線性代數(shù)的本質(zhì)——筆記4

前言

之前我們講到了二維空間、三維空間下的線性變換，以及二維空間轉(zhuǎn)換到三維空間的變換，同時(shí)在知道了基變換的基礎(chǔ)上，今天我們開始學(xué)習(xí)二維空間到一維空間的線性變換——點(diǎn)積。

1.點(diǎn)積的定義

代數(shù)定義

二維空間中存在\vec{x}=\begin{bmatrix} a\\b \end{bmatrix}，\vec{z}=\begin{bmatrix} c\\d \end{bmatrix} 兩個(gè)向量，則它們的點(diǎn)積為如下實(shí)數(shù)：
\vec{x}\cdot{\vec{z}}=a\times c+b\times d
可推廣到任意高維空間。

幾何定義

二維空間中存在\vec{x}=\begin{bmatrix} a\\b \end{bmatrix}，\vec{z}=\begin{bmatrix} c\\d \end{bmatrix}兩個(gè)向量，其夾角為\theta(0<=\theta<=\pi)，則其點(diǎn)積定義為如下實(shí)數(shù)：
\vec{x}\cdot{\vec{z}}=|\vec{x}|\times |\vec{z}|\times \cos{\theta}
注意幾何定義只在2維，3維空間中有效。

2.為什么可以這樣定義？

我們仔細(xì)觀察下點(diǎn)積代數(shù)定義的運(yùn)算形式，發(fā)現(xiàn)它跟
\begin{bmatrix}a&b\end{bmatrix} \begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix}這兩個(gè)矩陣相乘的結(jié)果一樣。都是
a\times c+b\times d

這其中是否存在巧合呢？我們繼續(xù)往下探索。

從之前的筆記中我們已經(jīng)知道了矩陣相乘就是對(duì)基向量應(yīng)用線性變換。上述非方陣間的矩陣乘法是把一個(gè)2維向量轉(zhuǎn)換到1維空間，變成1維向量了，如下圖所示。

2維空間到1維空間的轉(zhuǎn)換

我們來重現(xiàn)這一過程，嘗試從中挖掘出一些有用信息。

2.1從向量的變換說起

假定現(xiàn)在有一個(gè)二維到一維的線性轉(zhuǎn)換A=\begin{bmatrix} x&y \end{bmatrix}，我們并不知道其元素的具體值，用x，y來替代?，F(xiàn)在我們想計(jì)算出變換到一維空間中的基向量x，y。已知二維空間中的任意一個(gè)單位向量\vec{u}=\begin{bmatrix} u_{x}\\u_{y} \end{bmatrix}，其中
(\sqrt {u_{x}^2+u_{y}^2}=1)

如下圖所示：

計(jì)算變換后的基向量

我們以\vec{u}所在的直線為變換后的一維數(shù)軸，則把原來二維空間下的基向量\vec{i}=\begin{bmatrix} 1\\0 \end{bmatrix}，\vec{j}=\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}變換為一維數(shù)軸上的某個(gè)數(shù)。

利用對(duì)稱性原理可以很容易得出變換后的基向量x=u_x，y=u_y，也就是圖中的\vec{i}和\vec{j}。

此時(shí)任意向量\vec{z}和單位向量\vec{u}做點(diǎn)積==對(duì)\vec{z}做線性變換A，A'=='\vec{u}（數(shù)值相等）

幾何定義此時(shí)就很形象了，如下圖：


點(diǎn)積的幾何定義

在線性變換的前提下，二維向量要轉(zhuǎn)換為一維數(shù)軸上的一個(gè)數(shù)，自然需要向一維數(shù)軸上投影，投影后一維數(shù)軸上的長(zhǎng)度自然就是向量的模長(zhǎng)\times夾角的余弦值。

上述的\vec{u}是單位向量，有先天的限制。如果\vec{u}不是單位向量，而是二維空間的任意向量呢？如下圖：

二維空間中的另一個(gè)u

圖中把整個(gè)二維空間拉伸了3倍，依然是線性變換，則原來的單位向量\vec{u}擴(kuò)大了三倍，方向不變，原來的單位基向量也變成了原來的3倍，即\vec{i}=3u_{x}和\vec{j}=3u_{y}。然后再壓縮為一維數(shù)軸，即這個(gè)變換為A=\begin{bmatrix} 3u_{x}&3u_{y}\end{bmatrix}。

空間任意一個(gè)向量 \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} 與其點(diǎn)積的結(jié)果就是\begin{bmatrix} 3u_{x}& 3u_{y} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}，相當(dāng)于對(duì)\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}進(jìn)行了一個(gè)線性變換。

2.2 總結(jié)

說了這么多，我們來總結(jié)一下。

二維空間中的任意一個(gè)向量\vec{u}，想要變換到一維空間中時(shí)，都要經(jīng)過一個(gè)線性變換A，而A中的元素(變換后的基向量)就是向量\vec{u}的坐標(biāo)。由此我們有了以下結(jié)論：

n維空間中的任意一個(gè)向量，一定有一個(gè)線性變換與其對(duì)應(yīng)，并且線性變換(矩陣)的值就是這個(gè)向量的坐標(biāo)。

因此點(diǎn)積的本質(zhì)就是對(duì)n維空間的向量應(yīng)用一個(gè)線性變換從而得到一個(gè)數(shù)。

3.參考

主要內(nèi)容來源于b站up主@3Blue1Brown的線性代數(shù)的本質(zhì)

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