原作者　：張江
作者簡介：北京師范大學系統(tǒng)科學學院副教授張江
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微信號　：chaoscruiser
簡　　介：一門新興學科，正悄悄重塑我們對世界的理解。經(jīng)濟，政治，物理，心理，看似不相關，卻被一個叫復雜科學的學科深層相連。我們將帶你從它的視角，看世界的全景。
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本文作者 北京師范大學系統(tǒng)科學學院副教授張江，授權轉載。

三、通向理論

（注：打有*號內(nèi)容為作者適當?shù)臄U展和想象）

1、最大流原理

在上一章我們已經(jīng)看到，對3/4律的解釋需要用到一種分形結構的輸運網(wǎng)絡；進一步，之所以自然選擇會創(chuàng)造這樣的分形網(wǎng)絡，很有可能是因為系統(tǒng)正在試圖優(yōu)化某種目標函數(shù)，從而創(chuàng)造了這樣的結構。那么，這個目標函數(shù)究竟是什么呢？它又有什么具體的物理意義呢？

從West到Banavar，再到Bejan，它們都提到了類似的優(yōu)化目標，即使得系統(tǒng)中的資源流動更加順暢，更加有效率。進一步，我們可以把這個原理抽出來，即系統(tǒng)優(yōu)化的目標是使得流動能夠達到最大，我們況且稱之為最大流原理吧。

讓我們放眼大千世界，最大流原理似乎很有根據(jù)。我們中國存在著一句古話，就叫做“人盡其才，物盡其流”，也就是說社會發(fā)展的總目標就是要讓物品的流動能夠盡量順暢。的確，我們看到經(jīng)濟的發(fā)展往往伴隨著物品流動速度的加快?；疖囋谔崴?、GDP（經(jīng)濟系統(tǒng)貨幣的總流量）在增長、物流行業(yè)在騰飛等等。

在生態(tài)學領域中，著名生態(tài)學家Lotka早在1922年的時候就提出來了生態(tài)系統(tǒng)中的能量流動加快的原理。之后，該原理又被著名生態(tài)學家Odum命名為最大功率原理（Maximum power principle），這里的功率就是能量除以時間，即能量流動。我們都知道，生態(tài)系統(tǒng)是由特定區(qū)域的多個物種由于相互作用而形成的整體系統(tǒng)。物種之間的相互作用可以抽象看作是一種能量的交換或稱之為流動。那么，最大功率原理是說，生態(tài)系統(tǒng)作為一個整體的開放系統(tǒng)會由于進化的作用而逐漸趨向于系統(tǒng)內(nèi)部的能量流動加快。（參考Odum有關最大功率原理的文獻）

在Odum提出了最大功率原理之后，還有一批生態(tài)學家提出了許多類似的生態(tài)系統(tǒng)進化的目標函數(shù)。其中，最大化熵產(chǎn)生原理則與眾不同，因為它深深植根于非平衡態(tài)熱物理。著名的物理學家、化學家，復雜系統(tǒng)理論研究的先行者普利高津很早的時候就提出了一個類似的最小熵產(chǎn)生原理，只不過它僅限于平衡態(tài)附近的系統(tǒng)。進一步，很多人從不同的問題分別提出了處于非平衡態(tài)的系統(tǒng)朝向最大化熵產(chǎn)生的方向發(fā)展的理論，并在大氣系統(tǒng)、流體、電路等領域進行了成功的應用。（請參考有關最大熵產(chǎn)生定律的綜述）

實際上，任何一種可用的能量在系統(tǒng)內(nèi)部得到轉化和使用的時候都會產(chǎn)生大量的廢熱。這些廢熱是和熵的產(chǎn)生成比例的（見有關熵的歷史的討論）。所以熵產(chǎn)生越大，就說明能量在系統(tǒng)內(nèi)部的轉化得越快。而能量在系統(tǒng)內(nèi)部的轉換又是靠能量流本身所驅動的，因此熵產(chǎn)生越大能量流動得越快。因此可以說最大功率原理和最大熵產(chǎn)生原理是一枚硬幣的兩面，它們同是更廣義的最大流原理的一種具體體現(xiàn)。

