背景
我們的目的是要用數(shù)學(xué)量來表示物理量，可是標(biāo)量加上向量，都不足以表達(dá)所有的物理量，所以就需要擴(kuò)大數(shù)學(xué)量的概念，張量就出現(xiàn)了。
概念
幾何代數(shù)中定義的張量是基于向量和矩陣的推廣，通俗一點(diǎn)理解的話，我們可以將標(biāo)量視為零階張量，矢量視為一階張量，那么矩陣就是二階張量。
定義
張量的嚴(yán)格定義是利用線性映射來描述的。與矢量相類似，定義由若干坐標(biāo)系改變時(shí)滿足一定坐標(biāo)轉(zhuǎn)化關(guān)系的有序數(shù)組成的集合為張量。 從幾何角度講， 它是一個(gè)真正的幾何量，也就是說，它是一個(gè)不隨參照系的坐標(biāo)變換（其實(shí)就是基向量變化）而變化的東西。最后結(jié)果就是基向量與對(duì)應(yīng)基向量上的分量的組合（也就是張量）保持不變，比如一階張量（向量）a可表示為a = x*i + y*j。由于基向量可以有豐富的組合，張量可以表示非常豐富的物理量。
換一種定義方式
一個(gè)(p,q)型張量，就是一個(gè)映射：
其中V是矢量空間，V*是對(duì)應(yīng)的對(duì)偶空間。
啰嗦一下
如果一個(gè)物理量，在物體的某個(gè)位置上只是一個(gè)單值，那么就是普通的標(biāo)量，比如密度。如果它在同一個(gè)位置、從不同的方向上看，有不同的值，而且這個(gè)數(shù)恰好可以用矩陣乘觀察方向來算出來，就是張量。
張量的理解：張量是有大小和多個(gè)方向的量。這里的方向就是指張量的階數(shù)。
空間維度n：一般我們使用3維空間，也可以是4維及以上維度。
張量階數(shù)m：在固定的3維度空間再談張量的階數(shù)，階數(shù)小于等于維數(shù)，即m<=n。
下面區(qū)分這個(gè)量：張量的階數(shù)（張量的方向數(shù)）和所在空間的維數(shù)（所在空間的方向數(shù)）的區(qū)別
在二維空間里，二維二階張量（平面應(yīng)力張量）的每個(gè)方向都可以用二維空間兩個(gè)方向表示。（區(qū)分2階張量的2個(gè)方向，和二維空間的兩個(gè)方向x，y）所以共有2^2=4個(gè)方向。
在三維空間里，三維二階張量（空間應(yīng)力張量）的每個(gè)方向都可以用三維空間三個(gè)方向表示。（區(qū)分2階張量的2個(gè)方向，和三維空間的三個(gè)方向x，y、z）所以共有3^2=9個(gè)方向。
張量積
你認(rèn)識(shí)矩陣乘積
張量積這種東西有很多種理解方式，在不同的語境下面會(huì)有不同的看法。但是如果拿來跟矩陣乘積比較的話，我覺得比較好的說法是，張量積是一種萬有乘積，而矩陣乘法是一種具體化。
我們現(xiàn)在手里有很多矩陣，然后希望把兩個(gè)矩陣乘起來。一開始肯定想不到怎么乘，但是可以猜一些乘積的最基本的性質(zhì)，比如說要和數(shù)乘是匹配的，也要和加法匹配也就是分配律。不管這個(gè)乘積是什么，都應(yīng)當(dāng)有這些基本的性質(zhì)。那么這個(gè)時(shí)候張量積就出現(xiàn)了，他代表了最廣的乘積，也是最弱的乘積，就僅僅滿足上面說的那些基本性質(zhì)。正因?yàn)槭亲钊醯?，所以一切具體的乘積都可以看成是從張量積的結(jié)果具體化得到的，也就是可以看成是萬有乘積，或者是一個(gè)包絡(luò)的乘積。
在數(shù)學(xué)中，張量積，記為
可以應(yīng)用于不同的上下文中如向量、矩陣、張量、向量空間、代數(shù)、拓?fù)湎蛄靠臻g和模。在各種情況下這個(gè)符號(hào)的意義是同樣的: 最一般的雙線性運(yùn)算。在某些上下文中也叫做外積。
有兩個(gè)(或更多)張量積的分量的一般公式。例如，如果 U 和 V 是秩分別為 n 和 m 的兩個(gè)協(xié)變張量，則它們的張量積的分量給出為
所以兩個(gè)張量的張量積的分量是每個(gè)張量的分量的普通積。
贈(zèng)送···向量的理解
向量可以表示什么？
比如，我們可以用一個(gè)平面的法向量代表這個(gè)平面；物理上可以用向量代表力等。看來，向量可以表示很多東西，不過仔細(xì)想想向量也只表示了幅度（magnitude）與方向（direction）兩個(gè)要素而已。
一個(gè)向量有很多種表示方式，我們可以用[0, 1]表示一個(gè)二維向量，也可以用平面、三維或更高維空間中的一條帶箭頭的線表示一個(gè)向量。我們都是知道（0， 0） —> （1， 1）可表示一個(gè)從（0， 0）到（1， 1）的有向線段（向量），那么，為什么可以用[0, 1]表示一個(gè)向量呢？
根據(jù)前面的講解，我們知道一個(gè)向量就是空間中的一條有向線段，可以用一組坐標(biāo)系的基和向量相應(yīng)分量的乘積組合來表示。由于坐標(biāo)系有很多種定義方式，基也就有很多種，對(duì)應(yīng)的分量也會(huì)有很多種，但如果大家默認(rèn)使用同一套基向量，那么基向量都不需要了，此時(shí)，想要表示一個(gè)向量，只要給定這三個(gè)分量即可，比如用0, 1表示一個(gè)向量，如果加上兩個(gè)括號(hào)，這就是我們?cè)跁辖?jīng)?？吹降南蛄康牧斜硎荆?， 1），三維的有（1， 2， 1）。貼一個(gè)很有愛的圖
參考資料
https://blog.csdn.net/pandamax/article/details/63684633
http://tieba.baidu.com/p/4139437334
https://www.zhihu.com/question/23720923
https://www.zhihu.com/question/269975252
https://zh.wikipedia.org/zh/%E5%BC%A0%E9%87%8F%E7%A7%AF
