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由于最近在學數(shù)理方程，學到三維空間的偏微分方程經(jīng)常要求曲線曲面積分，再次整理復習一下……
目前主要用第一型，所以只整理了第一型的公式。

什么是第一型、第二型？

簡單的說一下，第一型就是針對標量的積分，第二型是針對矢量的積分。比如說，求一根繩子的重量，就是對繩子的線密度作第一型曲線積分。普通的長度面積這種都是第一型。
第二型是對矢量的積分，比如說一個力f作用在曲線運動上，f的方向可以改變，那要求這個力所做的功就涉及到f的方向轉變和f作用點的位置變化，就是第二類曲線積分。類似的，求流量、磁通量等也是第二類曲面積分。

第一型曲線積分

定義：

$\int _L f(x,y,z)ds = \lim_{\|T\|\rightarrow0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta s_i$
解釋一下：L是積分路徑，也就是曲線。T是對L的一個分割（分割點為 $P_1,P_2,\dots,P_{n-1}$ ），將L分成n份，每份 $\widehat{P_{i-1}P_i}$ 上任取一點 $(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)$ 。思路是用這個點的函數(shù)值 $f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)$ 近似這一小段上的函數(shù)值，也就是 $f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta s_i\rightarrow \int _\widehat{P_{i-1}P_i} f(x,y,z)ds$
$\Delta s_i$ 是第i小段的長度。再對n個小段曲線求和，就是 $\sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta s_i \rightarrow \int _L f(x,y,z)ds$
而顯然，當每個小段的長度趨向0的時候上式取等號。 $\|T\|$ 表示最長的 $\Delta s_i$ 。那么當最長的小段長度都趨向0了，肯定每一段就都趨向0了，得到我們的定義。

性質

顯然對f滿足線性性質，對L滿足路徑可加性。

參數(shù)形式

若 $L$ 的方程為 $x = x(t),y=y(t),z=z(t),\alpha \le t \le \beta$ ，且L是光滑曲線（即x、y、z具有連續(xù)導數(shù)且導數(shù)不同時為零）
由弧長的公式，有 $ds = \sqrt{x'^2(t) + y'^2(t) + z'^2(t)} dt$ 簡單解釋一下：首先ds非常小，可以看作直線段。之后就是，對于自變量t的一小段變化dt，x(t)的變化是 $x(t+dt) - x(t) =\frac{x(t+dt) - x(t)}{dt}dt = x'(t)dt$ 。y、z同理。之后就是一個空間的勾股定理， $ds^2 = x'^2(t)dt^2 + y'^2(t)dt^2 + z'^2(t)dt^2$ ，稍微整理一下得到弧長公式。

此時，將x、y、z、ds使用t的表示帶入積分，得到 $\int _L f(x,y,z)ds = \int_\alpha^\beta f(x(t),y(t),z(t)) \sqrt{x'^2(t) + y'^2(t) + z'^2(t)} dt$ 特別的，若 $L$ 的方程為 $y = y(x),\alpha \le x \le \beta$ ，則有 $\int _L f(x,y)ds = \int_\alpha^\beta f(x,y(x)) \sqrt{1 + y'^2(x)} dx$ 對于極坐標方程 $r = r(t),\alpha \le t \le \beta$ ，有 $\int _L f(x,y)ds = \int_\alpha^\beta f(r(t)\cos t,r(t)\sin t) \sqrt{r^2(t) + r ' ^2(t)} dt$

第一型曲面積分

定義

$\iint _\Sigma f(x,y,z)dS = \lim_{\|T\|\rightarrow0}\sum_{i=1}^n f(\xi_i,\eta_i,\zeta_i)\Delta S_i$ 意思和曲線類似，將曲面分成n個小片， $\Delta S_i$ 表示一個小片的面積。

參數(shù)形式

若 $\Sigma$ 的方程為 $x = x(u,v),y=y(u,v),z=z(u,v),(u,v) \in D$ ，且 $\Sigma$ 是光滑曲面（即x、y、z具有連續(xù)偏導數(shù)且Jacobi矩陣滿秩）有以下公式 $\iint _\Sigma f(x,y,z) dS = \iint _D f(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) \sqrt{EG-F^2} dudv$ 其中 $E = \vec{r_u}\cdot \vec{r_u}$ ， $F = \vec{r_u}\cdot \vec{r_v}$ , $G = \vec{r_v}\cdot \vec{r_v}$ ， $\vec{r_u} = (\frac{\partial x}{\partial u},\frac{\partial y}{\partial u},\frac{\partial z}{\partial u})$ ， $\vec{r_v} = (\frac{\partial x}{\partial v},\frac{\partial y}{\partial v},\frac{\partial z}{\partial v})$
特別的，對于 $z = z(x,y)$ ，有 $\iint _\Sigma f(x,y,z)dS = \iint_D f(x,y,z(x,y)) \sqrt{1 + \left ( \frac{\partial z}{\partial x} \right ) ^2 + \left ( \frac{\partial z}{\partial y} \right ) ^2 } dxdy$

球面上的第一型曲面積分

若 $\Sigma$ 為圓心在 $(x_0,y_0,z_0)$ 的半徑為 $r$ 的球面，可作變換：
$x = x_0 + r \sin \theta \cos \varphi$ $y = y_0 + r \sin \theta \sin \varphi$ $z = z_0 + r \cos \theta$ $\theta \in [0,\pi],\varphi \in [-\pi,\pi]$ 由此可得
$\iint _\Sigma f(x,y,z)dS = \int _0^\pi d\theta \int_{-\pi}^\pi d\varphi f( x_0 + r \sin \theta \cos \varphi, y_0 + r \sin \theta \sin \varphi, z_0 + r \cos \theta) r^2\sin\theta$ 積分順序可以互換。