在上篇文章中（數(shù)學(xué)與交易1 | 實(shí)用入門-從押注策略悟資金管理），我們介紹了兩種常見的押注類型（鞅策略和反鞅策略），如果去賭場，明顯是選擇鞅策略對賭客更有優(yōu)勢；而對金融交易者，采用反鞅策略進(jìn)行押注才是對自己的交易是有利的，我們需要制造有正期望收益的系統(tǒng)。
采用總資金的固定百分比進(jìn)行押注是常見的一種反鞅策略，那我們是否可以找到一個(gè)最優(yōu)的押注比例以實(shí)現(xiàn)利潤最大化呢？
這就要說到著名的凱利公式了。
1956年7月，美國貝爾實(shí)驗(yàn)室的科學(xué)家約翰·拉里·凱利（John Kelly）在《貝爾系統(tǒng)技術(shù)期刊》發(fā)表了《信息速率的新解讀》一文，提出了著名的“凱利公式”（Kelly formula）。
1960年，愛德華·索普（Edward O. Thorp，1932-）在美國《國家科學(xué)院文獻(xiàn)》發(fā)表了《二十一點(diǎn)的最佳策略》一文，對凱利公式進(jìn)行了應(yīng)用。
隨后凱利公式逐漸引起了大家的注意，被廣泛應(yīng)用到很多地方，例如體育博彩、21點(diǎn)、股票期貨市場等。
1987年，美國著名的期貨交易員拉瑞·威廉姆斯（Larry R. Williams）憑借凱利公式在羅賓斯杯期貨交易冠軍賽中獲得了總冠軍：他在不到一年的時(shí)間里使1萬美元變成了110萬美元。?
什么是凱利公式？
最一般性陳述為，尋找能最大化結(jié)果對數(shù)期望值的資本比例?f*，即可獲得長期增長率的最大化。
對于只有兩種結(jié)果（或輸去所有押注金額，或取得資金乘以特定賠率的回報(bào)）的簡單賭局而言，可由一般性陳述導(dǎo)出以下公式：
f*=（bp-q)/b
f*= 現(xiàn)有資金應(yīng)進(jìn)行下次投注的比例；
b= 投注可得的賠率（凈賠率）；
p= 獲勝率；
q= 落敗率，即 1-p；?
舉例來說
若一賭局有40%的勝率（p =0.4，q=0.6），而賭客A在贏得賭局時(shí)，可獲得二對一的賠率（b=2），則A應(yīng)在每次游戲中押注現(xiàn)有資金的10%（f*=0.1），以最大化資金的長期增長率。這樣的做法可以讓A的資金獲得最大化長期增長率。
一位鐘情于撲克牌博弈游戲的天才數(shù)學(xué)家愛德華·索普（Edward Thorp），在讀了凱利的論文后，開始研究如何用數(shù)學(xué)和概率論的方法在輪盤賭博和21點(diǎn)賭博中立于不敗之地，經(jīng)過一段時(shí)間的摸索，理論上能戰(zhàn)勝賭場莊家的“數(shù)牌法”誕生。
為了驗(yàn)證自己的理論，索普輾轉(zhuǎn)于賭場之間，在著名的賭城拉斯維加斯一舉成名，因?yàn)橼A得太多，他被賭場拉進(jìn)了黑名單……
索普獲勝的法寶便是凱利法則，其實(shí)對于某一手21點(diǎn)，他并不知道勝算多少，但只要遵循大數(shù)定理，玩的局?jǐn)?shù)足夠多，按照他的算牌規(guī)則，就一定能獲勝。
發(fā)揚(yáng)凱利公式，索普功不可沒，1962年，他出版了《戰(zhàn)勝莊家》，里面滿滿都是他的“不敗秘籍”，被譽(yù)為21點(diǎn)的“圣經(jīng)”。繼他之后，一代代的學(xué)生加入到升級改良索普的策略中，并組成團(tuán)隊(duì)出入賭場。
從賭場到華爾街
1969年，也就是在索普的“不敗秘籍”問世7年后，索普把目光放在了華爾街新生的股票權(quán)證上，史上第一家量化對沖基金“Princeton Newport Partners”在索普的籌備下誕生了。PNP是最早用數(shù)學(xué)建立套利模型的對沖基金，在投資界可謂出盡了風(fēng)頭，從1968年到1988年，這個(gè)對沖基金凈值上漲了14.5倍，同期標(biāo)普500只上漲了5倍。
這個(gè)誕生于賭場的凱利公式，在投資界也被被巴菲特，查理芒格和比爾格羅斯這樣的大佬引用了無數(shù)回。
它在投資中的應(yīng)用當(dāng)然也沒有那么簡單，否則索普為了賺錢而保密的公式就完全沒有作用了。這個(gè)公式最開始是凱利為通信學(xué)研究的，并不貼近實(shí)際的應(yīng)用場景。比如公式中要求的幾個(gè)參數(shù)，在實(shí)際的交易背景下不是常數(shù)，而實(shí)際交易中有最低交易門檻，最少也要買100股，如果你的賬戶里虧的只剩500塊，那么就意味著大部分股票你都買不了。
案例來源于量化投資與金融科技《從賭徒到量化投資，他用一個(gè)凱利公式，碾壓了賭場和華爾街！》?
特別說明，在賭場中使用凱利公式時(shí)，有兩個(gè)大的準(zhǔn)則：
1. 如果一個(gè)賭局的期望收益為負(fù)，最優(yōu)的選擇是不參與游戲。
2. 如果一個(gè)賭局存在把所押賭注全部輸?shù)舻目赡埽瑒t無論這種可能性多么小，最優(yōu)的選擇是永遠(yuǎn)不all in。?
雖然拉瑞·威廉姆斯利用凱利公式取得的交易績效令人震驚，但是他在后來連續(xù)幾次失利后，果斷地放棄了凱利公式。
這是因?yàn)閯P利公式是在已知?jiǎng)俾屎唾r率的情況下，計(jì)算“最優(yōu)比例”以實(shí)現(xiàn)利潤最大化的一種數(shù)學(xué)方法。
在賭場中，獲勝的概率是相對固定的，賠率也是事先約定好的，所以凱利公式應(yīng)用起來比較方便。
而在金融交易市場中，獲勝的概率以及盈虧比都是不可預(yù)知的，所以只能通過對歷史交易的統(tǒng)計(jì)來進(jìn)行計(jì)算，因此統(tǒng)計(jì)獲得的勝率、賠率都是一個(gè)均值，而均值是無法應(yīng)對小概率事件的。
正因如此，有更多的人為了讓金融交易中的押注策略能像凱利公式這樣大放異彩，前赴后繼地對凱利公式進(jìn)行了很多有益的改進(jìn)，并服務(wù)于自己的交易系統(tǒng)。
在接下來的篇章中，我們將討論如何改進(jìn)凱利公式，讓它在金融市場發(fā)揮威力。
