中文字幕126页,五月婷婷人妻激情

title: 第三章習(xí)題
category: 習(xí)題
date: 2019/09/10
mathjax: true

1.證明每個(gè)從一維向量空間到其自身的線性映射都是乘以某個(gè)標(biāo)量。準(zhǔn)確地說(shuō)，證明：如果 $dim V=1,T\in \mathcal{L}(V,V)$ ,
那么有 $a \in F$ 使得對(duì)所有 $v\in V$ 都有 $Tv=av$ .

證明：因?yàn)橐痪S向量到其自身的線性映射的維度為1×1=1，所以矩陣可以寫作一維的。一維矩陣可以用一個(gè)標(biāo)量表示。
即 $V={(x),x\in F}$ , $\mathcal{M}(T)=Mat(1,1,F)$
$\mathcal{M}(T)v=Mat(1,1,F)v=av$

$\blacksquare$

2.給出一個(gè)非線性函數(shù) $\mathcal{f}:R^2\to R$ , 使得對(duì)所有 $a\in R$ 和所 $v\in R^2$ 都有:
$\mathcal{f}(av)=a\mathcal{f}(v)$ .

答：即要滿足齊性而不滿足加性，如果一個(gè)函數(shù) $f(x_1)+f(x_2)\not = f(x_1+x_2)$ 即可。設(shè) $f=|x|+|y|$

$\blacksquare$

3.設(shè) V 是有限維的。證明 V 的子空間上的線性映射可以擴(kuò)張成 V 上的線性映射。也就是說(shuō)，證明：如果 U 是 V 的子空間， $S\in \mathcal{L}(U,W)$ , 那么存在 $T\in \mathcal{L}(V,W)$ ,使得對(duì)所有 $u\in U$ 都有 $Tu = Su$ .

參考答案:
設(shè)U是V的子空間并且 $S\in \mathcal{L}(U,W)$ .設(shè) $(u_1,...,u_m)$ 是U的基。那么 $(u_1,...,u_m)$ 在V中線性無(wú)關(guān)。就能通過(guò)擴(kuò)張 $(u_1,...,u_m,v_1,...,v_n)$ 成V的一個(gè)基。
只要定義 $T\in \mathcal{L}(V,W)$ ,
$T(a_1u_1+...a_mu_m+b_1v_1+..b_nv_n)=a_1Su_1+...+a_mSu_m.$
則 $Tu=Su,u\in U$

核心的意思是：如果V可以映射成U，那么U能映射成W,V也可以映射成W。
U是V的子集，可以舍棄某些基來(lái)形成子集。

4.設(shè) T 是從 V 到 F 的線性映射。證明：若 $u\in V$ 不含于null T, 則 $V=null T \oplus{au:a\in F}.$

參考答案:
設(shè) $v\in V 并且 v\not \in null T.$
1).如果 $a\in F并且 au\in null F$ 。那么 $0=T(au)=aTu$ ,因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=Tu%5Cnot%20%3D0" alt="Tu\not =0" mathimg="1">, $a=0.$
因此： $null T\cap\{au:a\in F\}=\{0\}$
2)如果 $v\in V$ ,那么 $v=\lgroup v-\frac{Tv}{Tu}u \rgroup +\frac{Tv}{Tu}u.$
因?yàn)? $T\lgroup v-\frac{Tv}{Tu}u \rgroup= Tv-\frac{Tv}{Tu}Tu =0$
則有: $Tv=\frac{Tv}{Tu}Tu+0$ , $v=\frac{Tv}{Tu}u+null T$
上面的等式表示任意向量 $v\in V$ 是null T和一個(gè)標(biāo)量縮放u的和。
即 $V=null T+\{au:a\in F\}$ .

