球

一如既往，本文是筆者閱讀《基于物理的渲染：從理論到實踐》的總結(jié)，文章不會面面俱到地描述書中所有的東西，只會把筆者認為重要的東西整理出來。既是一種復習，也希望能對讀者有幫助。整理范圍：第2章+第3章的前5節(jié)。

由于作者水平所限，文中如果有錯誤或者沒有解釋到位的地方，還請讀者不吝指正。

交點類（Interaction）

這是第2.10節(jié)的內(nèi)容，也是第2章的最后一節(jié)。之所以認為這個重要，有兩個原因：1、PBR意味著對光線和表面的交點進行著色。2、之前的內(nèi)容都是向量、法線、光線等等非常簡單而基礎的東西，不值得拿出來再寫一遍。

pbrt中的交點分為兩種，一個是表面交點（SurfaceInteraction），這個應該是我們所熟悉的交點。另一個是介質(zhì)交點（MediumInteraction），這個東西目前還沒有講到，猜測應該是和體積渲染有關(guān)，計算光在介質(zhì)中反射或者折射的信息。于是，兩種交點就提取出了共有的基類：Interaction。

Interaction

Interaction類中的成員有：

Point3f p;
Float time;
Vector3f pError;
Vector3f wo;
Normal3f n;
MediumInterface mediumInterface;

一個個來解釋：

Point3f p：這是交點的位置信息。這非常容易理解，交點類都沒有交點的信息算什么！
Float time：時間。不知道是什么時間，也許是到這個點的時間，也許是計算得到這個點所用的時間。
Vector3f pError：我們計算交點信息的時候用的是浮點數(shù)，浮點數(shù)不可能表示數(shù)學意義上的每一個數(shù)，所以計算的時候會產(chǎn)生誤差。這個pError保存的就是一個保守的誤差范圍（就是誤差絕對不會超過的范圍）。
Vector3f wo：這是光線方向的相反方向?；蛘哒f是光線反射進入攝像機的方向。我們計算交點是假設有一條光線從攝像機的位置發(fā)出，然后和表面相交。這個wo就保存了這條光線的反方向，也就是前一篇文章中的 $\omega_o$ 。
Normal3f n：交點的法線。
MediumInterface mediumInterface：介質(zhì)接口。是交點所處的環(huán)境，或者說是光在什么介質(zhì)中穿行。目前為止還沒用到。

SurfaceInteraction

SurfaceInteraction類中包含了交點的幾何信息，這個類保存了許多跟點有關(guān)的計算需要用到的幾何信息，這樣在計算的時候就不用去管這個點在哪個物體上，所以你會看到：這個類居然連TM的Shape、BSDF、BSSRDF指針都有??！

好了，不吐槽了，正經(jīng)的。

SurfaceInteraction類的成員包括：

Point2f uv;
Vector3f dpdu, dpdv;
Normal3f dndu, dndv;
const Shape *shape = nullptr;

上面的這些代碼定義的是關(guān)于幾何表面的信息，其中，Shape是幾何表面，這個在第3章中有介紹，都是曲面和曲線（所以我才去啃了一個禮拜的《曲線和曲面的微分幾何》?。?。要理解這些變量，需要理解曲面是怎么表示的。參考曲面的定義（不了解的讀者可以參考我的前一篇文章。），曲面是由 $u$ ， $v$ 兩個參數(shù)映射成的三維空間中的點。這里的uv變量就是這兩個參數(shù)的值，而dpdu和dpdv則是曲面關(guān)于 $u$ ， $v$ 的偏導數(shù)。dndu和dndv則是曲面的法線關(guān)于 $u$ ， $v$ 的偏導數(shù)。這些數(shù)據(jù)意味著當前點附近的點的位置的變化情況以及法線的變化情況，在計算中非常有用。

struct {
    Normal3f n;
    Vector3f dpdu, dpdv;
    Normal3f dndu, dndv;
} shading;

