對數(shù)均值不等式

現(xiàn)在有空閑時間，寫個對數(shù)均值不等式的證明.

（對數(shù)均值不等式）\forall a>b>0, a \neq b, \quad \sqrt{a b}<\dfrac{a-b}{\ln a-\ln b}<\dfrac{a+b}{2}.

1^{\circ} 先證\sqrt{a b}<\dfrac{a-b}{\ln a-\ln b}

要證\sqrt{a b}<\dfrac{a-b}{\ln a-\ln b}，因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cln%20a-%5Cln%20b%3E0" alt="\ln a-\ln b>0" mathimg="1">，只需證\ln a-\ln b<\dfrac{a-b}{\sqrt{ab}}，

即\ln\dfrac{a}<\sqrt{\dfrac{a}+\dfrac{a}-2}，因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cln%5Cdfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%3E0" alt="\ln\dfrac{a}>0" mathimg="1">，變?yōu)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cln%5E2%5Cdfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%3C%5Cdfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%2B%5Cdfrac%7Bb%7D%7Ba%7D-2" alt="\ln^2\dfrac{a}<\dfrac{a}+\dfrac{a}-2" mathimg="1">，

構(gòu)造函數(shù)f(x)=\ln^2x-x-\dfrac{1}{x}+2 \quad (x>1)，則f'(x)=\dfrac{2\ln x}{x}-1+\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{2x\ln x-x^2+1}{x^2}，

令g(x)=2x\ln x-x^2+1，g'(x)=2(\ln x-x+1)，g''(x)=\dfrac{2(1-x)}{x}<0，

所以g'(x)在(1,+\infty)單減，g'(x)<g(1)=0，所以g(x)在(1,+\infty)單減，g(x)<g(1)=0，即f'(x)<0，所以f(x)在(1,+\infty)單減，f(x)<f(1)=0，不等式得證.

2^{\circ} 再證\dfrac{a-b}{\ln a-\ln b}<\dfrac{a+b}{2}

要證\dfrac{a-b}{\ln a-\ln b}<\dfrac{a+b}{2}，因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%5Cln%20a-%5Cln%20b%3E0" alt="\ln a-\ln b>0" mathimg="1">，a-b>0，只需證\dfrac{2(a-b)}{a+b}<\ln a-\ln b，即\dfrac{2(\dfrac{a}-1)}{\dfrac{a}+1}<\ln\dfrac{a}，變?yōu)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=2(%5Cdfrac%7Ba%7D%7Bb%7D-1)%3C%5Cln%5Cdfrac%7Ba%7D%7Bb%7D(%5Cdfrac%7Ba%7D%7Bb%7D%2B1)" alt="2(\dfrac{a}-1)<\ln\dfrac{a}(\dfrac{a}+1)" mathimg="1">，

構(gòu)造函數(shù)h(x)=(x+1)\ln x-2(x-1)\quad (x>1)，h'(x)=\ln x+\dfrac{1}{x}-1，h''(x)=\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{x-1}{x^2}>0，所以h'(x)在(1,+\infty)單增，h'(x)>h'(1)=0，所以h(x)在(1,+\infty)單增，h(x)>h(1)=0，不等式得證.

由1^{\circ} 2^{\circ} 知，原不等式成立.

反思：以上證明所用到構(gòu)造函數(shù)證明二元不等式的方法，是通性通法，需好好借鑒.

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