智能優(yōu)化算法：松鼠優(yōu)化算法

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摘要：松鼠優(yōu)化算法是于2018年提出的一種簡單高效的新型優(yōu)化算法，具有收斂快尋優(yōu)強(qiáng)的特點(diǎn)。

1.算法原理

飛行松鼠是一類棲息在樹上并在夜間進(jìn)行活動的嚙齒動物，它們特別適合滑翔運(yùn)動。目前，飛行松鼠共有15屬44種，其中大部分分布在歐洲和亞洲的落葉林區(qū)（特別是東南亞）。在歐亞大陸以外發(fā)現(xiàn)的、研究最多的是南部飛行松鼠。飛行松鼠被認(rèn)為是空氣動力學(xué)上最復(fù)雜的物種，它有一個類似降落傘的膜，可以幫助松鼠改變升力和阻力，在高空中從一棵樹滑翔到另一棵樹。飛行松鼠不會飛行，而是采用滑翔方式快速和有效地跨越很長的距離。松鼠之所以要滑翔，是為了躲避捕食者、尋找捕食的最佳地點(diǎn)和以較小的代價進(jìn)行捕食。

飛行松鼠的覓食策略靈活多變，這可以幫助飛行松鼠以最佳的方式應(yīng)對食物資源。比如，松鼠為了滿足秋季的營養(yǎng)需求，它們選擇吃掉可以大量獲取的橡樹籽，將山核桃存儲在巢穴里、其他洞穴中或者地底下。由于冬季溫度低且營養(yǎng)需求較高，飛行松鼠在覓食時如發(fā)現(xiàn)山核桃就立刻慈鯛，如果沒有山核桃，飛行松鼠會從儲存的備用食物中吃山核桃。因此，飛行松鼠根據(jù)營養(yǎng)需求，有選擇地吃一些堅果和儲存其他堅果。

為了簡化數(shù)學(xué)模型，考慮以下假設(shè)。落葉森林中有 n只松鼠，每只松鼠停留在一棵樹上。每只松鼠都單獨(dú)尋找食物，并通過動態(tài)覓食行為來優(yōu)化利用食物資源。在森林中，只有三種類型的樹 —普通樹、橡樹和山核桃樹。飛行松鼠的位置在SSA算法中由向量表示，每個向量有多個維度。因此，飛行松鼠可以在一維、二維、三維或超維搜索空間中滑行來改變它們自身的位置。

1.1 種群初始化

森林中有n只飛鼠，第i只松鼠的位置可以通過一個矢量來確定。所有松鼠的位置在邊界范圍內(nèi)隨機(jī)初始化，如下式：
$FS_{i,j}=lb+rand*(ub - lb) \tag{1}$
$FS_{i,j}$ 代表第i只松鼠第j維的值。ub，lb分別為變量的上下邊界。rand為[0,1]之間的隨機(jī)數(shù)。

1.2 適應(yīng)度值評價

每只松鼠位置的適應(yīng)值描述了食物源的等級，即最佳食物源(山核桃樹)、正常食物源(橡樹)和無食物來源(普通樹)。在存儲了每只松鼠的位置的適應(yīng)值后，數(shù)組按升序排序。最小適應(yīng)值的松鼠停留在山核桃樹上，接下來的三只松鼠停留在橡樹上，它們可以向山核桃樹飛行，其余的松鼠停留在普通樹上。通過隨機(jī)選擇方式，選擇已經(jīng)滿足每日所需能量的松鼠朝著山核桃樹移動，剩余的松鼠將朝著橡樹移動以獲取每日所需能量。松鼠的覓食行為會受到天敵的影響，松鼠具體采用哪種移動策略也要根據(jù)天敵的出現(xiàn)概率（Pdp）而定。

1.3 生成新位置

在飛行松鼠的覓食過程中，可能會出現(xiàn)三種情況。在每種情況下，假設(shè)在沒有天敵的情況下，松鼠在整個森林中滑行并高效地搜尋它最喜歡的食物，而天敵的存在使它變得謹(jǐn)慎，松鼠被迫在小范圍內(nèi)隨機(jī)行走，來搜尋附近的躲藏地點(diǎn)。

