1-混合效應(yīng)模型

?????混合效應(yīng)模型（Mixed-effects model）最早應(yīng)用于教育領(lǐng)域，研究不同學(xué)生成績時，同一個班級的學(xué)生成績是不獨立的，呈現(xiàn)一定的相關(guān)性。具有層級結(jié)構(gòu)（hierarchy），在分析的時候，需要考慮該相關(guān)性。不同的層級為不同的水平，也叫做多水平模型（multilevel model）、隨機系數(shù)模型（random coefficient model）。
?????混合效應(yīng)模型可以用于分析連續(xù)性變量（linear mixed model），也可以用于分類變量（logistic mixed model）。這里主要討論線性混合效應(yīng)模型。

水平2???????水平1

班級1: ?????學(xué)生11，學(xué)生12，...，
班級2: ?????學(xué)生21，學(xué)生22，...，
班級3: ?????學(xué)生31，學(xué)生32，...，
... ...
班級J：?????學(xué)生J1，學(xué)生J2，...

方差分析或者線性回歸的基本假設(shè)：正態(tài)性、獨立性、方差齊性。多水平數(shù)據(jù)不滿足獨立性。

對于分類變量，模型的校正意味著對不同的分類對應(yīng)不同的截距。

??????e.g. ??????y=β_0+β_1*age+β_2*gender+ε，假設(shè)男性對應(yīng)gender=0，女性gender=1，則
??????Gender=0：y=β_0+β_1*age+ε
??????Gender=1：y=β_0+β_2+β_1*age+ε。
??????即不同性別為截距不同而斜率相同的平行回歸線。

??????當(dāng)上述數(shù)據(jù)當(dāng)采用常規(guī)的線性模型分析時，班級作為需要校正的分類變量，將轉(zhuǎn)換為虛擬變量放入模型，J個班級對應(yīng)J-1個虛擬變量，相應(yīng)需要估計J-1個系數(shù)，50個班級則需要估計49個系數(shù)，模型的效率低，且班級只是需要校正的因素，而不是真正關(guān)心的結(jié)局變量?？紤]采用隨機效應(yīng)模型，將班級作為隨機變量放入模型，此時不需要估計各個班級的具體均值，而僅估計班級的方差成分。

??????可以通過-2Log 似然比統(tǒng)計量，對比加了隨機效應(yīng)與不加隨機效應(yīng)的似然比檢驗（自由度為兩個模型變量的差值）是否有意義來判斷是否需要放入隨機效應(yīng)，也可以用于其他嵌套模型的對比。

- 模型的分類
  • 隨機效應(yīng)模型（random-effects model）：僅包含隨機效應(yīng)
  • 固定效應(yīng)模型（fixed-effects model）：僅包含固定效應(yīng)
  • 混合效應(yīng)模型（mixed model）：同時包含固定效應(yīng)和隨機效應(yīng)
- 混合效應(yīng)模型
  • 隨機截距模型：僅考慮不同水平截距不同，但所有水平的斜率相同。即不同水平為截距不同的平行線。
  • 隨機系數(shù)模型：不同水平的截距不同，且不同水平的斜率不同。即不同水平為截距不同且不平行的回歸線。
- 模型的假設(shè)

線性混合效應(yīng)模型（linear mixed model）是傳統(tǒng)線性模型的拓展，線性模型的大部分假設(shè)也適用于線性混合效應(yīng)模型。但混合效應(yīng)模型進一步考慮了變量之間的相關(guān)性。

- 固定效應(yīng)與隨機效應(yīng)
  • ?????? 固定效應(yīng)（Fixed effect）： 僅研究某幾個固定的處理或組別，不考慮將其結(jié)果推廣到更大的總體。變量不是從更大樣本中抽取的變量，如研究特定某幾個藥之間的區(qū)別，并不需要通過研究結(jié)果推廣到其他藥物。