著色幾何信息，說實話我到現(xiàn)在還不知道有啥用。講了一大堆怎么設置，怎么計算，結(jié)果有啥用沒說，很蛋疼的感覺。

剩余的成員：

const Primitive *primitive = nullptr;
BSDF *bsdf = nullptr;
BSSRDF *bssrdf = nullptr;
mutable Vector3f dpdx, dpdy;
mutable Float dudx = 0, dvdx = 0, dudy = 0, dvdy = 0;

// Added after book publication. Shapes can optionally provide a face
// index with an intersection point for use in Ptex texture lookups.
// If Ptex isn't being used, then this value is ignored.
int faceIndex = 0;

BSDF和BSSRDF不用說，梳理I中講過，faceIndex是面片的索引。這世上絕大多數(shù)模型都不能用完美的數(shù)學公式來表示，通常的方法是采用三角形面片來近似，一個模型有許多三角形面片，而這個faceIndex指的就是面片的索引。具體有什么用，暫時還不知道。剩余的變量都沒有說明，所以也不去糾結(jié)。

球面

球面的表示和交點計算算是最難的一部分，也不是說它本身有多難，而是它要很多微分幾何的知識，比如說至少得知道第一基本形式和第二基本形式都是啥，有啥用。

廢話不多說，一起來看。

球面的表示

球面的坐標方程是
$x^2 + y^2 + z^2 = r^2$
這個誰都知道，但是，這個沒用！我們不僅要知道交點在哪，還要知道交點附近的點的變化趨勢是什么樣的。甚至，我們還需要知道如何將紋理貼到球表面上去，這些信息上面的方程給不了，所以，我們采用的是極坐標表示方式，因為它正好有兩個參數(shù)（對應 $u$ ， $v$ 非常方便），而且計算偏導數(shù)也方便。

球的極坐標方程如下：
$\begin{cases} x=r\sin\theta\cos\phi \\ y=r\sin\theta\sin\phi \\ z=r\cos\theta \end{cases}$
其中 $\theta$ 的取值范圍是 $0$ 到 $\pi$ ， $\phi$ 的取值范圍是 $0$ 到 $2\pi$ 。幾何意義上， $\theta$ 是和z軸正方向的夾角，而 $\phi$ 是和x軸正方向，沿著 $x\to{y}$ 方向旋轉(zhuǎn)的夾角，如下圖所示（下圖中沒有標出 $\theta$ 角，但是把按照上面描述的，把 $\theta$ 比對圖片帶入計算就可以發(fā)現(xiàn)是這樣的）：

進一步，這只是球面的數(shù)學表示，要用類怎么表示呢？首先要想到，我們需要兩個參數(shù)和，這兩個參數(shù)是不是其中的和？顯然不是，因為如果和是和的話，那么又是什么？所以，和不是參數(shù)方程中的任何一個變量，我們?nèi)〉们蛎嫔系狞c，首先一條就是：這是一個確定的球！也就是說，、、都是固定值，只有和才是參數(shù)。

于是，球面關(guān)于 $uv$ 參數(shù)方程是：
$\begin{cases} \phi=u\phi_{max} \\ \theta=\theta_{min}+v(\theta_{max}-\theta_{min}) \end{cases}$
代入到極坐標方程中就是
$\begin{cases} x=r\sin(\theta_{min}+v(\theta_{max}-\theta_{min}))\cos(u\phi_{max}) \\ y=r\sin(\theta_{min}+v(\theta_{max}-\theta_{min}))\sin(u\phi_{max}) \\ z=r\cos(\theta_{min}+v(\theta_{max}-\theta_{min})) \end{cases}$
雖然看上去很復雜，但這就是球關(guān)于 $uv$ 的參數(shù)方程。其中， $r,\theta_{min},\theta_{max},\phi_{max}$ 都是固定值， $\theta_{min}$ 和 $\theta_{max}$ 是 $\theta$ 的取值范圍， $\phi_{max}$ 是 $\phi$ 能取得最大值，也就是說 $\phi$ 的取值范圍是 $[0, \phi_{max}]$ 。

所以，Shpere類的成員就有：

const Float radius;
const Float zMin, zMax;
const Float thetaMin, thetaMax, phiMax;