①第一種情況，在橡樹上的松鼠會向山核桃樹移動
$FS_{at}^{t+1}=\begin{cases} FS_{at}^t + d_g*G_c*(FS_{ht}^t - FS_{at}^t),R_1\geq P_{dp}\\ Random Location,otherwise \end{cases}\tag{2}$
其中 $d_g$ 是隨機(jī)滑行距離， $R_1$ 是[0,1]范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)， $FS_{ht}^t$ 是山核桃樹的位置， $t$ 表示當(dāng)前迭代?；瑒映?shù) $G_c$ 實現(xiàn)全局與局部搜索之間的平衡，經(jīng)過大量分析論證， $G_c$ 的值設(shè)為1.9。

②第二種情況，在普通樹上的松鼠會向橡樹移動
$FS_{nt}^{t+1}=\begin{cases} FS_{nt}^t + d_g*G_c*(FS_{at}^t - FS_{nt}^t),R_2\geq P_{dp}\\ Random Location,otherwise \end{cases}\tag{3}$
$R_2$ 是[0,1]范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)。

③第三種情況，一些在普通樹上的松鼠已經(jīng)吃了橡果，它們可能會向山核桃樹移動以便儲存山核桃來應(yīng)對食物短缺。
$FS_{nt}^{t+1}=\begin{cases} FS_{nt}^t + d_g*G_c*(FS_{ht}^t - FS_{nt}^t),R_3\geq P_{dp}\\ Random Location,otherwise \end{cases} \tag{4}$
$R_3$ 是[0,1]范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)。

所有情況下，天敵出現(xiàn)的概率都為0.1。

1.4 滑翔的空氣動力學(xué)

松鼠的滑行機(jī)制是通過平衡滑行來描述的，升力(L)和阻力(D)之和產(chǎn)生一個合力(R)，該合力與飛鼠的重力大小相等且方向相反。因此，R以恒定速度(V)保證松鼠能夠在直線上與水平面成一定角度 $\phi$ 下降滑行。升阻比或滑行比定義如下：
$L/D=1/tan\phi \tag{5}$
松鼠可以通過減小下滑角來增加滑行路徑長度，從而提高升阻比。升力是空氣撞擊膜產(chǎn)生了向下的偏轉(zhuǎn)而產(chǎn)生的反推力的結(jié)果，定義為:
$L=1/2\rho C_LV^2S \tag{6}$
其中( $ρ = 1.204 kg/m^3$ )為空氣密度， $C_L$ 稱為升力系數(shù)， $V =5.25 m/s$ 為速度， $S =0.0154 m^2$ )為松鼠膜表面積。
$D=1/2\rho V^2SC_D\tag{7}$
$C_D$ 是摩擦阻力系數(shù)，低速移動時松鼠增加阻力，高速移動時松鼠減小阻力。
$\phi = arctan(L/D) \tag{8}$

$d_g=\frac{h_g}{tan\phi}\tag{9}$

其中 $h_g =8m$ 是滑行后發(fā)生的高度減少量，計算 $d_g$ 所需的所有參數(shù)值，包括 $C_L$ 和 $C_D$ ，都是來自于自然界的真實測量值。因此，松鼠可以根據(jù)著陸位置，簡單地改變升阻比來改變其滑行路徑長度或 $d_g$ 。 $C_L$ 的取值為[0.675,1.5]之間的某個值， $C_D$ 的值為0.6。飛行松鼠通常在一次滑行中行進(jìn)5到25米的水平距離，在SSA算法模型中，滑行距離在9~20米的范圍內(nèi)。 $d_g$ 的值過大會引起大的擾動，可能導(dǎo)致算法的性能不能令人滿意。因此將d g 除以一個稱為比例因子( $sf$ )的非零值， $sf$ = 18使得 $d_g$ 在[0.5，1.11]區(qū)間內(nèi)浮動。因此， $sf$ 有助于實現(xiàn)全局搜索和局部尋優(yōu)之間的均衡狀態(tài)。

