal {L}(x,y,\lambda )=f(x,y)-\lambda \cdot g(x,y)$
i. 記 $F\left(x,y,\lambda \right)=f\left(x,y\right)+\lambda \left(g\left(x,y\right)-c\right)$ 對(duì)其求導(dǎo)并使導(dǎo)數(shù) $F\left(x,y,\lambda \right)'$ 為 0，i.e., $\nabla f\left(x,y\right)=-\lambda \nabla \left(g\left(x,y\right)-c\right)$ $\Leftrightarrow$ $\nabla {\Big [}f\left(x,y\right)+\lambda \left(g\left(x,y\right)-c\right){\Big ]}={\boldsymbol {0}}$
ii. 求出 $\lambda$ 的值，將其套入 $F\left(x,y,\lambda \right)=f\left(x,y\right)+\lambda \left(g\left(x,y\right)-c\right)$ ，易求在無(wú)約束條件下的極值和對(duì)應(yīng)的極值點(diǎn)。
iii. 新方程 $F(x,y,\lambda )$ 在達(dá)到極值時(shí)與 $f(x,y)$ 相等。因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=F(x%2Cy%2C%5Clambda%20)" alt="F(x,y,\lambda )" mathimg="1">達(dá)到極值時(shí) $\nabla F(x,y,\lambda )=0$ ，而 ${\frac {\partial F}{\partial \lambda }}=g\left(x,y\right)-c$ ，也就是說(shuō) $g(x,y)-c$ 等于零。

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數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

Linear Algebra

Chapter 1——行列式

一、逆序數(shù)

二、行列式

三、代數(shù)余子式

Chapter 2——矩陣

一、矩陣性質(zhì)

二、矩陣的秩 R(A)

三、矩陣變換

Chapter 3——線性方程組

一、齊次線性方程組

二、非齊次線性方程組

Chapter 4——向量空間

一、向量（列向量）

二、線性相關(guān)

三、正交向量組

四、向量空間

Chapter 5——線性變換

一、特征值

二、相似矩陣

三、矩陣的相似對(duì)角化

Chapter 6——二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形

Calculus

拉格朗日乘數(shù)

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數(shù)學(xué)基礎(chǔ)

Linear Algebra

Chapter 1——行列式

一、逆序數(shù)

二、 行列式

三、代數(shù)余子式

Chapter 2——矩陣

一、矩陣性質(zhì)

二、 矩陣的秩 R(A)

三、 矩陣變換

Chapter 3——線性方程組

一、齊次線性方程組

二、 非齊次線性方程組

Chapter 4——向量空間

一、 向量（列向量）

二、 線性相關(guān)

三、 正交向量組

四、 向量空間

Chapter 5——線性變換

一、 特征值

二、 相似矩陣

三、 矩陣的相似對(duì)角化

Chapter 6——二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形

Calculus

拉格朗日乘數(shù)

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一、逆序數(shù)

二、行列式

三、代數(shù)余子式

一、矩陣性質(zhì)

二、矩陣的秩 R(A)

三、矩陣變換

二、非齊次線性方程組

一、向量（列向量）

二、線性相關(guān)

三、正交向量組

四、向量空間

一、特征值

二、相似矩陣

三、矩陣的相似對(duì)角化