其中的zMin和zMax是與thetaMin和thetaMax對應的z坐標最小值和最大值。Sphere的構(gòu)造函數(shù)是這樣初始化這些值的：

Sphere(const Transform *ObjectToWorld, const Transform *WorldToObject,
       bool reverseOrientation, Float radius, Float zMin, Float zMax,
       Float phiMax)
    : Shape(ObjectToWorld, WorldToObject, reverseOrientation),
      radius(radius),
      zMin(Clamp(std::min(zMin, zMax), -radius, radius)),
      zMax(Clamp(std::max(zMin, zMax), -radius, radius)),
      thetaMin(std::acos(Clamp(std::min(zMin, zMax) / radius, -1, 1))),
      thetaMax(std::acos(Clamp(std::max(zMin, zMax) / radius, -1, 1))),
      phiMax(Radians(Clamp(phiMax, 0, 360))) {}

但是這個初始化代碼有個問題，那就是thetaMin、thetaMax和zMin、zMax的對應關(guān)系弄反了。從上面的式子我們知道， $z=r\cos\theta$ ，很明顯， $\theta$ 在區(qū)間 $[0, \pi]$ 是單調(diào)遞減函數(shù)，所以，當 $\theta$ 取最小值的時候，對應的z應該取最大值才對。

光線與球面的交點

數(shù)學上，計算光線和球面的交點非常簡單，將光線的方程
$r(t)=o+t\mathbfu0z1t8os$
代入球面方程中計算就好了（其中， $o$ 是光線的起始點， $\mathbfu0z1t8os$ 是光線的方向，這兩個是固定值， $t$ 是參數(shù)變量）。但是，實際應用的過程不會這樣簡單。

計算出的交點需要用到我們之前定義的SurfaceInterface類，我們需要填充很多信息，包括切向量，法向量以及偏導數(shù)等等。
數(shù)學中我們可以認為光線是無限長的，但是實際應用過程中，我們沒那么多資源去計算無限長的光線，所以光線類（pbrt中是Ray）就會有一個最大長度的限制，也就是 $t$ 的最大值tMax。計算過程中，我們需要舍棄交點值的 $t$ 大于這個tMax的情況。
數(shù)學意義上的數(shù)是精確數(shù)，擁有無限的精度。計算機中用的是浮點數(shù)，不管是單精度還是雙精度，都是一種近似數(shù)，不能精確地計算出交點的位置。在多次使用這種近似數(shù)計算之后，誤差就會累積，甚至可能出現(xiàn)原本應該是交點，結(jié)果卻不是，或者反過來，這些情況。所以，誤差也需要考慮進去。
……

有意思，從數(shù)學的抽象到落地成代碼的過程從來都是最有意思的部分！

計算交點t值

第一步，先計算交點，用的方程不是極坐標參數(shù)方程，而是普通的笛卡爾坐標系中的球的隱式方程：
$x^2 \quad+\quad y^2 \quad + \quad z^2 \quad = \quad r^2$
將光線的方程代入其中可以得到：
$(o_x + t\mathbfu0z1t8os_x)^2+(o_y+t\mathbfu0z1t8os_y)^2+(o_z+t\mathbfu0z1t8os_z)^2=r^2$
整理得到：
$(\mathbfu0z1t8os_x^2+\mathbfu0z1t8os_y^2+\mathbfu0z1t8os_z^2)t^2+[2(\mathbfu0z1t8os_x{o_x}+\mathbfu0z1t8os_y{o_y}+\mathbfu0z1t8os_z{o_z})]t+(o_x^2+o_y^2+o_z^2-r^2)=0$
這是一元二次方程的標準形式（ $at^2+bt+c=0$ ），利用求根判別式就可以知道到底有沒有交點，有幾個交點。

這個過程在代碼中的實現(xiàn)是這樣的：

EFloat a = dx * dx + dy * dy + dz * dz;
EFloat b = 2 * (dx * ox + dy * oy + dz * oz);
EFloat c = ox * ox + oy * oy + oz * oz - EFloat(radius) * EFloat(radius);