1.5 季節(jié)變化條件

季節(jié)變化會顯著影響飛行松鼠的覓食活動，松鼠在低溫條件下會損失大量熱量。因為它們的體溫高、體型小，導(dǎo)致覓食過程的代價很大，并且由于天敵的存在而具有風(fēng)險。與秋天相比，氣候條件迫使它們在冬天不太活躍。在SSA算法中通過檢查季節(jié)變化條件，防止算法陷入局部最優(yōu)。

①計算季節(jié)常量 $S_c$
$S_c^t=\sqrt{\sum_{z=1}^3 \sum_{k=1}^d(FS_{at,k}^{t,z} - FS_{ht,k})^2} \tag{10}$
②計算季節(jié)變化條件 $S_c^t<S_{min}$
$S_{min}=\frac{10E^-6}{365^{2.5t/t_m}}\tag{11}$
其中 $t$ 和 $t_m$ 分別是當(dāng)前和最大迭代值， $S_min$ 值影響算法的全局和局部搜索能力。 $S_min$ 的值較大會有利于全局搜索，而 $S_min$ 的較小值有利于算法的局部搜索。對于任何啟發(fā)式算法，全局和局部搜索過程需要進(jìn)行有效的平衡。這種平衡可以通過滑動常數(shù) $G_c$ 來維持也可以通過在迭代過程中自適應(yīng)地
改變 $S_{min}$ 的值來實現(xiàn)。

③如果季節(jié)變化條件得到滿足（冬天結(jié)束），則隨機(jī)改變普通樹上松鼠的位置。
$FS_{nt,i}^{t+1}=FS_{i,L}+Levy(FS_{i,U}-FS_{i,L})\tag{12}$
列維分布（Levy distribution）能夠幫助算法以更好和更有效的方式進(jìn)行全局搜索，列維飛行（Levy flight）幫助算法尋找遠(yuǎn)離當(dāng)前最佳位置的新位置。列維飛行是一種隨機(jī)改變步長的方法，其中步長是從列維分布中得出的。
$Levy = 0.01\frac{r_a*\sigma}{|r_b|^{1/\beta}} \tag{13}$
其中 $r_a$ 和 $r_b$ 是[0,1]區(qū)間上的兩個正態(tài)分布隨機(jī)數(shù)， β =1.5，σ 計算如下:
$\sigma = (\frac{\Gamma(1+\beta)*sin(\pi\beta/2)}{\Gamma(\frac{1+\beta}{2})*\beta*2^{((\beta-1)/2)}})^{1/\beta} \tag{14}$
算法步驟

1）定義輸入?yún)?shù)
2）為n只松鼠生成隨機(jī)位置
3）評估每只松鼠位置的適應(yīng)值
4）根據(jù)飛行松鼠的適應(yīng)值，按升序排列它們的位置
5）將飛行松鼠分配到山核桃樹、橡子樹和普通樹
6）While(不滿足停止準(zhǔn)則)
8）for z=1 to n1(橡樹上向山核桃樹移動的松鼠數(shù)量)
9）利用公式（2）更新松鼠位置
10）for u=1 to n2(普通樹上向橡樹移動的松鼠數(shù)量)
11）利用公式（3）更新松鼠位置
12）for e=1 to n3(普通樹上向山核桃樹移動的松鼠數(shù)量)
13）利用公式（4）更新松鼠位置
14）計算松鼠適應(yīng)值，升序排列位置，將飛行松鼠分配到
山核桃樹、橡子樹和普通樹
15）判斷季節(jié)變化條件是否滿足，滿足則根據(jù)公式（14-
16）更新普通樹上松鼠位置
16）根據(jù)公式（13）更新 $S_min$ 的值
17）計算松鼠適應(yīng)值，升序排列位置，將飛行松鼠分配到
山核桃樹、橡子樹和普通樹
18）程序While循環(huán)結(jié)束，輸出山核桃樹上松鼠的位置和
適應(yīng)值。

2.實驗結(jié)果

實驗結(jié)果

3.參考文獻(xiàn)

[1]韓毅,徐梓斌,張亮.國外新型智能優(yōu)化算法——松鼠覓食算法[J].現(xiàn)代營銷(信息版),2019(09):44-45.

4.Matlab代碼

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