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補充知識

——wikipedia

伯努利試驗：

是只有兩種可能結(jié)果（成功或失敗）的單次隨機試驗，即對于一個隨機變量X而言：

$P(X=1)=p$
$P(X=0)=1-p$

伯努利過程：

是一系列獨立同分布的伯努利試驗，每個 $X_i$ 的2個結(jié)果也被稱為“成功”或“失敗”。
是一個由有限個或無限個的獨立隨機變量 $X_1, X_2, X_3 ,...$ 所組成的離散時間隨機過程，其中 $X_1, X_2, X_3 ,...$ 滿足如下條件：

對每個i, $X_i$ 等于 0 或 1；

對每個i, $X_i=1$ 的概率等于 p；

與伯努利過程相關(guān)的隨機變量有：

只有一次伯努利試驗發(fā)生服從伯努利分布。

前 n 個試驗的成功次數(shù)服從二項分布。

要得到 r 次成功所需要的試驗次數(shù)服從負二項分布。

要得到 1 次成功所需要的試驗次數(shù)服從幾何分布，這是負二項分布的一個特例。

伯努利分布

背景引入:

在實際中的案例結(jié)果往往只有兩種結(jié)果（正、反）。例如：拋硬幣、明天下不下雨、買彩票中獎與不中獎、疾病生存還是死亡、合格與不合格等等。這樣的事件便是伯努利試驗。

定義：

伯努利分布（Bernoulli distribution）又名兩點分布或0-1分布，是一個離散型概率分布，是最簡單的離散型概率分布。若伯努利隨機試驗成功，則伯努利隨機變量取1。若伯努利試驗失敗，則伯努利隨機變量取值為0。記其成功概率為p，失敗概率為q=1-p。

概率密度函數(shù)：

$f(X=x)=p^x(1-p)^{1-x}= \begin{cases} p,x=1\\ q,x=0 \end{cases}$

期望：

$E(X)=\sum_{i=0}^{1}x_i f_X(x)$
$E(X)=0+p$
$E(X)=p$

方差：

$D(X)=\sum_{i=0}^{1}(x_i-E(X))^2f_X(x)$
$D(X)=(0-p)^2(1-p)+(1-p)^2p$
$D(X)=p(1-p)$
$D(X)=pq$

二項分布

背景引入：

對同一個硬幣扔10次，出現(xiàn)3次正面朝上的概率。扔硬幣的過程便是一個伯努利過程，正面朝上次數(shù)的概率就是二項分布。

定義：

Binomial Distribution是n個獨立的伯努利試驗中成功的次數(shù)的離散概率分布，其中每次試驗的成功概率為p。實際上，當n = 1時，二項分布就是伯努利分布。二項分布是顯著性差異的二項試驗的基礎(chǔ)?！?a target="_blank">wikipedia

概率質(zhì)量函數(shù)：

如果隨機變量X服從參數(shù)n和p為的二項分布，我們記 $X\sim B(n,p)$ 。n次試驗中正好得到k次成功的概率由概率質(zhì)量函數(shù)給出：

$f(k,n,p)=P(X=k)=C_n^kp^k(1-p)^{n-k}$
$其中，C_n^k=\frac{n!}{k!(n-k)!}是二項式系數(shù)$

分布形狀的變化規(guī)律：

二項分布是一個概率分布族，隨著試驗次數(shù)n和成功概率p的不同而不同，且它與正態(tài)分布關(guān)系密切。

[圖片上傳失敗...(image-72b122-1589359103816)]

"成功"概率p越接近0.5(也即"成功"概率與"失敗"概率越接近)，二項分布將越對稱。且近似于均值為np、方差為npq的正態(tài)分布。——圖中藍色與綠色對比

對于任意"成功"概率p，無論其距離0.5有多遠，隨著試驗次數(shù)n的增加，二項分布與均值為np、方差為npq的正態(tài)分布越來越接近?！獔D中綠色與紅色對比

