之前了解一些原碼、反碼、補(bǔ)碼，但是一直有疑問，為什么會有原碼、反碼、補(bǔ)碼？所以決定研究一下。

計算機(jī)中參與運(yùn)算的數(shù)有兩大類：無符號數(shù)和有符號數(shù)。此篇主要看一下有符號數(shù)。在了解原碼、反碼、補(bǔ)碼前需要先了解機(jī)器數(shù)和真值。

一、機(jī)器數(shù)

對于有符號數(shù)而言，使用“0”表示正，“1”表示負(fù)，這種把符號“數(shù)字化”的數(shù)稱為機(jī)器數(shù)，也就是一個數(shù)在計算機(jī)中的二進(jìn)制表示。

例如：+1100 在機(jī)器中表示為 0 1100；-1100 在機(jī)器中表示為1 1100

整數(shù)的符號位和值用逗號隔開，小數(shù)的小數(shù)點用點來隔開。
例如：+3轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制就是00000011，-3就是10000011，這就是機(jī)器數(shù)。

二、真值

帶符號位的機(jī)器數(shù)對應(yīng)的真正數(shù)值就是真值。例如：1000 0011的真值是-3，而不是131，它的最高位是符號位。

下面開始說原碼、反碼、補(bǔ)碼。

計算機(jī)里存儲的實際都是數(shù)的補(bǔ)碼，顯示的時候轉(zhuǎn)換為源碼。原碼和反碼都有一定的缺陷。原碼雖然表示簡單明了，并易于和真值轉(zhuǎn)換，但是在加減法運(yùn)算時會有很多麻煩，運(yùn)算步驟復(fù)雜費(fèi)時，還需要計算機(jī)提供減法器來支持。而補(bǔ)碼卻能夠滿足這些要求，計算機(jī)只需要加法器就可以。

三、原碼

原碼是機(jī)器數(shù)中最簡單的一種表示形式，包括符號位和數(shù)值位。

原碼：符號位加上真值的絕對值，即第一位表示符號位，其余為表示值。原碼是人腦最容易理解和計算的表示方式。

[+1]原 = 0000 0001
[-1]原 = 1000 0001

整數(shù)原碼的定義：

計算過程解釋：
對于x的取值范圍（例中的4位二進(jìn)制來說）：
2^n的值為：2^4=16
最大值為：1111 = 1*2^3 + 1*2^2 + 1*2^1 + 1*2^0 =8+4+2+1=15
最小值為：0000=0

當(dāng)x為負(fù)數(shù)時，計算過程如下：
[x]原=2^4 - (-1110) = 2^4 + 1110 = 1 0000 + 1110 = 1 1110

小數(shù)原碼的定義為：

原碼的問題：
以正負(fù)1來說明問題，先來看1+(-1)的計算過程：

1 + (-1)=[0000 0001]原+[1000 0001]原=[1000 0010]原=-2

1+(-1)=0，但是用原碼來算結(jié)果卻是-2，原碼的加法沒有問題，但是減法卻出現(xiàn)了問題。

四、補(bǔ)碼

為了解決原碼做減法時出現(xiàn)的問題，出現(xiàn)了反碼，我們用其他的方式來表示負(fù)數(shù)，使減法的問題用加法去解決。

補(bǔ)數(shù)的思想：
要了解補(bǔ)碼的思想就要知道“?！?、“同余”、“補(bǔ)數(shù)”的概念。

在日常生活中，常會遇到“補(bǔ)數(shù)”的概念。計算機(jī)組成原理(唐朔飛)中舉了一個時鐘的例子，現(xiàn)在是6點鐘，要到達(dá)3點鐘的話該怎么辦呢？我們可以順時針方向?qū)r針移動9小時，或是逆時針移動3小時，我們都可以到達(dá)3點鐘，假設(shè)順時針轉(zhuǎn)為正，逆時針轉(zhuǎn)為負(fù)，則有：

6 - 3 = 6 + 9，3和15都代表3點鐘

鐘表時針轉(zhuǎn)一圈能代表12個小時，在數(shù)學(xué)上稱12為模，寫作mod 12，對于mod 12而言，+9和-3互為補(bǔ)數(shù)，3和15是同余關(guān)系，記作3≡15 (mod 12)，3 + 12 = 15.

其實就相當(dāng)于沒到12點就丟失，從0點重新開始。

對于時鐘運(yùn)算，減去一個數(shù)，是可以等同于加上另外一個正數(shù)，例如：6 - 3 = 6 - 3 + 12 = 6 + 9
其實相當(dāng)于6-3加上模，即相當(dāng)于是時鐘多走了一圈，所以3和15是等價的。

將補(bǔ)數(shù)的概念用到計算機(jī)中，便出現(xiàn)了補(bǔ)碼這種機(jī)器數(shù)。

補(bǔ)碼:正數(shù)的反碼是其本身，負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼是在其原碼的基礎(chǔ)上, 符號位不變, 其余各位取反, 最后+1. (即在反碼的基礎(chǔ)上+1)，這里只是便于計算才這樣說。