2、流動與時空

為了進一步理解最大流動原理，我們可以考慮這樣一個形象的比喻：有很多水流源源不斷地從山頂流到山底，那么水流會沿著什么路徑流呢？如圖：

有兩種可能的情況發(fā)生。

第一種，地形不會因為水流的流動而改變。開始的時候，如果有多條路徑可供水流選擇，并且總流量是有限制的話，那么會發(fā)現(xiàn)，越來越多的水流會集中在流動最快的那條路徑上。這不是因為水流具有多少聰明的智慧，而是因為快速疏導水流的路徑會導致水流在更短的時間里產(chǎn)生出“虛空”，而這種“虛空”會引導更多的水流過來，這樣二者相互作用的結果就導致了我們僅能看到被水流選擇出來的快速的流動路徑。
　　出人意料的是，這種水流與路徑的關系與螞蟻覓食的原理是如此之像。如下圖，假如螞蟻從巢穴出發(fā)，外出去覓食，當找到食物之后就會再次返回巢穴。如果有兩條路徑可以通向食物，一條較長，一條較短。開始的時候螞蟻們盲目的尋找路徑，但是隨著時間的推移，眾多螞蟻會越來越集中在那條從巢穴到食物的最短路徑上。

第二種情況，是路徑可以被水流沖擊而改變。這樣如果路徑阻擋了水流的流動，那么水流就會不斷沖擊它而改變路徑的形狀。這樣反復沖刷的結果就會使得流動更加順暢。因此最后大自然構造出來的水流路徑一定是使得水流流速最快的一條。這樣，如果水的流入是一點，流出也是一點，類似河流中的一小段，那么水流會造就一條最快的聯(lián)通兩點的路徑。但是如果水的流入是一點，而流出可能是非常多的點，那么會怎樣呢？例如，從山頂?shù)乃魍菑囊稽c流下，但是山底卻有很多點可以讓水流流出。有趣的是，在這種情況下，水流就可以通過沖刷而構造出分形的樹狀結構，實際中的河流就是這樣的情況。

由真實水流沖刷而形成的分叉河流網(wǎng)絡

對于水流的這一描述完全可以搬到現(xiàn)實中的能量流。水流在真實的地形空間流過，能量可能在各種更加抽象的空間中流動。水之所以會流動是因為存在著高、低兩種地勢差，能量流動的原因也是因為存在著某種抽象空間中的勢差。例如，熱力學告訴我們，熱流總是流向溫度較低的物體，這里面，不同溫度的物體就構成了一種勢差，溫度T就相當于是高度。高溫流向低溫，就相當于水從高處流向低處。

太陽輻射大地不斷的注入一種能量流給地球，地球最終需要把這些能量變成一種廢熱而耗散到宇宙空間中去。這樣，太陽能量就構成了高勢，而輻射熱就構成了一種低勢。有了這兩種勢差，流動就一定會發(fā)生，這樣源源不斷地能量流就構造了我們看到的美麗地球。從陽光到植物的光合作用產(chǎn)生有機物和二氧化碳，這些有機物進一步被生物、人類使用，從而再把能量轉化為廢熱釋放到宇宙空間中，這一切都是能量流構造的，如圖：

地球上的能量流不僅僅被路徑選擇，而且通過不斷的“沖刷”而創(chuàng)造了各種釋放能量的路徑，這就是能量流造物的奧秘。生態(tài)圈中的各種生物因為都要新陳代謝，所以，它們就構成了各種各樣的釋放能量的通道。然而真實的水流流動在真實空間中，能量流動在什么空間呢？作者猜想，能量流動的空間可能是頻譜空間。詳細請看這里。
　　能量不僅可以沿著路徑流動，同時路徑反過來又可以被能量流動所改變。當能量可以從一點注入，而可以從多點流出的時候，流動就會構造出分形的河流疏運網(wǎng)絡結構。我們可以把這個過程抽象成下面的圖：