// Solve quadratic equation for _t_ values
EFloat t0, t1;
if (!Quadratic(a, b, c, &t0, &t1)) return false;

EFloat是pbrt中自定義的一個結(jié)構(gòu)，與內(nèi)置的float相比，最大的區(qū)別就是EFloat里包含了誤差，可以理解成帶誤差的float。代碼的實現(xiàn)和我們的數(shù)學推理基本一致，它采用了一個Quadratic函數(shù)來求解t的值，如果沒有實數(shù)根，那么整個交點檢測的函數(shù)就返回false。

t值的有效性（t是否超出[0, tMax]范圍）

即便我們計算出t值了，這個t值也不一定是有效的，它必須在光線的“射程”范圍內(nèi)。因為計算出的t值用的是pbrt自定義的“帶誤差的float”結(jié)構(gòu)，所以，實際檢測的時候我們需要考慮：

如果兩個交點t0，t1都不在[0, tMax]的范圍內(nèi)，那么兩個交點都舍棄，返回false，意味著沒有交點。
先檢測t0，如果t0在[0, tMax]范圍內(nèi)，那么就認為光線和球面的交點是t0。如果t0檢測失敗，那么就檢測t1，如果t1滿足范圍要求，就認為t1是光線和球面的交點。

寫成代碼就是：

// Check quadric shape _t0_ and _t1_ for nearest intersection
if (t0.UpperBound() > ray.tMax || t1.LowerBound() <= 0) return false;
EFloat tShapeHit = t0;
if (tShapeHit.LowerBound() <= 0) {
    tShapeHit = t1;
    if (tShapeHit.UpperBound() > ray.tMax) return false;
}

可以這樣實現(xiàn)是因為在計算t0和t1的時候已經(jīng)內(nèi)含了排序，t0的值必定是小于t1的。

t值的有效性（是否超出了球面的 $\theta$ 和 $\phi$ 范圍）

我們在定義球面的時候確定了 $\theta$ 的最小值和最大值，這就確定了z坐標的最小值和最大值，因為 $z$ 和 $\theta$ 之間有著非常明確的關(guān)系。同樣，對 $\phi$ 的范圍我們也進行了限制，這就又給交點的計算帶來了麻煩，我們必須確定這個交點在球面的范圍之內(nèi)。

// Compute sphere hit position and $\phi$
pHit = ray((Float)tShapeHit);

// Refine sphere intersection point
pHit *= radius / Distance(pHit, Point3f(0, 0, 0));
if (pHit.x == 0 && pHit.y == 0) pHit.x = 1e-5f * radius;
phi = std::atan2(pHit.y, pHit.x);
if (phi < 0) phi += 2 * Pi;

// Test sphere intersection against clipping parameters
if ((zMin > -radius && pHit.z < zMin) || (zMax < radius && pHit.z > zMax) ||
    phi > phiMax) {
    if (tShapeHit == t1) return false;
    if (t1.UpperBound() > ray.tMax) return false;
    tShapeHit = t1;
    // Compute sphere hit position and $\phi$
    pHit = ray((Float)tShapeHit);

    // Refine sphere intersection point
    pHit *= radius / Distance(pHit, Point3f(0, 0, 0));
    if (pHit.x == 0 && pHit.y == 0) pHit.x = 1e-5f * radius;
    phi = std::atan2(pHit.y, pHit.x);
    if (phi < 0) phi += 2 * Pi;
    if ((zMin > -radius && pHit.z < zMin) ||
        (zMax < radius && pHit.z > zMax) || phi > phiMax)
        return false;
}

忽略減少誤差的操作（Refine spher intersection point的過程），我們來看怎么計算 $\phi$ 值的。因為 $\frac{y}{x}=\frac{r\sin\theta\sin\phi}{r\sin\theta\cos\phi}=\tan\phi$ ，所以 $\phi=\arctan\frac{y}{x}$ ，代碼中也是這么計算的，并且為了確保 $\phi$ 值在 $[0, 2\pi]$ 之間，對計算出的小于0的數(shù)還加上了 $2\pi$ 進行調(diào)整。

