? ? ? 首先我們必須明確的一件事是:分?jǐn)?shù)本身是數(shù)而不是運(yùn)算。雖然在除法中，我們把分?jǐn)?shù)看成除法運(yùn)算的一種表示，但只是形式的一致，其本質(zhì)不同。
? ? ? 提及“為什么把分?jǐn)?shù)看成除法運(yùn)算的一種表示”，這兒做個(gè)簡單介紹。根據(jù)倒數(shù)與除法之間的關(guān)系:除以一個(gè)數(shù)等于乘以這個(gè)數(shù)的倒數(shù)。可以把這句話用關(guān)系式表示為:a÷b=a×1/b在乘法運(yùn)算過程中，人們通常會省略其中的乘法符號“×”，因此，基于上面的表達(dá)式，人們有時(shí)也把除法寫成倒數(shù)的形式:a÷b=a/b。這只是表示方法與分?jǐn)?shù)一致，從抽象本意來說，分?jǐn)?shù)與除法有本質(zhì)差異。
? ? ? 分?jǐn)?shù)的本質(zhì)在于真分?jǐn)?shù)，即分?jǐn)?shù)的分子小于分母。這樣的分?jǐn)?shù)有兩個(gè)現(xiàn)實(shí)背景:一個(gè)是表達(dá)整體與等分的關(guān)系，一個(gè)是表達(dá)兩個(gè)數(shù)量之間整數(shù)的比例關(guān)系。具體分析如下：
? ? 一、整體與等分的關(guān)系
主要是對整體的等分，通常把整體看作1，例如，一塊蛋糕等分成4分，其中1份就是1/4，2份就是2/4，3份就是3/4，4份就是4/4，也就是完整的1塊蛋糕。在這里特別要注意，通過等分得到分?jǐn)?shù)單位是1/4，而2/4表示的是兩個(gè)分?jǐn)?shù)單位:2/4=2×1/4=1/4+1/4，依此類推。這時(shí)就涉及到分?jǐn)?shù)的比較和運(yùn)算，這又需要分成兩種情況。
? ? ? ? ①兩個(gè)分?jǐn)?shù)分母相同
分母相同，也就意味著兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位相同，直接比較兩個(gè)分?jǐn)?shù)大小即可:3/4＞1/4 (3個(gè)1/4一定大于1個(gè)1/4)；對于兩個(gè)分?jǐn)?shù)的加減運(yùn)算也容易得到:3/4－1/4=2/4(3個(gè)分?jǐn)?shù)單位減去1個(gè)分?jǐn)?shù)單位等于2個(gè)分?jǐn)?shù)單位)。
? ? ? ②兩個(gè)分?jǐn)?shù)分母不同
既然兩個(gè)分?jǐn)?shù)分母不同，也就意味著這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的分?jǐn)?shù)單位不同，需要在原有分?jǐn)?shù)單位的基礎(chǔ)上進(jìn)一步等分，使得兩個(gè)分?jǐn)?shù)能夠在相同的分?jǐn)?shù)單位上進(jìn)行大小比較及加減運(yùn)算比較。例如，要比較1/2和1/5的大小，就必須對分了2份的蛋糕和分個(gè)5份的蛋糕進(jìn)行再等分。對于分了2份的蛋糕的每份再5等分，對于分了5份的蛋糕的每份再2等分，可參照下圖，得到的單位都是原來整體的1/10，，出現(xiàn)新的分?jǐn)?shù)單位，對于1/2，原來的分?jǐn)?shù)單位與新單位的關(guān)系是1/2=5/10；對于1/5，原來的分?jǐn)?shù)單位與新單位的關(guān)系是1/5=2/10，這樣分?jǐn)?shù)單位一致，就可以比較大小:因?yàn)?/10＞2/10，所以1/2＞1/5，同樣也可以進(jìn)行兩分?jǐn)?shù)的加減運(yùn)算:1/5+1/2=2/10+5/10=7/10。