?????固定效應(yīng)模型表示為y_{ij}=μ_j+e_{ij} 或 y_{ij}=μ+a_j+e_{ij} （不存在協(xié)變量的情況下）
?????μ_j為各個組的均值，這里不存在變異，變異來源僅為e_{ij}
?????var(y_{ij})=var(μ_j+e_{ij})=var(e_{ij})=δ_e^2。
?????此時的var(μ_j)=var(μ+α_j)=0
?????對應(yīng)固定效應(yīng)模型

  • ?????? 隨機效應(yīng)（Random effect）：當(dāng)變量為更大的總體中抽取的子集，此時關(guān)心的不再是某幾個組具體組之間的差異，而考慮其所代表的總體的差異。

?????H_0：δ_1^2=δ_2^2=...=δ_J^2， 原假設(shè)不再針對均值，而在于檢驗各個組之間的方差有無差異。
?????模型表示為 y_{ij}=μ+a_j+e_{ij}，此時變異來源為α_j，e_{ij}
?????var(y_{ij})=var(μ+a_j+e_{ij})=var(a_j+e_{ij})=δ_α^2+δ_e^2。α_j 和 e_{ij}相互獨立。
?????對應(yīng)隨機效應(yīng)模型

????????隨機效應(yīng)的一個特性為可交換性（exchangeability），即這些效應(yīng)分類是否可以被替換。如研究某藥物時，受試者可以為總體中的這一個子集，但也可以用該總體的其他子集進行研究，或者研究不同地區(qū)醫(yī)院滿意度時，可以抽取醫(yī)院A、B，也可以抽取醫(yī)院C、D，醫(yī)院作為隨機效應(yīng)，具有可交換性。而研究某幾種藥物時，藥物組別無法用其他組別進行替代。

  • 組內(nèi)相關(guān)系數(shù)（intra-class correlation，ICC）

?????δ_α^2 為 組間變異度（Within group variance)，由不同水平（e.g. 醫(yī)院、中心、社區(qū)）導(dǎo)致的變異
?????δ_e^2 為 組內(nèi)變異度（Between group variance），由低水平不同個體本身的差異造成的變異

?????不同變異對應(yīng)兩個不同的水平的隨機誤差。低水平的測量值具有一定的相關(guān)性，通過組內(nèi)相關(guān)系數(shù)（intra-class correlation，ICC）ρ衡量。
??????????????????????????????ρ=\frac{δ_a^2}{δ_a^2+δ_e^2}

  • 與其他分析方法的對比

對于嵌套的多水平數(shù)據(jù)，可以的方法包括

  1. 采用常規(guī)的方差分析或回歸模型（disaggregation analysis），忽略了數(shù)據(jù)間的相關(guān)性
  2. 對各個高水平求均值之后進行分析（ aggregation analysis），未考慮水平內(nèi)的變異。
  3. 采用多水平模型

文獻中關(guān)于幾種不同模型的結(jié)果對比（兩水平數(shù)據(jù)，自變量為組別）：

image.png

混合效應(yīng)模型的標(biāo)準(zhǔn)誤高于忽略數(shù)據(jù)相關(guān)性的方差分析方法。當(dāng)數(shù)據(jù)被視為互相獨立時，每個觀測能提供100%的信息，但實際上同一個水平中的不同觀測間數(shù)據(jù)具有相關(guān)性，相關(guān)性越高能提供的信息越少（低于100%），混合效應(yīng)模型標(biāo)準(zhǔn)誤增加（需要加上數(shù)據(jù)之間的協(xié)方差）。由此可見，針對這類數(shù)據(jù)如果采用常規(guī)的分析方法，假陽性增加。

聚類分析因為樣本量的減少（一個水平視為一個樣本求均值后進行分析），標(biāo)準(zhǔn)誤增加

Blanced結(jié)構(gòu)的數(shù)據(jù)，截距效應(yīng)估計相同，但標(biāo)準(zhǔn)誤有差異。Unbalanced結(jié)構(gòu)，均有差異

  • 參考：

醫(yī)學(xué)和公共衛(wèi)生研究常用多水平統(tǒng)計模型（李曉松）
Applied Mixed Model Analysis A Practical Guide (Jos W. R. Twisk)

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