正態(tài)分布
上述分布都是離散概率分布，當(dāng)隨機變量是連續(xù)型時，情況就完全不一樣了。因為離散概率的本質(zhì)是求x取某個特定值的概率，而連續(xù)隨機變量不行，它的取值是可以無限分割的，它取某個值時概率近似于0。連續(xù)變量是隨機變量在某個區(qū)間內(nèi)取值的概率，此時的概率函數(shù)叫做概率密度函數(shù)。
正態(tài)概率分布是連續(xù)型隨機變量中最重要的分布。世界上絕大部分的分布都屬于正態(tài)分布，人的身高體重、考試成績、降雨量等都近似服從。
正態(tài)分布如同一條鐘形曲線。中間高，兩邊低，左右對稱。想象身高體重、考試成績，是否都呈現(xiàn)這一類分布態(tài)勢：大部分數(shù)據(jù)集中在某處，小部分往兩端傾斜。
正態(tài)概率密度函數(shù)為：
是不是看得頭暈了？u代表均值，σ代表標準差，兩者不同的取值將會造成不同形狀的正態(tài)分布。均值表示正態(tài)分布的左右偏移，標準差決定曲線的寬度和平坦，標準差越大曲線越平坦。
以前介紹過一個正態(tài)分布的經(jīng)驗法則：
正態(tài)隨機變量有69.3%的值在均值加減一個標準差的范圍內(nèi)，95.4%的值在兩個標準差內(nèi)，99.7%的值在三個標準差內(nèi)。這條經(jīng)驗法則可以幫助我們快速計算數(shù)據(jù)的大體分布。
均值u=0，標準差σ=1的正態(tài)分布叫做標準正態(tài)分布。它的隨機變量用z表示，它是推斷統(tǒng)計的基礎(chǔ)。將均值和標準差代入正態(tài)概率密度函數(shù)，得到一個簡化的公式：
現(xiàn)在可以用簡化的公式計算概率密度了。首先學(xué)習(xí)一個新的函數(shù)叫累計分布函數(shù)，它是概率密度函數(shù)的積分。用P(X<=x)表示隨機變量小于或者等于某個數(shù)值的概率，F(xiàn)(x) = P(X<=x)。
曲線就是概率密度函數(shù)，當(dāng)x取某個值時，曲線上f(x)點的數(shù)值即表示隨機變量在對應(yīng)的x點值的取值概率，曲線與X軸相交的陰影面積就是累計分布函數(shù)。我們不妨把概率密度函數(shù)按其名字簡單理解成「密度」，畢竟連續(xù)變量只有在區(qū)間中才有計算的意義，于是密度函數(shù)充當(dāng)了輔助計算的角色。分析中我們更多實用累計分布函數(shù)。
標準正態(tài)分布中，給定一個值z，可以計算隨機變量z小于等于某一個值的概率；z在兩個值之間的概率；以及z大于等于一個值的概率。這三種計算都用到累計分布函數(shù)，分別記作P(z<=x)，P(x1<=z<=x2)，P(z>=x)。
首先計算z小于等于1的概率，即P(z<=1)。由excel 的函數(shù)NORM.DIST(1,0,1,TRUE)求得值為0.8413。于是P(z<=1)=0.8413。同理，P(z>1) = 1-P(z<=1) = 0.1586。
若要計算z在區(qū)間-1～1.25的概率，即P(-1<=z<=1.25)?？梢詫⑵洳鸾鉃楣剑篜(-1<=z<=1.25) = P(z<=1.25) - P(z<=-1) = 0.735。
如果大家在公式轉(zhuǎn)換中有困惑，不妨結(jié)合上面的陰影圖看?？孔蟮年幱凹磟小于等于0.8時(目測)的概率，如果我們要算0～0.8之間的概率呢？就是把z<=0的那一半給挖掉，非常粗暴的算法。
到了這里大家可能發(fā)覺，在正態(tài)分布的計算中，不論求哪一類區(qū)間，我們都是先轉(zhuǎn)換成z小于等于某個值先計算。這是一個潛移默化的規(guī)則，因為早期正態(tài)概率的計算都要用到標準正態(tài)概率表，它以z小于等于作查詢標準?，F(xiàn)在雖然計算資源已經(jīng)大大豐富，但是這個習(xí)慣還是保留了下來。
之所以強調(diào)標準正態(tài)分布，是因為所有的正態(tài)分布概率都可以利用標準正態(tài)分布計算。當(dāng)我們具有一個任意均值的u和標準差σ，都能將其轉(zhuǎn)換成標準狀態(tài)分布。
現(xiàn)在有一個u=10和σ=2的正態(tài)隨機變量，求x在10與14之間的概率是多少？
當(dāng)x=10時，z=(10-10)/2=2。當(dāng)x=14時，z=(14-10)/2=2。于是x在10和14之間的概率等價于標準正態(tài)分布中0和2之間的概率。計算P(0<=z<=2) =P(z<=2) - P(z<=0) =0.4772。
現(xiàn)在是最后一個運營活動了，不再是抽獎，而是最終贈送獎品的環(huán)節(jié)。已知獎品的保質(zhì)期滿足正態(tài)分布，均值90天，標準差5天。為了考慮用戶體驗，想知道獎品70天以內(nèi)就壞的概率是多少？
當(dāng)x=70時，有z=(70-90)/5 = -4。p(z<=-4)=0.003%。概率非常小，可以忽略不計，所以產(chǎn)品質(zhì)量杠杠的。經(jīng)歷了那么多活動，老板終于可以松一口氣了。
在概率分布中還有一個概念叫正態(tài)近似。當(dāng)試驗次數(shù)很大時，二項分布可以近似于正態(tài)分布，泊松分布也有相似的情況，大家有興趣可以去了解，這是一種簡便方法，不過工作中現(xiàn)在都是計算機了，這點反而不重要了。
了解完各類分布后，我們將進入最后的環(huán)節(jié)，假設(shè)檢驗，它是基于概率的理論，數(shù)據(jù)分析中的AB測試，就是其最常見的應(yīng)用。