根據(jù)直和的判斷方式可知 $V=null T \oplus{au:a\in F}.$

注意映射空間是F，才有Tv/Tu

5.設(shè) $T\in \mathcal{L}(V,W)$ 是單的,并且 $(v_1,\dots ,v_n)$ 在 V 中線性無(wú)關(guān).證明 $(Tv_1,\dots,Tv_n)$ 在 W 中線性無(wú)關(guān)。
證明：T單的，只有當(dāng)v=0時(shí)，Tv=0。
$(v_1,\dots ,v_n)$ 在 V 中線性無(wú)關(guān),則有:
$a_1v_1+ \dots +a_nv_n=0\Leftrightarrow a_1,\dots,a_n=0$$若a_1v_1+ \dots +a_nv_n\not=0,因?yàn)門是單的，a_1Tv_1+ \dots +a_nTv_n\not=0,$ 所以： $(Tv_1,\dots,Tv_n)$ 在 W 中線性無(wú)關(guān)

參考答案:
假設(shè)必存在一組系數(shù) $( a_1,\dots,a_n)$ 使得
$a_1Tv_1+ \dots +a_nTv_n=0$ .
根據(jù)線性映射的結(jié)合律得出 $T(a_1v_1+ \dots +a_nv_n)=0$
又因?yàn)門是單的，只有當(dāng) $a_1v_1+ \dots +a_nv_n=0$ 時(shí)上式成立。
又因 $(v_1,\dots ,v_n)$ 在 V 中線性無(wú)關(guān)，所以 $a_1v_1+ \dots +a_nv_n=0\Leftrightarrow a_1,\dots,a_n=0$
那么可以得出 $(Tv_1,\dots,Tv_n)$ 在 W 中線性無(wú)關(guān)。

6.證明：如果 $S_1,\dots ,S_n$ 都是單的線性映射,并且 $S_1\cdots S_n$ 有意義,那么 $S_1\cdots S_n$ 是單的．

證明：對(duì)于原空間 $V_m$ 和映射空間 $W_m$ , $映射S_m是單的一個(gè)性質(zhì)為：dimV_m\ge dim W_m.$
則對(duì)于 $V_1,W_n$ 經(jīng)過(guò) $S_1\cdots S_n$ 層層映射后，可定有 $dim V_1\ge W_n$ .
那么線性映射 $S_1\cdots S_n$ 是單的。

參考答案:
設(shè)向量 $v\in V$ ,V是線性映射 $S_1\cdots S_n$ 的原空間。
如果 $S_1\cdots S_n(v)=0$ ,因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=S_1%E6%98%AF%E5%8D%95%E7%9A%84%E3%80%82" alt="S_1是單的。" mathimg="1">
那么 $S_2\cdots S_n(v)=0$ ,經(jīng)過(guò)n次迭代可得 $v=0$ .因此線性映射 $S_1\cdots S_n$ 是單的。

7.證明：如果 $(v_1,\dots,v_n)$ 張成 V , 并且 $T\in \mathcal{L}(V,W)$ 是滿的，那么 $(Tv_1,\cdots,Tv_n)$ 張成W.

證明：因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=(v_1%2C%5Cdots%2Cv_n)" alt="(v_1,\dots,v_n)" mathimg="1">張成 V，
則有 $V=span(v_1,\dots,v_n)=\{a_1v_1+\dots+a_nv_n:(a_1,\dots,a_n)\in F\}$ 。
那么 $TV=T(a_1v_1+\dots+a_nv_n)=Ta_1v_1+\dots+Ta_nv_n=a_1Tv_1+\dots+a_nTv_n=span(Tv_1,\dots,Tv_n)$

所有的Tv組成的集合即使值域，并且 $T\in \mathcal{L}(V,W)$ 是滿的，即 $span(Tv_1,\dots,Tv_n)=TV=W$

上面的描述不準(zhǔn)確，主要所有的線性組合這個(gè)描述不清晰。參考答案中用任意來(lái)代表全部。

參考答案:
設(shè) $(v_1,\dots,v_n)張成V并且T\in \mathcal{L}(V,W)是滿的。$
讓 $w\in W$ ,因?yàn)門是滿的，必定存在 $v\in V使得 Tv=w$
由于 $(v_1,\dots,v_n)張成V，即存在a_1,\dots,a_n \in F使得 v=a_1v_1+\dots+a_nv_n$
將上面兩個(gè)是子同時(shí)加以映射T，得到：
$Tv=a_1Tv_1+\dots+a_nTv_n$

因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=Tv%3Dw%2C%E4%B8%8A%E5%BC%8F%E5%BE%97%E5%88%B0w%5Cin%20span(Tv_1%2C%5Cdots%2CTv_n)" alt="Tv=w,上式得到w\in span(Tv_1,\dots,Tv_n)" mathimg="1">， $(Tv_1,\cdots,Tv_n)$ 張成W
由于w是W中的任一向量，得出

單射和滿射還真是形象：
單射靶上一個(gè)點(diǎn)只能有一只箭。
滿射是要把映射空間射滿，那么靶上有箭必定有人射出。

8.設(shè) V 是有限維的，并且 $T\in \mathcal{L}(V,W)$ . 證明 V 有子空間 U使得 $U\cap null T=\{0\}$ ,
并且 $range T=\{Tu:u\in U\}$ .