　　在這張圖中，能量不斷從一個單點流入，而分叉成越來越多的細流。造成流動的原因是因為廣義的高度：勢的存在。它是一種不同節(jié)點之間的差異性。按照我們的猜想，也就是不同能量形式所存在的頻譜，它形成了空間中的一個重要維度。另外一個重要的空間維度就是橫坐標軸，能量流會在這個軸上分叉。如果我們僅僅畫出這個空間維度，那么，不難看出，整個過程就好像是一個發(fā)生在該空間上的擴散過程。而且隨著時間的推移，能量流創(chuàng)造了越來越多的結點，那么這些節(jié)點就會漸漸占領更大的空間。

3、新的熱力學定律？*

這種逐漸充斥整個空間、逐漸擴散的過程讓我們想起了一個有趣的定律：熱力學第二定律。想想，一瓶香水如果打開了瓶口，那么香水就會擴散到整個空間。房間不打掃就會變得越來越臟，熱量不能自發(fā)地從低溫物體流向高溫物體，任何能量轉化的過程都伴隨著一定的廢熱產(chǎn)生，所有這些現(xiàn)象都與熱力學第二定律有關。

歷史上，人們對熱力學第二定律的發(fā)現(xiàn)經(jīng)歷了一段漫長而艱難的過程。開始的時候，人們先是從一些物理現(xiàn)象出發(fā)：如熱不能從高溫物體自動流向低溫物體、任何機器在工作的時候都會伴隨著大量的廢熱產(chǎn)生……。然而，將熱力學第二定律變成一種科學定律還要歸功于熵這個概念的提出。人們發(fā)現(xiàn)，熱力學第二定律所描述的那些過程實際上都伴隨著熵這個物理量的增加。

有關熵概念的形成歷史，請大家參看這里。正文部分不進行詳細論述了。

然而，熱力學第二定律、熵等概念僅僅是針對封閉的、處于近平衡態(tài)的系統(tǒng)討論的。在這里我們更感興趣的是流動，是開放的系統(tǒng)，第二定律、熵等概念還能適用嗎？

首先，值得肯定的一點是，我們還可以運用前面提到的“熵產(chǎn)生”這個概念。根據(jù)Clausius對于熱溫熵的原始定義，我們知道，在一定的溫度下，熵產(chǎn)生就等價于熱量的產(chǎn)生。然而，除此之外，熱力學似乎幫不上任何忙了，為什么熵產(chǎn)生、能量流動會達到最大？經(jīng)典的熱物理學不能回答。

讓我們放眼現(xiàn)實世界，會發(fā)現(xiàn)一種特別有趣的現(xiàn)象：駐波。當一股溪水遇到了一塊石頭的時候，就會繞開它，并在石頭的旁邊形成有規(guī)則的駐波。仔細觀察會發(fā)現(xiàn)，雖然每個水滴在流動中都在變化，但是只要水流總量不變，那么這股駐波就能穩(wěn)定存在。其原因是駐波本身并不是一個物理實體，而是水滴相互作用在宏觀形成的一種構型（Pattern）。

同樣，對于一個非平衡物理系統(tǒng)來說，如果它處于穩(wěn)衡態(tài)，那么也有可能某種宏觀的統(tǒng)計性質就像駐波一樣是穩(wěn)定的，盡管它微觀的水分子是在不停變化的。如果我們切換一種視角，不去盯住那些微觀水分子本身，而是觀察每個水分子的運動過程，那么我們會發(fā)現(xiàn)，由于系統(tǒng)處于了穩(wěn)衡態(tài)，所以不停注入的流水是一個常量，也就相當于是一群固定的水分子運動的過程，同樣整個系統(tǒng)內(nèi)部也會形成各種各樣較穩(wěn)定的過程。我們不妨用箭頭表示這些小的過程，那么水波就可以表示成：

首先，只要系統(tǒng)處于穩(wěn)衡態(tài)，那么這些小的過程就是相對不變化的。而有趣的是，每個小過程本身并不是固定的水分子，而是不停地被新的水分子替換掉的流動過程本身。其次，一個開放的不停流入水分子的系統(tǒng)在這里就變成了一個固定的封閉的系統(tǒng)。一個非平衡的系統(tǒng)對于這群小過程來說就變成了平衡的系統(tǒng)。