然后是判斷交點的z值是否在 $[z_{min}, z_{max}]$ 的范圍內(nèi)， $\phi$ 值是否在 $[0, \phi_{max}]$ 范圍內(nèi)。如果不在，那么就換一個交點試試，如果另一個交點也不在，那就表示沒有交點，交點檢測失敗了，返回false。

交點鄰域的變化情況

交點鄰域的變化情況主要指兩個：
1、點在鄰域內(nèi)的變化情況。主要由點關(guān)于 $u$ 和 $v$ 的偏導數(shù)（ $\frac{\partial{p}}{\partial{u}}$ ， $\frac{\partial{p}}{\partial{v}}$ ）組成，暗示了在 $u$ 和 $v$ 兩個維度上，微小變化量會帶來什么樣的點位置改變。
2、法向量的變化情況。主要由法向量關(guān)于 $u$ 和 $v$ 的偏導數(shù)（ $\frac{\partial{n}}{\partial{u}}$ ， $\frac{\partial{n}}{\partial{v}}$ ）組成，暗示了在 $u$ 和 $v$ 兩個維度上，微小變化量會帶來法向量的什么改變。

計算這些量的前提是，我們必須有u和v的值才行，從上面關(guān)于球面的 $uv$ 方程中，我們很容易就能推導出：
$\begin{cases} u=\frac{\phi}{\phi_{max}} \\ v=\frac{\theta-\theta_{min}}{\theta_{max}-\theta_{min}} \end{cases}$
$\theta$ 可以通過交點的z值公式，利用反余弦函數(shù)求出，具體的代碼是：

// Find parametric representation of sphere hit
Float u = phi / phiMax;
Float theta = std::acos(Clamp(pHit.z / radius, -1, 1));
Float v = (theta - thetaMin) / (thetaMax - thetaMin);

接著求p關(guān)于u和v的偏導數(shù)。
$\begin{cases} \frac{\partial{x}}{\partial{u}}=-r\sin\theta\sin(u\phi_{max})\phi_{max}=-y\phi_{max}\\ \frac{\partial{y}}{\partial{u}}=r\sin\theta\cos(u\phi_{max})\phi_{max}=x\phi_{max}\\ \frac{\partial{z}}{\partial{u}}=0 \end{cases}$
$\begin{cases} \frac{\partial{x}}{\partial{v}}=r\cos(\theta_{min}+v(\theta_{max}-\theta_{min}))\cos\phi(\theta_{max}-\theta_{min})=z\cos\phi(\theta_{max}-\theta_{min})\\ \frac{\partial{x}}{\partial{v}}=r\cos(\theta_{min}+v(\theta_{max}-\theta_{min}))\sin\phi(\theta_{max}-\theta_{min})=z\sin\phi(\theta_{max}-\theta_{min})\\ \frac{\partial{z}}{\partial{v}}=-r\sin(\theta_{min}+v(\theta_{max}-\theta_{min}))(\theta_{max}-\theta_{min})=-r\sin\theta(\theta_{max}-\theta_{min}) \end{cases}$
代碼實現(xiàn)如下：

// Compute sphere $\dpdu$ and $\dpdv$
Float zRadius = std::sqrt(pHit.x * pHit.x + pHit.y * pHit.y);
Float invZRadius = 1 / zRadius;
Float cosPhi = pHit.x * invZRadius;
Float sinPhi = pHit.y * invZRadius;
Vector3f dpdu(-phiMax * pHit.y, phiMax * pHit.x, 0);
Vector3f dpdv =
    (thetaMax - thetaMin) *
    Vector3f(pHit.z * cosPhi, pHit.z * sinPhi, -radius * std::sin(theta));