證明：因?yàn)閚ull T 是V的子空間，那么必定存在一個(gè)V的子空間U 使得：
$V=null T\oplus U;$ 從直和的定義中可得 $U\cap null T=\{0\}$ 。
顯然： $range T \supset \{Tu:u\in U\}$ . 即U中的元素的映射都不為 $0$ .

要證明包含的另一面，假設(shè) $v \in V.$ 那么就存在 $w\in null T$ 并且 $u' \in U$ 使得：
$v=w+u'$

使用線性映射T同時(shí)作用上面的等式兩邊，就有 $Tv=Tw+Tu'=Tu'$ .因此 $Tv\in \{Tu:u\in U\}$ .

9.證明：如果T是從 $F^4$ 到 $F^2$ 的線性映射，使得
$null T=\{(x_1,x_2,x_3,x_4)\in F^4:x_1=5x_2 且 x_3=7x_4\}$ ,那么T是滿的。

答：滿的定義：range T= W,在這題中既是 range T= $F^2$ 。
因?yàn)閐im null T=2,因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=dim%20range%20T%3Ddim%20V-%20dim%20null%20T%3D2." alt="dim range T=dim V- dim null T=2." mathimg="1">
即dim range T=dim W。因?yàn)閞ange T是W的子空間，維數(shù)相同的子空間既是自身，所以range T= $F^2$ 。

10.證明從 $F^5$ 到 $F^2$ 的線性映射的零空間都不等于：
$\{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)\in F^5:x_1=3x_2且 x_3=x_4=x_5\}$ .

答：已知 $dim \ range \ T= dim V - dim \ null \ T \ge 3$ .
而 $\{(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)\in F^5:x_1=3x_2且 x_3=x_4=x_5\}$ .的維度是2.維度不相等的空間不相等。

11.證明：如果在V上有一個(gè)線性映射，其零空間和值域都是有限維的，那么V是有限維的。

參考答案:

設(shè)T是從V到某個(gè)空間的線性映射并且null T,range T都是有限維的。
假設(shè)存在向量 $u_1,\dots,u_m,\in V \ 并且 \ w_1,\dots,w_n \in range T$
使得: $(u_1,\dots,u_m)$ 張成null T 且 $(w_1,\dots,w_n)$ 張成 range T.
因?yàn)槊總€(gè) $w_j\in range \ T$ 都存在 $v_j\in V$ .即有 $w_j=Tv_j$ 。
則若 $v\in V$ . $\to Tv\in range T,$ 會(huì)存在 $b_1,\dots,b_n\in F$ 使得
$\begin{align} Tv=b_1w_1+\dots+b_nw_n \\ =b_1Tv_1+\dots+b_nTv_n \\ =T(b_1v_1+\dots+b_nv_n) \end{align}$
上面的等式顯示出 $T(v-b_1v_1-\dots -b_nv_n)=0$
也就是 $v-b_1v_1-\dots -b_nv_n \in null\ T$
就會(huì)存在 $a_1,\dots,a_m\in F$ 使得：
$v-b_1v_1-\dots -b_nv_n=a_1u_1+\dots+a_mu_m$ .

上面的等式也可以寫成: $v=a_1u_1+\dots+a_mu_m+b_1v_1+\dots+b_nv_n$
上面的等式顯示任意向量 $v\in V$ 都是 $(u_1,\dots,u_m,v_1,\dots,v_n)$ 的線性組合。
即 $(u_1,\dots,u_m,v_1,\dots,v_n)$ 張成V，則V是有限維的。

12.設(shè)V和W都是有限維的。證明存在從V到W的滿的線性映射當(dāng)且僅當(dāng) $dim W \le dim V$ .
答：
正推：有range T=W .因 dim null T=dim V- dim rang T $\ge 0$ ,即 dim range T= dim W $\le$ dim V

