條件概率

首先，理解這兩個公式的前提是理解條件概率，因此先復習條件概率。
P(A|B)=P(AB)P(B)
理解這個可以從兩個角度來看。
第一個角度：在B發(fā)生的基礎上，A發(fā)生的概率。那么B發(fā)生這件事已經是個基礎的條件了，現(xiàn)在進入B已經發(fā)生的世界，看看A發(fā)生的概率是多少。那么分子就是B發(fā)生A也發(fā)生，分母就是B這個世界發(fā)生的概率了。分母如果是1，那么成了什么意思呢？
另一個角度是看韋恩圖。這里A在B發(fā)生的基礎上發(fā)生的概率是A和B交集的陰影部分面積占用B的比例。

那么由條件概率出發(fā)，看一下變形出來的乘法公式：
P(AB)=P(A)?P(B|A)=P(B)?P(A|B)
也可以提供上面的兩個角度來理解這個公式，雖然可以由上面的直接推導，但是我們認為這是問題的思考的不同角度，不僅僅是公式之間的運算。
一：AB同時發(fā)生的概率是在A基礎上發(fā)生B的概率乘以A本身在外部發(fā)生的概率，也是B基礎上發(fā)生A的概率乘以B本身在外部發(fā)生的概率.
二：AB表示的是陰影部分的面積占用A或者B的比例關系。
僅僅從形式上說，豎線后面的要在前面多乘以一個以達到平衡。

全概率

然后再看全概率公式。

一個別人舉的例子：

一個村子與三個小偷，小偷偷村子的事件兩兩互斥，求村子被偷的概率。

解釋：假設這三個小偷編號為A1,A2,A3;
偷東西的事件標記為B,不偷的話標記為：B^
那么被偷的概率就是：要么是A1，要么是A2，要么是A3，
如果是A1, 概率是什么呢？首先得是A1,其次是村子被偷，也即是兩個事件都滿足，所以是P(A1B)
同理，可以得到P(A2B),P(A3B)
又因這三個小偷兩兩互斥，表示不會同時去偷。所以被偷的概率是：

P(B)=P(A1B)+P(A2B)+P(A3B)
當然按照條件概率或者乘法公式展開：
P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3) （*）

PS: P(Ai),P(B|Ai)是已知的
問：是不是有想展開為：

P(B)=P(B)P(A1|B)+P(B)P(A1|B)+P(B)P(A1|B)的沖動？

當然這個式子是沒錯的，但是體現(xiàn)不了這個問題的解法：分階段。

（*）式子體現(xiàn)的是問題分為兩個階段：
1）選人，分割問題
2）計算分割的子問題的條件概率

對應的這里來便是：
1）選小偷，誰去偷
2）選定的小偷作為條件，那么他去偷的條件概率是什么

所以將問題拆解為階段的問題便是全概率公式針對的問題。

貝葉斯公式

貝葉斯公式有意思極了，簡單說就是逆全概公式。

前面是問總體看來被偷的概率是多少，現(xiàn)在是知道了總體被偷了這件事，概率并不知道，問你個更有意思的問題，像是偵探斷案：是哪個小偷的偷的，計算每個小偷偷的概率。

這個特性用在機器學習，人工智能領域相當好用。

也就是求：P(Ai|B)=P(AiB)P(B)
Ai:小偷i干的；B:村子被偷了
首先是一個淳樸的條件概率的展開。
分母里出現(xiàn)了P(B),剛剛討論的全概公式拿來用一用！
而P(AiB)=P(Ai)?P(B|Ai)
對應到上面的例子就鮮活一些：村子被偷了，求Ai偷的概率。

自然現(xiàn)在條件是P(B)，分子變形為P(AiB)=P(Ai)?P(B|Ai)，是因為假定就是Ai偷的，這是一個已知的概率。
分母P(B)=∑ni=1P(Ai)P(B|Ai)

除了上面的思路外，通常需要注意的是分階段意味著時間的先后。在先進行的事件的基礎上進行后面的事件，就很容易計算概率：P(AB)=P(A)P(B|A)這種。

所以當我們需要計算先驗概率，即先發(fā)生的時間的概率時，總是想著用上面的這個類型來計算，且是通過條件概率進行過渡。