線性代數(shù)系列：線性方程組的性質(zhì)相關(guān)

關(guān)鍵詞：線性代數(shù)，非齊次線性方程組

內(nèi)容摘要

  • 非齊次線性方程組特解的差是齊次線性方程組的解
  • 矩陣AB在AB=0和BA=0的性質(zhì)
  • AB=0時(shí)，A，B的秩討論
  • 矩陣和矩陣的伴隨，關(guān)于秩的關(guān)系

非齊次線性方程組特解的差是齊次線性方程組大的通解

若a1是非齊次線性方程組Ax=b的特解，若a2是非齊次線性方程組的另一個(gè)特解，則a2-a1是齊次線性方程組Ax=0的一個(gè)解，容易證明
若 \mathbf{a}_1 是非齊次線性方程組 A\mathbf{x} = \mathbf 的一個(gè)特解，
若 \mathbf{a}_2 是該非齊次線性方程組的另一個(gè)特解，
則 \mathbf{a}_2 - \mathbf{a}_1 是齊次線性方程組 A\mathbf{x} = \mathbf{0} 的解。

證明如下：

已知：
A\mathbf{a}_1 = \mathbf, \quad A\mathbf{a}_2 = \mathbf

則：
A\mathbf{a}_2 - A\mathbf{a}_1 = \mathbf - \mathbf = \mathbf{0} \Rightarrow A(\mathbf{a}_2 - \mathbf{a}_1) = \mathbf{0}

因此，\mathbf{a}_2 - \mathbf{a}_1 是齊次線性方程組 A\mathbf{x} = \mathbf{0} 的一個(gè)解，如果齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系中向量個(gè)數(shù)是1，則該齊次線性方程組的通過(guò)解是k(a2-a1)，k屬于任意實(shí)數(shù)。

例題1

設(shè)線性方程組 A\mathbf{x} = \mathbf，即：

\begin{aligned} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 &= b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 &= b_2 \\ a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 &= b_3 \end{aligned}

有唯一解 \mathbf{x} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}。

方程組 B\mathbf{y} = \mathbf，即：

\begin{aligned} a_{11}y_1 + a_{12}y_2 + a_{13}y_3 + a_{14}y_4 &= b_1 \\ a_{21}y_1 + a_{22}y_2 + a_{23}y_3 + a_{24}y_4 &= b_2 \\ a_{31}y_1 + a_{32}y_2 + a_{33}y_3 + a_{34}y_4 &= b_3 \end{aligned}

有特解 \mathbf{y}_0 = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 4 \\ 2 \end{bmatrix}。

則方程組 B\mathbf{y} = \mathbf 的通解是？

解:
觀察 A 和 B 的形式，易得：

向量 \mathbf{x} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix} 也是方程組 B\mathbf{y} = \mathbf 的一個(gè)特解。

因此，兩個(gè)特解之差：
\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 4 \\ 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ -1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}
是對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組 B\mathbf{y} = \mathbf{0} 的一個(gè)解。

又因?yàn)?A\mathbf{x} = \mathbf 有唯一解，說(shuō)明矩陣 A 的秩 R(A) = 3。

而 B 是在 A 的基礎(chǔ)上增加了一列（即第4列），因此 R(B) = 3。

方程組 B\mathbf{y} = \mathbf 有 4 個(gè)未知數(shù)（n = 4），故其對(duì)應(yīng)齊次方程 B\mathbf{y} = \mathbf{0} 的基礎(chǔ)解系中向量的個(gè)數(shù)為：
n - R(B) = 4 - 3 = 1

即解空間是一維的。

由于 \begin{bmatrix} -3 \\ -1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} 是 B\mathbf{y} = \mathbf{0} 的一個(gè)非零解，且基礎(chǔ)解系只含一個(gè)向量，因此它可作為基礎(chǔ)解系。

所以，非齊次方程 B\mathbf{y} = \mathbf 的通解為：
\mathbf{y} = k \begin{bmatrix} -3 \\ -1 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 4 \\ 2 \end{bmatrix}, \quad k \in \mathbb{R}

矩陣AB在AB=0和BA=0的性質(zhì)

若 A、B 是同階矩陣，

  • 在 AB = 0 場(chǎng)景下，B 的每一列都是齊次線性方程組 A\mathbf{x} = \mathbf{0} 的解；
  • 在 BA = 0 場(chǎng)景下，B 的每一行都是齊次線性方程組 A^T\mathbf{x} = \mathbf{0} 的解。
例題1

設(shè) A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 2 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 1 \end{bmatrix}，
B 是三階矩陣，則滿足 AB = 0 的所有的 B = \_\_。

解:
B 的每一列都是 A\mathbf{x} = \mathbf{0} 的解。

解齊次線性方程組 A\mathbf{x} = \mathbf{0}：

A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 2 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 1 \\ \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & -2 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}

矩陣 A 的秩 r = 2，未知數(shù)個(gè)數(shù) n = 3，故基礎(chǔ)解系中向量的個(gè)數(shù)為：
s = n - r = 1

所以基礎(chǔ)解系為：
\begin{bmatrix} -2 \\ -1 \\ 1 \\ \end{bmatrix}

通解為：
\mathbf{x} = k \begin{bmatrix} -2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}, \quad k \in \mathbb{R}

由于 AB = 0，矩陣 B 的每一列都必須是 A\mathbf{x} = \mathbf{0} 的解，因此每列都是該基礎(chǔ)解系的倍數(shù)。

設(shè) k_1, k_2, k_3 為任意常數(shù)，則滿足條件的所有矩陣 B 為：

B = \begin{bmatrix} -2k_1 & -2k_2 & -2k_3 \\ -1k_1 & -1k_2 & -1k_3 \\ 1k_1 & 1k_2 & 1k_3 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -2 \\ -1 \\ 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} k_1 & k_2 & k_3 \end{bmatrix}