如果我們把這些小的過程而不是真正的水分子比喻成氣體中的分子小球，那么我們就會按照統(tǒng)計力學的推理原則構造出一套關于這些小過程的統(tǒng)計理論。那么這一套統(tǒng)計理論就很有可能是解釋非平衡態(tài)物理系統(tǒng)的最終理論。

有趣的是，法國物理學家R.C. Dewar在2003年的時候在Physica A上發(fā)表了一篇論文Information theory explanation of the fluctuation theorem, maximum entropy production and self-organized criticality in non-equilibrium stationary states，用一套統(tǒng)一的框架自然導出了最大熵產(chǎn)生原理，以及另外兩個著名的非平衡態(tài)系統(tǒng)中的重要現(xiàn)象：自組織臨界性、漲落定理。他用到的一個重要的基本思想就是將系統(tǒng)的變化路徑（水分子的運動過程）本身看作是微觀的對象。

Dewar將前面介紹過的Jaynes的最大Shannon信息熵原理運用到非平衡系統(tǒng)中，只不過信息熵定義中的狀態(tài)空間不是固定點構成的空間，而是系統(tǒng)演化的所有路徑構成的空間。這樣，信息熵值就是指一個過程在所有可能路徑上取不同概率的熵值。按照這樣的理解，我們可以得到最大熱力學熵產(chǎn)生原理，即作為最大化路徑的信息熵的一個推論。

注意這兩個熵的不同之處。實際上，我們可以把這兩種熵理解為兩個層次的概念。在微觀層次，系統(tǒng)不同的演化路徑對應著不同的微觀的熱力學熵的產(chǎn)生。而在宏觀層次，我們把若干路徑看作為高一層次的基本粒子，這樣對于這群基本粒子來說它們在高一層次就又可以定義一種熵，這就是在Dewar的工作中被最大化的信息熵。因而，我們可以說最大化高層次的信息熵可以自然導致低層次的熵產(chǎn)生達到最大。我們知道，熱力學第二定律所說的最大化熵，就相當于最大化信息熵。所以，這里的結論又可以翻譯為：最大熵產(chǎn)生原理是高一層次的熱力學第二定律的一個推論。

要理解這個原理，我們不妨用經(jīng)濟系統(tǒng)或者生態(tài)系統(tǒng)作類比。我們知道經(jīng)濟系統(tǒng)中各個經(jīng)濟體之間的交換就構成了一種貨幣或者商品流。那么如果企業(yè)的種類繁多，生產(chǎn)的產(chǎn)品足夠多樣性，同時人們的消費也是多樣性的話，這就會創(chuàng)造出更多的消費渠道，也就可以使得貨幣或者商品的流動增加。因此商品空間中的多樣性造成了經(jīng)濟流動的加強。

在生態(tài)系統(tǒng)中，各個物種通過捕食與被捕食的關系構成了復雜的食物網(wǎng)絡。在食物網(wǎng)中，每發(fā)生一次捕食與被捕食關系，就會有一股能量從網(wǎng)中的一個節(jié)點流向另一個節(jié)點。如果系統(tǒng)中的物種足夠豐富，那么這里面的捕食與被捕食的關系也就足夠多樣，因而粗略說，物種的多樣化就會導致系統(tǒng)中總體的能量流加強。物種的多樣性可以理解為物種在表型空間中的一種擴散行為，于是這就解釋了最大功率原理，即它是一種表型空間中熱力學第二定律的體現(xiàn)。

如果這一原理是對的，那么它很有可能成為新的熱力學定律：熱力學第四定律的候選。

4、流動的新理論*

講到這里，是時候回過頭來總結一下我們走過的這些路了。首先，我們從新陳代謝和生物體尺寸之間的3/4冪律關系出發(fā)，揭示出普遍存在于復雜系統(tǒng)流動現(xiàn)象的冪律關系；其次，我們提到了各種解釋這些冪律關系的模型，之所以會有這么多冪律關系是因為生物體內(nèi)存在著分形的輸運網(wǎng)絡，并且這些網(wǎng)絡作為長期進化的結果，它的結構會使得能量在生物體內(nèi)的流動達到最快。進一步，我們提出了一個最大流原理，并給出了更深一層次的猜想：即流動的最大化可能是高層次空間上熱力學第二定律的表現(xiàn)。