代碼中，為了減少除法的消耗，將z的倒數(shù)保存起來，計算了 $\cos\phi$ 和 $\sin\phi$ ，然后利用上面推導的公式，計算出想要的值。

接著就是最困難的部分了：如何計算法向量的偏導數(shù)？

我們用一個被稱為溫加頓方程（Weingarten equations）的東西來計算法向量的偏導數(shù)。溫加頓方程（Weingarten equations）是用 $\frac{\partial{p}}{\partial{u}}$ 和 $\frac{\partial{p}}{\partial{v}}$ 的線性組合來表示法向量的偏導數(shù)。那么，為什么能用線性組合來表示呢？這就要用到上一篇文章的知識了。假設你已經(jīng)了解了曲線和曲面的相關(guān)知識，特別是第一基本形式和第二基本形式的相關(guān)知識。

在曲面中，法向量n意味著一個法向量場，表示的是表面的所有法向量的集合。而在代碼中，它僅僅表示了一個向量，但是這沒法計算變化了，所以，我們還是要放到整個曲面的意義上去。

法向量的計算方式是 $n=\frac{x_u\times{x_v}}{|x_u\times{x_v}|}$ ，也就是說，法向量與曲面在這點上的切平面垂直，并且它是單位向量。然后，對 $n\bullet{n}=1$ 兩邊求導可得， $n'\bullet{n}=0$ ，就意味著 $n'\perp{n}$ 。而 $n$ 又垂直于切平面，所以 $n'$ 必然在其平面內(nèi)，于是，它就可以表示成 $x_u,u_v$ 的線性組合。

接著，由第二基本形式可以得到 $edu^2+2fdudv+gdv^2$ ，即
$e=<x_{uu},n>=-<x_u,n_u>$
$f=<x_{uv},n>=-<x_u,n_v>=-<x_v,n_u>$
$g=<x_{vv},n>=-<x_v,n_v>$
由于 $n_u,n_v$ 也在切平面內(nèi)，我們可以用 $x_u,x_v$ 線性組合的方式來表示 $n_u,n_v$ ：
$\begin{cases} n_u=\alpha_1x_u+\alpha_2x_v \\ n_v=\beta_1x_u+\beta_2x_v \end{cases}$
將 $n_u$ 和 $n_v$ 帶入到 $e,f,g$ 的表達式中得：
$\begin{cases} -e=<x_u, \alpha_1x_u+\alpha_2x_v>=\alpha_1(x_u)^2+\alpha_2x_ux_v=\alpha_1E+\alpha_2F \\ -f=<x_u,\beta_1x_u+\beta_2x_v>=\beta_1(x_u)^2+\beta_2x_ux_v=\beta_1E+\beta_2F \\ -f=<x_v, \alpha_1x_u+\alpha_2x_v>=\alpha_1x_ux_v+\alpha_2(x_v)^2=\alpha_1F+\alpha_2G \\ -g=<x_v, \beta_1x_u+\beta_2x_v>=\beta_1x_ux_v+\beta_2(x_v)^2=\beta_1F+\beta_2G \end{cases}$
這里的E，F(xiàn)，G都是第一基本形式的系數(shù)，具體是 $E=(x_u)^2,F=x_ux_v,G=(x_v)^2$ 。將上述的方程組表示成矩陣就是
$-\begin{bmatrix} e & f\\ f & g \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 \\ \beta_1 & \beta_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E & F \\ F & G \end{bmatrix}$
于是
$\begin{bmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 \\ \beta_1 & \beta_2 \end{bmatrix}=- \begin{bmatrix} e & f\\ f & g \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E & F \\ F & G \end{bmatrix}^{-1}$
逆矩陣可以使用余子式來計算
$\begin{bmatrix} E & F \\ F & G \end{bmatrix}^{-1}=\frac{1}{EG-F^2}\begin{bmatrix} G & -F \\ -F & E \end{bmatrix}$
最后得到
$\begin{bmatrix} \alpha_1 & \alpha_2 \\ \beta_1 & \beta_2 \end{bmatrix}=\frac{1}{EG-F^2}\begin{bmatrix} fF-eG & eF-fE \\ gF-fG & fF-gE \end{bmatrix}$
最終，求 $\frac{\partial{n}}{\partial{u}}$ 和 $\frac{\partial{n}}{\partial{v}}$ 的公式就是：
$\frac{\partial{n}}{\partial{u}}=\frac{fF-eG}{EG-F^2}x_u+\frac{eF-fE}{EG-F^2}x_v$
$\frac{\partial{n}}{\partial{v}}=\frac{gF-fG}{EG-F^2}x_u+\frac{fF-gE}{EG-F^2}x_v$
觀察代碼，我們發(fā)現(xiàn)，它的過程與我們推導出的結(jié)果完全一致：