反推：設(shè) $span(v_1,\dots,v_n)=V,span(w_1,\dots,w_m)=W$ 。
假設(shè) $dim W \le dim V$ .現(xiàn)在定義一個(gè)滿映射T即可。
$定義對(duì)于，a_1,\dots,a_n\in F,有(a_1v_1,\dots,a_nv_n)=a_1w_1+a_mw_m$

因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=dim%20W%5Cle%20dim%20V%2C%E5%88%99%20m%5Cle%20n" alt="dim W\le dim V,則 m\le n" mathimg="1">
至此，對(duì)于任意的 $(a_1,\dots,a_m)$ 都有 $(a1,\dots,a_n)$ 與其對(duì)應(yīng)。所以這個(gè)映射是滿的。

13.設(shè)V和W都是有限維的，并且U是V的子空間。證明：存在 $T\in \mathcal{L}(V,W)$ 使得null T=U當(dāng)且僅當(dāng) $dim U \ge dim V- dim W.$
答：
正推：若對(duì)于 $T\in \mathcal{L}(V,W)$ 且null T=U 。
因?yàn)閂是有限維的，那么 $dim \ range\ T\le$ dim W $\Rightarrow$
$dim \ U=dim \ null T=dim \ V- dim \ range \ T \ge dim\ V-dim\ W.$

反推：設(shè) $span(u_1,\dots,u_m)=U,span(u_1,\dots,u_m,v_1,\dots,v_n)=V$ ， $span(w_1,\dots,w_p)=W$ 。
假設(shè) $dim U \ge dim V- dim W.$ 現(xiàn)在定義一個(gè)T使得null T=U即可。
$定義對(duì)于，a_1,\dots,a_m,b_1,\dots,b_n\in F,有T(a_1v_1+\dots+a_mv_m+b_1v_1+\dots+b_nv_n)$ 使得

$T(a_1v_1+\dots+a_mv_m+b_1v_1+\dots+b_nv_n)=b_1w_1+\dots+b_nw_n.$
因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=dim%20W%5Cge%20dim%20V-dim%20U%2C" alt="dim W\ge dim V-dim U," mathimg="1">則有 $p \ge n$ 所以右邊的 $w_n$ 是有意義的。那么就存在 $T\in \mathcal{L}(V,W)$ 使得null T=U

14.設(shè)W是有限維的，并且 $T\in \mathcal{L}(V,W)$ 。證明：T是單的當(dāng)且僅當(dāng)有 $S\in \mathcal{L}(W,V)$ 使得ST是V上的恒等映射。

答：
正推：首先假設(shè)T是單的。
定義 $S'為：range \ T \to V,即S'(Tv)=v;$
因?yàn)門是單的，所以range T 中的每個(gè)元素都可以用唯一的 $Tv$ 來(lái)表示。
易得S' 是range T上的線性映射。因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=range%20%5C%20T" alt="range \ T" mathimg="1">是W的子集，S'可以在W子集中映射到V，就可以擴(kuò)充 $S\in \mathcal{L}(W,V)$
若 $v\in V,則(ST)v=S(Tv)=S'(Tv)=v$ ,這樣ST就是V上的恒等映射了。

反推：假設(shè)存在 $S\in \mathcal{L}(W,V)$ 使得ST是V上的恒等映射。
如果 $u,v\in V$ ,使得 $Tu=Tv$ .就有
$u=(ST)(u)=S(Tu)=S(Tv)=(ST)v=v$
即u=v,因此T是單的。

15.設(shè)V是有限維的，并且 $T\in \mathcal{L}(V,W)$ 。證明：T是滿的當(dāng)且僅當(dāng)有 $S\in \mathcal{L}(V,W)$ 使得TS是W上的恒等映射。

正推：首先假設(shè)T是滿的。那么W就等于range T,是有限維的。
設(shè) $(w_1,\dots,w_m)$ 是W的一個(gè)基。因?yàn)門是滿的，對(duì)于每個(gè) $v_j\in V$ 必有 $w_j=Tv_j。$
定義： $S\in \mathcal{L}(W,V)$ :
$S(a_1w_1+\dots+a_mw_m)=a_1v_1+\dots+a_mv_m$
那么:
$\begin{align} (TS)(a_1w_1+\dots+a_mw_m) & =T(a_1v_1+\dots+a_mv_m) \\ &=a_1Tv_1+\dots+a_mTv_m \\ &=a_1w_1+\dots+a_mw_m \end{align}$
這樣定義S，TS 就是W上的恒等映射。

反推：假設(shè)有 $S \in \mathcal{L}(W,V)$ 使得TS是W上的恒等映射。
若 $w\in W,那么T(Sw)=w，因此w\in range \ T.因此range \ T=W.$ 即T是滿的。

16.設(shè)U和V都是有限維向量空間，并且 $S\in \mathcal{L}(V,W)，T\in \mathcal{L}(U,V)$ .證明：
dim null ST $\le$ dim null S + dim null T.