由于分?jǐn)?shù)單位1/5轉(zhuǎn)化成新的分?jǐn)?shù)單位1/10，那么對于原來單位的2份就等價(jià)于新單位的4分:2/5=2×1/5=2×2/10=4/10。也就論證了分?jǐn)?shù)的性質(zhì):分?jǐn)?shù)的分子和分母同時(shí)擴(kuò)大或縮小相同的倍數(shù)，分?jǐn)?shù)大小不變。利用通分的性質(zhì)就可以解決其他不用分母分?jǐn)?shù)的加減法運(yùn)算。
? ? ? 簡單而言，就是我們課堂上常說的:同分母分?jǐn)?shù)直接加減，異分母分?jǐn)?shù)先通分再加減。(通分的原理在上邊已經(jīng)論述)
? ? ? ? 二、整比例關(guān)系
? ? 分?jǐn)?shù)還可以表示兩個(gè)事物量之間的整數(shù)比，或者說，以一個(gè)事物的量為基準(zhǔn)對另一個(gè)事物的量進(jìn)行整數(shù)倍的度量。我們用一道例題來理解:
? ? 小紅家有鵝4只，是鴨子只數(shù)的1/3，問有幾只鴨子？
這里的1/3說的就是比例，要解題關(guān)鍵要理解1/3的含義。
? ? 方法一:鵝只數(shù)是鴨子只數(shù)的1/3(鴨子只數(shù)的1/3是鵝的只數(shù))，也就是說1只鵝對應(yīng)3只鴨，2只鵝對應(yīng)6只鴨，3只鵝對應(yīng)9只鴨，4只鵝就對應(yīng)12只鴨。
? ? 方法二:反推法，鵝的只數(shù)是鴨子只數(shù)的1/3，鴨的1/3是鵝，也就是說鴨子只數(shù)是鵝的3倍。畫圖理解如下圖
? ? ? 方法三:設(shè)未知數(shù)x,這是我們更加喜歡的一般性數(shù)學(xué)表達(dá):用x表示鴨子的數(shù)量，得到鵝與鴨子的數(shù)量比例關(guān)系4:x=1:3。借助這個(gè)比例關(guān)系，可以通過兩種運(yùn)算方法得到所求的結(jié)果，一種是上邊說的乘法(畫圖更好理解)，另一種是教課書上所希望的除法:鴨子數(shù)量=4÷1/3=4×3=12這又涉及到“話題篇”中話題21，我在這里也做簡單解釋，⑴為什么要用除法?⑵為什么要乘以倒數(shù)？
? ? ? ? ⑴為什么要用除法？
? ? 很多人對這個(gè)問題感到困惑，主要是困惑在分?jǐn)?shù)上，為什么要除以分?jǐn)?shù)呢？我們可以根據(jù)關(guān)于除法的討論，其中強(qiáng)調(diào):對于“a是b的y倍”這樣的問題應(yīng)該用除法，運(yùn)算形式表示為:a÷b=y。因?yàn)樵谶@個(gè)運(yùn)算形式中，除數(shù)b與商y是對稱的，因此算式可以等價(jià)于:a÷y=b。根據(jù)后一個(gè)算式，可以知道，對于:“已知a是b的y倍，求b是多少”這樣的問題也應(yīng)當(dāng)用除法。
? ? ? 對于題中說鵝是鴨子數(shù)量的1/3，求鴨子的數(shù)量，顯然用除法解決:鴨子的數(shù)量=鵝數(shù)量÷1/3，即4÷1/3。
? ? ? ⑵為什么要乘以倒數(shù)？
? ? ? 對于4÷1/3=4×3=12這樣的法則非常重要，需要記住，但是在教學(xué)中也應(yīng)當(dāng)讓學(xué)生多多少少感悟其中的道題，嘗試性地解釋這個(gè)法則。個(gè)人認(rèn)為根據(jù)“除法是乘法的逆運(yùn)算”則可以較好的證明這個(gè)法則，具體推算如下圖
這樣就很好的論證了:除以一個(gè)分?jǐn)?shù)等于乘以這個(gè)分?jǐn)?shù)的倒數(shù)。