有趣的是，雖然這里的討論往往集中在物理、生態(tài)、經(jīng)濟等領域，但是流動的研究沒有理由僅僅局限于此。現(xiàn)實世界存在著更多的資源、流動、廣義的生態(tài)系統(tǒng)。

更加抽象的資源流動還可能包括權利的流動。例如一家大型公司，大老板擁有豐富的權利資源，他會把他的權利下放到他的下屬，這就是各個部門經(jīng)理，部門經(jīng)理又可以把權利資源下放到小組長，小組長下放到員工……。這樣權利資源的流動串聯(lián)起了整個系統(tǒng)，它們構成了一個層級的網(wǎng)絡。

在科研領域也可以利用類似的類比。有人將科研人員比喻成瘋狗，而新的思想或者新的學說比喻成肉。那么如果哪位能夠拋出一塊肥肉，就會引起大量的科研瘋狗撲過來。于是這里面新的學說思想就構成了廣義的資源流，撲過來的科研瘋狗就好比是不同的物種，他們相互傳播這股資源流形成了復雜的網(wǎng)絡……。

一個計算機軟件系統(tǒng)也可以看作是這樣一種廣義的生態(tài)系統(tǒng)。什么是這個生態(tài)系統(tǒng)中的能量流呢？我們不妨假設CPU的執(zhí)行相當于一種能量流。一個軟件不同程序部分的執(zhí)行權利是由用戶決定的，這樣用戶就構成了整個軟件生態(tài)系統(tǒng)的太陽，他不斷地給系統(tǒng)輸入能量資源進來。被首先執(zhí)行的軟件模塊相當于植物，被這些模塊調(diào)用而執(zhí)行的模塊相當于吃草類動物，次級被調(diào)用的相當于食肉類動物。被執(zhí)行次數(shù)越多的軟件模塊就相當于擁有越多能量的物種。這樣，整個軟件就由各個模塊以及相互之間的調(diào)用關系構造成一個復雜的食物網(wǎng)。好的軟件系統(tǒng)可以便利地被人們使用，因而就相當于能量流被最大化。我們甚至可以開發(fā)出一整套方法來研究如何優(yōu)化軟件系統(tǒng)。（著名的人工生命系統(tǒng)：Tierra就是將程序比喻成物種，CPU執(zhí)行時間比喻成能量而設計的）
【本人按：這方面還有蔡汀基于算法信息論的人工生命理論，其中圖靈機等價于生物DNA，圖靈機從開始運算到停機的運算時間等價于環(huán)境壓力。具體可以看本人的這篇文章】

長久以來，人工智能的研究始終沒有突破，這是因為人們忽視了機器學習的問題。然而，傳統(tǒng)機器學習理論往往都是從各種算法的修修補補進行改進，沒有人從開放的流系統(tǒng)這個角度來思考人工智能中的學習。如果把新的知識作為一種能量的來源，而把整個學習形成的各種知識積累作為一種促使能量流動的網(wǎng)絡，那么我們完全可以把機器學習系統(tǒng)看作是一個廣義的生態(tài)系統(tǒng)。于是，機器學習的目的也是為了能夠最大化這種廣義的能量流。也許，這種全新的視角可以給我們帶來新的認識。例如，機器學習系統(tǒng)中是否存在新知識與已有知識的冪律分布關系？如果我們把遺傳算法中的變異和交叉操作看作是一種注入的能量流，而把整個系統(tǒng)存在的規(guī)則、程序看作是一種存量的話，那么是否流量和存量依然存在著冪律關系？或者說也許最優(yōu)的設計就來源于這種冪律分布關系？

總之，這個主題才剛剛開始。有太多激動人心的發(fā)現(xiàn)等待著我們?nèi)グl(fā)掘。

“流”的探索（一）——流動與冪律
“流”的探索（二）——分形輸運網(wǎng)絡

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