// Compute sphere $\dndu$ and $\dndv$
Vector3f d2Pduu = -phiMax * phiMax * Vector3f(pHit.x, pHit.y, 0);
Vector3f d2Pduv =
    (thetaMax - thetaMin) * pHit.z * phiMax * Vector3f(-sinPhi, cosPhi, 0.);
Vector3f d2Pdvv = -(thetaMax - thetaMin) * (thetaMax - thetaMin) *
                  Vector3f(pHit.x, pHit.y, pHit.z);

// Compute coefficients for fundamental forms
Float E = Dot(dpdu, dpdu);
Float F = Dot(dpdu, dpdv);
Float G = Dot(dpdv, dpdv);
Vector3f N = Normalize(Cross(dpdu, dpdv));
Float e = Dot(N, d2Pduu);
Float f = Dot(N, d2Pduv);
Float g = Dot(N, d2Pdvv);

// Compute $\dndu$ and $\dndv$ from fundamental form coefficients
Float invEGF2 = 1 / (E * G - F * F);
Normal3f dndu = Normal3f((f * F - e * G) * invEGF2 * dpdu +
                         (e * F - f * E) * invEGF2 * dpdv);
Normal3f dndv = Normal3f((g * F - f * G) * invEGF2 * dpdu +
                         (f * F - g * E) * invEGF2 * dpdv);

當然，最后保存關(guān)于交點的信息以及集中時，參數(shù)t的值。

// Initialize _SurfaceInteraction_ from parametric information
*isect = (*ObjectToWorld)(SurfaceInteraction(pHit, pError, Point2f(u, v),
                                             -ray.d, dpdu, dpdv, dndu, dndv,
                                             ray.time, this));

// Update _tHit_ for quadric intersection
*tHit = (Float)tShapeHit;

直接把計算得到的信息都保存進SurfaceInteraction結(jié)構(gòu)里，很直觀，然后將這些信息都轉(zhuǎn)換到世界空間中。

關(guān)于誤差

誤差的主要來源是浮點數(shù)計算時的舍入誤差，每一次計算都會有誤差，不管是加減還是乘除法。這點書中第三章的最后介紹得非常詳細，之后會總結(jié)出來。

總結(jié)

雖然看上去并不多，但是花了很多時間在微分幾何上，就為了理解溫加頓方程。這一篇文章像是如何實現(xiàn)數(shù)學公式，事實上也是，圖形和交點，怎么能沒計算呢？想到后面還有茫茫多的計算，不禁打個冷戰(zhàn)，想想是不是要再寫篇文章壓壓驚？

參考資料

Physically Based Rendering
pbrt源碼，版本3
Differiential Geometry of Curves and Surfaces

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【PBRT】《基于物理的渲染：從理論到實踐》梳理II

【PBRT】《基于物理的渲染：從理論到實踐》梳理II

交點類（Interaction）

Interaction

SurfaceInteraction

球面

球面的表示

光線與球面的交點

計算交點t值

t值的有效性（t是否超出[0, tMax]范圍）

t值的有效性（是否超出了球面的 $\theta$ 和 $\phi$ 范圍）

交點鄰域的變化情況

關(guān)于誤差

總結(jié)

參考資料

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【PBRT】《基于物理的渲染：從理論到實踐》梳理II

交點類（Interaction）

Interaction

SurfaceInteraction

球面

球面的表示

光線與球面的交點

計算交點t值

t值的有效性（t是否超出[0, tMax]范圍）

t值的有效性（是否超出了球面的和范圍）

交點鄰域的變化情況

關(guān)于誤差

總結(jié)

參考資料

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t值的有效性（是否超出了球面的 $\theta$ 和 $\phi$ 范圍）