答：定義線性映射T'為： $null \ ST \to V \ by \ T'u=Tu$
若 $u\in null \ ST,那么S(Tu)=0,即是說(shuō)Tu\in null S.也就是range\ T' \subset null\ S$

則有：
$\begin{align} dim\ null\ ST &=dim\ null\ T'+dim\ range\ T' \\ & \le dim\ null\ T'+dim\ null\ S \\ & \le dim\ null\ T+dim\ null\ S, \end{align}$
第一行來(lái)自命題3.4，第二行是應(yīng)為子空間的維度小于等于父空間。第三行也是如此。

17.證明矩陣加法和乘法的分配性質(zhì)成立。也就是說(shuō)，設(shè)A,B,C 都是矩陣，并且A(B+C)有意義。證明AB+AC有意義，并且A(B+C)=AB+AC.

參考答案:

因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=A(B%2BC)" alt="A(B+C)" mathimg="1">有意義，B和C必須有相同的大小。并且A的列數(shù)必須等于B和C的行數(shù)。這就使得AB+AC是有意義的。
要證明A(B+C)=AB+AC，使用矩陣加法，乘法和標(biāo)量的分配律。
設(shè) $a_{j,k},b_{j,k},c_{j,k}來(lái)表示A，B，C中第j行，第k列的元素。$
則B+C的j行k列的元素就是 $b_{j,k}+c_{j,k}$
則A(B+C)的j行k列的元素就是
$\sum_{r=1}^{n}a_{j,r}(b_{r,k}+c_{r,k})$

18.證明矩陣乘法是結(jié)合的。也就是說(shuō)，設(shè)A,B,C都是矩陣，并且(AB)C有意義。證明：A(BC)有意義，并且(AB)C=A(BC).

答：假設(shè)A是 $m\times n$ 型矩陣，B是 $n\times p$ 型矩陣，C是 $p\times q$ 型矩陣。這樣的形狀才能讓(AB)C有意義。設(shè) $R\in \mathcal{L}(F^n,F^m),S\in \mathcal{L}(F^p,F^n),T\in \mathcal{L}(F^q,F^p)$ . $\mathcal{M}(R)=A,\mathcal{M}(S)=B,\mathcal{T}=C$ .對(duì)于空間映射與矩陣之間也是可逆線性映射。
就有：
$\begin{align} (AB)C&=(\mathcal{M}(R)\mathcal{M}(S))\mathcal{M}(T) \\ &=\mathcal{M}(RS)\mathcal{M}(T) \\ &=\mathcal{M}((RS)T) \\ &=\mathcal{M}(R)\mathcal{M}(ST)\\ &=\mathcal{M}(R)(\mathcal{M}(S)\mathcal{M}(T))\\ &=A(BC) \end{align}$

19.設(shè) $T \in \mathcal{L}(F^n,F^m)$ .并且
$M(T)=\left[ \begin{matrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,n}\\ \vdots & &\vdots \\ a_{n,1} & \cdots & a_{m,n} \end{matrix} \right]$
其中使用了標(biāo)準(zhǔn)基。證明：對(duì)于每個(gè) $(x_1,\dots,x_n)\in F^n$ 都有：
$\begin{align}T(x_1,\dots,x_n) &=(a_{1,1}x_1+\dots+a_{1,n}x_n,\dots,\\ &a_{m,1}x_1+\dots+a_{m,n}x_n) \end{align}$ .