例題2

如果將例題1改為BA=0，求所有滿足條件的B
將 A 轉(zhuǎn)置，解 A^T\mathbf{x} = \mathbf{0}：

A^T = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ -2 & 1 & 1 \\ 0 & 5 & 1 \\ \end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 5 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ \end{bmatrix}

秩 r = 2，未知數(shù)個(gè)數(shù) n = 3，基礎(chǔ)解系含 3 - 2 = 1 個(gè)向量。

令自由變量 x_3 = 5（便于消去分母），回代得：

  • 由第2行：5x_2 + x_3 = 0 \Rightarrow 5x_2 + 5 = 0 \Rightarrow x_2 = -1
  • 由第1行：x_1 + 2x_2 = 0 \Rightarrow x_1 + 2(-1) = 0 \Rightarrow x_1 = 2

所以基礎(chǔ)解系為：
\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{bmatrix}

通解為：
\mathbf{x} = k_1 \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 5 \end{bmatrix}, \quad k_1 \in \mathbb{R}

在 BA = 0 的條件下（即 A^T B^T = 0），B 的每一行都是 A^T\mathbf{x} = \mathbf{0} 的解，因此每一行是該解的倍數(shù)。

設(shè) k_1, k_2, k_3 為任意常數(shù)，則滿足 BA = 0 的所有矩陣 B 為：

B = \begin{bmatrix} 2k_1 & -k_1 & 5k_1 \\ 2k_2 & -k_2 & 5k_2 \\ 2k_3 & -k_3 & 5k_3 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} k_1 \\ k_2 \\ k_3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & -1 & 5 \end{bmatrix}

AB=0時(shí)，A，B的秩討論

直接看例題

[例題3]

設(shè) A、B 都是 4 階非零矩陣，且 AB = 0，則下列結(jié)論中 必有 成立的是：

A. 若 R(A) = 1，則 R(B) = 3
B. 若 R(A) = 2，則 R(B) = 2
C. 若 R(A) = 3，則 R(B) = 1
D. 若 R(A) = 4，則 R(B) = 1

解:
注意題目中的必有二字，即若R(A)確定，R(B)必為某值不存在其他可能。
若AB=0，則B的每一列都是齊次線性方程組Ax=0的解
若R(A)=1，則方程組解系有4-1=3個(gè)基礎(chǔ)向量，這些向量線性無(wú)關(guān)，此時(shí)對(duì)于B，可以選取三個(gè)基礎(chǔ)向量的任意線性組合作為B的每一列，因此若B選擇同一個(gè)基礎(chǔ)向量或者同一個(gè)基礎(chǔ)向量的不同倍數(shù)，B中只有一條線性無(wú)關(guān)向量，則R(B)=1，當(dāng)然也可以R(B)=3，此時(shí)三條基礎(chǔ)向量各作為B的每一列即可，所以R(B)可以為1,2,3，所以R(B)=3錯(cuò)誤
同理若R(A)=2，則有2個(gè)基礎(chǔ)向量，此時(shí)R(B)可以為1,2，R(B)=2錯(cuò)誤
若R(A)=3，則有1個(gè)基礎(chǔ)向量，此時(shí)R(B)只可能為1，當(dāng)然如果B為零則AB=0必然成立，但是題中要求A，B非零，因此R(B)確定智能為1
若R(A)=4，說(shuō)明非齊次線性方程組系數(shù)矩陣滿秩，此時(shí)B必須為0，矛盾

因此答案為C。

矩陣和矩陣的伴隨，關(guān)于秩的關(guān)系

設(shè) A 為 n 階方陣，A^* 是其伴隨矩陣，則 A 的秩 R(A) 與 A^* 的秩 R(A^*) 之間有如下關(guān)系：

\boxed{ R(A^*) = \begin{cases} n, & \text{若 } R(A) = n \\ 1, & \text{若 } R(A) = n-1 \\ 0, & \text{若 } R(A) < n-1 \quad (\text{即 } R(A) \leq n-2) \end{cases} }

? 說(shuō)明：

  • 當(dāng) R(A) = n：
    A 可逆，|A| \ne 0，此時(shí) A^* = |A| A^{-1} 也可逆 ? R(A^*) = n

  • 當(dāng) R(A) = n-1：
    |A| = 0，但至少有一個(gè) n-1 階子式非零 ? 至少一個(gè)代數(shù)余子式 ≠ 0 ? A^* \ne 0；
    又 A A^* = |A| E = 0，說(shuō)明 A^* 的列屬于 A\mathbf{x} = \mathbf{0} 的解空間，其維數(shù)為 n - (n-1) = 1，
    故 R(A^*) = 1

  • 當(dāng) R(A) < n-1（即 \leq n-2）：
    所有 n-1 階子式均為 0 ? 所有代數(shù)余子式為 0 ? A^* = 0 ? R(A^*) = 0

[例題4]

已知 A、B、A^* 均為 3 階非零矩陣，且滿足 AB = 0，則
R(B) = \underline{\qquad}

解:
因?yàn)镽(A*)不為0，因此R(A)只可能為3或者2，當(dāng)R(A)=3時(shí)，B的的每一列為Ax=0的解，此時(shí)A系數(shù)矩陣為滿秩，R(B)必須為0，而B(niǎo)要求非零，所以該種情況舍去，當(dāng)R(A)=2時(shí)，Ax=0基礎(chǔ)解系只有一條向量，因此R(B)最大為1，再因?yàn)镽(B)>0因此R(B)=1。

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