對于公式2）可由二項式展開疊加求和：

因為， （n＋1）??3－n??3＝3·n??2＋3n＋1

? ? ? ? ? ? ? ? ? n??3－（n－1）??3＝3·（n－1）??2＋3（n－1）＋1

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? ＋）? ? ? ? ? ? ? ? ? 2??3－1??3? ＝3·1??2＋3·1＋1

一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一

? ? ? ? （n＋1）??3－1??3＝3Sn＋3·1/2·n（n＋1）＋n

所以，整理得：Sn＝1/6·n（n＋1）（2n十1）

同樣公式3）可由4次二項式依次裂項，然后相加，并用公式1）、2）的結(jié)果求得Sn＝［1/2·n（n十1）］??2

下面介紹公式3）的另一種有趣的列舉推導(dǎo)方法：如下列數(shù)表

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? ? ?? ? 2

? ? ? ? ? ? 1? ? ? 1? ? ? ? ? 2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1＋2）??2＝1＋8＝1??3＋2??3

? ? ? ? ? 2? ? ? ? 2? ? ? ? ? ? 4

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? ? ? ? ? 2? ? ? ? ? ? 3

? ? ? ? ? 1? ? ? 1? ? ? ? ? 2? ? ? ? ? ? 3

? ? ? ? ? 2? ? ? ? 2? ? ? ? ? 4? ? ? ? ? ? 6

? ? ? ? ? 3? ? ? ? 3? ? ? ? ? 6? ? ? ? ? ? 9? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （1＋2＋3）??2＝1＋8＋27＝1??3＋2??3＋3??3

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1? ? ? ? ? 2? ? ? ? ? ? 3? ? ? ? ? ? 4

? ? ? ? ? 1? ? ? 1? ? ? ? ? ? 2? ? ? ? ? ? 3? ? ? ? ? ? 4? ? ? ? ? ?

? ? ? ? ? 2? ? ? ? 2? ? ? ? ? 4? ? ? ? ? ? 6? ? ? ? ? ? ? 8

? ? ? ? ? 3? ? ? ? 3? ? ? ? ? ? 6? ? ? ? ? ? 9? ? ? ? ? ? 12? ? ? ?

? ? ? ? ? 4? ? ? 4? ? ? ? ? ? 8? ? ? ? ? ? 12? ? ? ? ? ? 16? ? ? ? ? ? ? （1＋2＋3＋4）??2＝1＋8＋27＋64＝1??3＋2??3＋3??3＋4??3

? ? ? ? ? 同樣我們可以得到（1＋2＋3＋4＋5）??2＝1＋8＋27＋64＋125＝1??3＋2??3＋3??3＋4??3＋5??3

? ? ? ? ? 因此，我們可以推斷出：1??3＋2??3＋3??3＋?＋n??3＝（1＋2＋3＋?＋n）??2＝［1/2·n（n＋1）］??2

例題：用公式2）、3）證明

i）1??2＋3??2＋5??2＋?＋（2n＋1）??2＝1/3·（n＋1）（2n＋1）（2n＋3）

ii）1??3＋3??3＋5??3＋?＋（2n＋1）??3＝（n＋1）??2·（2·n??2＋4n＋1）

因為，1??2＋2??2＋3??2＋?＋（2n＋1）??2＝1/3·（n＋1）（2n＋1）（4n＋3）? ? （1）

? ? ? ? ? ? 2??2＋4??2＋6??2＋?＋（2n）??2＝2/3·n（n＋1）（2n＋1）? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （2）

? （1）－（2）得：

1??2＋3??2＋5??2＋?＋（2n＋1）??2＝1/3·（n＋1）（2n＋1）（2n＋3）

同樣，1??3＋2??3＋3??3＋?＋（2n＋1）??3＝（2n＋1）??2·（n＋1）??2? ? ? ? （1）

? ? ? ? ? ? ? 2??3＋4??3＋6??3＋?＋（2n）??3＝2·n??2·（n＋1）??2? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? （2）

? ? ? ? ? （1）－（2）得：

1??3＋3??3＋5??3＋?＋（2n＋1）??3＝（n＋1）??2·（2·n??2＋4n＋1），證畢。

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