期望：

期望等于每次單獨的伯努利試驗的期望和
$E(X)=np$

方差：

方差等于每次單獨的伯努利試驗的方差和
$D(X)=np(1-p)$

幾何分布

在n次伯努利試驗中，試驗k次才得到第一次成功的概率，也就是說：前k-1次都失敗，第k次成功的概率。記為 $X\sim G(p)$ 。

概率質(zhì)量函數(shù)：

$P(X=k)=(1-p)^{k-1}p$
[圖片上傳失敗...(image-93f207-1589359103817)]

期望：

$E(X)=\frac{1}{p}$

方差：

$E(X)=\frac{1-p}{p^2}$

超幾何分布

描述了由有限個物體中抽出n個物件，成功抽出指定種類的物件的個數(shù)（不放回抽取）。例如在有N個樣本，其中K個是不及格，N-K個是及格的，超幾何分布描述了在該N個樣本中抽出n個，其中k個是不及格的概率。記為 $X\sim H(n,K,N)$ 。

若n=1，超幾何分布還原為伯努利分布。

概率質(zhì)量函數(shù)：

[圖片上傳失敗...(image-dbc806-1589359103817)]

$f(k;n,K,N)=\frac{C_K^kC_{N-K}^{n-k}}{C_N^n}$

$C_N^n$ 表示所有在N個樣本中抽出n個的方法數(shù)目；
$C_K^k$ 表示在K個樣本中，抽出k個的方法數(shù)目，即組合數(shù)，又稱為二項式系數(shù)。
$C_{N-K}^{n-k}$ 表示剩下來的樣本都是及格的，而及格的樣本有N-K個。

泊松分布

泊松分布適合于描述單位時間或單位空間內(nèi)隨機事件發(fā)生的次數(shù)的概率分布。記為 $X\sim P(\lambda)$ 。

如某一服務(wù)設(shè)施在一定時間內(nèi)受到的服務(wù)請求的次數(shù)，

電話交換機接到呼叫的次數(shù)、

汽車站臺的候客人數(shù)、

機器出現(xiàn)的故障數(shù)、

自然災(zāi)害發(fā)生的次數(shù)、

DNA序列的變異數(shù)、

放射性原子核的衰變數(shù)、

激光的光子數(shù)分布等等。

概率質(zhì)量函數(shù)：

$P(X=k)=\frac{e^{-\lambda} \lambda^k}{k!}$
泊松分布的參數(shù) $\lambda$ 是單位時間或單位空間內(nèi)隨機事件的平均發(fā)生率。

[圖片上傳失敗...(image-41616c-1589359103817)]

橫軸是索引k，發(fā)生次數(shù)。該函數(shù)只定義在k為整數(shù)的時候。

期望：

$E(X)=\sum_{i=0}^{\infty}iP(X=i)$
$E(X)=\sum_{i=1}^{\infty}i\frac{e^{-\lambda} \lambda^i}{i!}$
$E(X)=\lambda e^{-\lambda}\sum_{i=1}^{\infty}\frac{\lambda^{i-1}}{(i-1)!}$
$E(X)=\lambda e^{-\lambda}\sum_{i=0}^{\infty}\frac{\lambda^{i}}{i!}$
$E(X)=\lambda e^{-\lambda}e^{\lambda}$
$E(X)=\lambda$

方差：

$E(X^2)=\sum_{i=0}^{\infty}i^2P(X=i)$
$E(X^2)=\sum_{i=0}^{\infty}i^2\frac{e^{-\lambda} \lambda^i}{i!}$
$E(X^2)=\lambda e^{-\lambda}\sum_{i=1}^{\infty}\frac{e^{-\lambda} \lambda^{i-1}}{(i-1)!}$
$利用泰勒展開式$
$E(X^2)=\lambda e^{-\lambda}(e^\lambda+\lambda e^\lambda)$
$E(X^2)=\lambda +\lambda^2$
所以可以得到：
$D(X)=E(X^2)-E(X)^2$
$D(X)=\lambda+\lambda^2-\lambda^2$
$D(X)=\lambda$