對于補(bǔ)碼，相當(dāng)于是模加上真值，就如同上面的6+(-3)，-3就是真值。
整數(shù)補(bǔ)碼的定義為：

整數(shù)補(bǔ)碼定義中mod 2ⁿ⁺¹的由來：
以8位二進(jìn)制為例，整數(shù)的位數(shù)是n=7,8位二進(jìn)制可以表示的最小值是：0000 0000，最大值是：1111 1111，從0到255，即可以表示2⁸=256個數(shù)字，所以整數(shù)補(bǔ)碼的模是2ⁿ⁺¹，即mod 2ⁿ⁺¹。

原碼中的-0在補(bǔ)碼中是什么？
對于-0，根據(jù)補(bǔ)碼的定義,[-0]_補(bǔ)=100000-10000=10000,其實在補(bǔ)碼中-0是不存在的，這也是補(bǔ)碼出現(xiàn)的原因之一，這里的10000只是一種表示方式，所以補(bǔ)碼比原碼能多表示一個數(shù)，這個數(shù)就是-2ⁿ。

例如：
當(dāng)x=+1010時，[x]_補(bǔ)=0,1010;
當(dāng)x=-1101時，[x]_補(bǔ)=2ⁿ⁺¹ + x = 2₅ - 1101 = 100000 - 1101 = 1,0011

負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼是在其原碼的基礎(chǔ)上, 符號位不變, 其余各位取反, 最后+1，計算方式的由來：
分析：假如x=-1011，[x]_補(bǔ)=2⁵-1011，我們把2⁵改寫成100000=11111+00001，可以得到：

[x]_補(bǔ) = 2⁵ + x = 11111 + x + 00001

因為x是負(fù)數(shù)，我們可以用-x₁x₂x₃x₄來表示，單項的x_i不是0就是1，上面式子可以改寫為：

[x]_補(bǔ) = 2⁵ + x = 11111 - x₁x₂x₃x₄ + 00001

因為1減去1得0，減去0得1，負(fù)數(shù)-x₁x₂x₃x₄的原碼為1,x₁x₂x₃x₄，所以式子中11111 - x₁x₂x₃x₄就相當(dāng)于是對原碼的取反操作，最后再+00001，所以得到上面負(fù)數(shù)求補(bǔ)碼的計算方式。

小數(shù)補(bǔ)碼的定義為：

小數(shù)補(bǔ)碼定義中mod 2的由來：

小數(shù)的最大值為：1.1111，當(dāng)增加1時(1.1111+1)，得到小數(shù)補(bǔ)碼的模是2，所以小數(shù)補(bǔ)碼是：mod 2。

例如：
當(dāng)x=+0.0110時，[x]_補(bǔ)=0.1001;
當(dāng)x=-0.0110時，[x]_補(bǔ)=2 + x = 10.0000 - 0.0110 = 1.1010
當(dāng)x=0時，
[+0.0000]_補(bǔ)=0.0000;
[-0.0000]_補(bǔ)=2 + (-0.0000) = 10.0000 - 0.0000 = 0.0000;
顯然[+0]_補(bǔ)=[-0]_補(bǔ)=0.0000，即補(bǔ)碼中的“零”只有一種表示形式。

補(bǔ)碼的符號位擴(kuò)展：
1、補(bǔ)碼的正負(fù)小數(shù)符號位擴(kuò)展就是在末尾加0即可，例如：1.1101擴(kuò)展為1.1101 0000
2、補(bǔ)碼的正數(shù)符號位擴(kuò)展在最高位前面加0即可，例如：0101擴(kuò)展為0000 0101
3、補(bǔ)碼的負(fù)數(shù)符號位擴(kuò)展在最高位前面加1既可以，例如：1010擴(kuò)展為1111 1010

五、反碼

反碼通常用來作為由原碼求補(bǔ)碼或者由補(bǔ)碼求原碼的中間過渡。
反碼：正數(shù)的反碼是其本身，負(fù)數(shù)的反碼是在其原碼的基礎(chǔ)上，符號位不變，其余各個位取反。這個方法只是利于計算，但是并不代表反碼的真正含義，可以把它忘記

[+1] = [00000001]原 = [00000001]反
[-1] = [10000001]原 = [11111110]反

整數(shù)反碼的定義為：

小數(shù)反碼的定義為：

反碼的問題：
反碼中0有兩種表示方式，0000 0000和1111 1111，這導(dǎo)致在實際計算中每當(dāng)跨過0一次，就有一個單位的誤差，所以需要+1，即補(bǔ)碼的方式。

六、移碼

因為補(bǔ)碼符號位和數(shù)值一起編碼，所以很難從補(bǔ)碼上直接判斷出其真值的大小，而用移碼就可以很直觀的看判斷出來。

移碼的定義：

利用移碼的這一特點，當(dāng)浮點數(shù)的階碼用移碼表示時，就能很方便的判斷階碼的大小。

移碼相當(dāng)于補(bǔ)碼的符號位取反。

對于補(bǔ)碼來說是存在符號位的，使用移碼就相當(dāng)于把補(bǔ)碼的負(fù)數(shù)部分往上移動，使得最小值變?yōu)?，而不是負(fù)數(shù)。

移碼更詳細(xì)的用處以后再研究。

寫在最后：

• 如果文章中有錯誤或是表達(dá)不準(zhǔn)確的地方，歡迎大家評論中指正，以便我完善。
• 文章我也會根據(jù)所學(xué)到新的知識不斷更新。