參考答案:
設(shè) $x=(x_1,\dots,x_n)\in F^n$ ,使用標(biāo)準(zhǔn)基，有：
$\begin{align} \mathcal{M}(Tv)&=\mathcal{M}(T)\mathcal{M}(x) \\ &=\left[ \begin{matrix} a_{1,1} & \cdots & a_{1,n}\\ \vdots & &\vdots \\ a_{n,1} & \cdots & a_{m,n} \end{matrix} \right] \left[ \begin{matrix} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{matrix} \right] \\ &=\left[ \begin{matrix} a_{1,1}x_1+\dots+a_{1,n}x_n \\ \vdots \\ a_{m,1}x_1+\dots+a_{m,n}x_n \end{matrix} \right] \end{align}$
最后一個(gè)等式表示： $Tx=(a_{1,1}x_1+\dots+a_{1,n}x_n,\dots,a_{m,1}x_1+\dots+a_{m,n}x_n)$

即得證。

20.設(shè) $(v_1,\dots,v_n)$ 是V的基。證明如下定義的函數(shù) $T:V \to Mat(n,1,F)$
$Tv=\mathcal{M}(v),$
是V到 $Mat(n,1,F)$ 上的可逆線性映射，其中 $\mathcal{M}(v)$ 是 $v \in V$ 關(guān)于基 $(v_1,\dots,v_n)$ 的矩陣。
參考答案:
設(shè) $u,w\in V$ ,就可以寫成
$u=a_1v_1+\dots+a_nv_n$ , $w=b_1v_1+\dots+b_nv_n$ , 對(duì)于一些 $a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_n$ .
就有： $u+w=(a_1+b_1)v_1+\dots+(a_n+b_n)v_n$
因此：
$\begin{align} T(u+w) &=\mathcal{M}(u+w) \\ &=\left[ \begin{matrix} a_1+b_1 \\ \vdots \\ a_n+b_n \end{matrix} \right] \\ &=\left[ \begin{matrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{matrix} \right]+\left[ \begin{matrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{matrix} \right] \\ &=\mathcal{M}(u)+\mathcal{M}(w)\\ &=Tu+Tw \end{align}$
即滿足線性加法原則。

若 $c\in F$ ,那么 $cu=ca_1v_1+\dots+ca_nv_n$ .

因此：
$\begin{align} T(cu) &=\mathcal{M}(cu) \\ &=\left[ \begin{matrix} ca_1 \\ \vdots \\ ca_n \end{matrix} \right] \\ &= c\left[ \begin{matrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{matrix} \right] \\ &=c\mathcal{M}(u) \\ &=cTu \end{align}$
上面證明T映射滿足線性齊性。因此T映射滿足線性。
如果 $Tu=0,即a_1=\dots=a_n=0,即u=0.就表示T是單的。$
若 $c_1,\dots,c_n\in F$ ,那么 $T(c_1v_1+\dots+c_nv_n)=\left[ \begin{matrix}c_1\\ \vdots \\c_n\end{matrix}\right]$ ,T 是滿的。
T既是單的又是滿的，那么T就是可逆的。

21.證明：從 $Mat(n,1,F)$ 到 $Mat(m,1,F)$ 的每個(gè)線性映射都是乘以某個(gè)矩陣。換句話說(shuō)，證明：如果 $T\in \mathcal{L}(Mat(n,1,F),Mat(m,1,F))$ ,那么有m×n矩陣A是的對(duì)每個(gè) $B\in Mat(n,1,F)$ 都有TB=AB.

參考答案:
向量空間 $Mat(n,1,F)$ 和 $Mat(m,1,F)$ 有明顯的基(標(biāo)準(zhǔn)基)。設(shè)A是映射T標(biāo)準(zhǔn)基組成的矩陣。
注意到如果 $B\in Mat(n,1,F)$ 那么 $\mathcal{M}(B)=B并且\mathcal{M}(TB)=TB.$
$\begin{align} TB&=\mathcal{M}(TB)\\ &=\mathcal{M}(T)\mathcal{M}(B)\\ &=AB \end{align}$

數(shù)學(xué)真是直接，把對(duì)世界的描述和描述的描述都當(dāng)成矩陣來(lái)表示。

22.設(shè)V是有限維的，并且 $S,T\in \mathcal{L}(V).$ 證明ST可逆當(dāng)且僅當(dāng)S和T都可逆。

參考答案:
正推：首先假設(shè)ST是可逆的，因此就存在 $R\in \mathcal{L}(V)$ 使得 $R(ST)=(ST)R=I$ .
如果 $v\in V使得Tv=0$ ,那么就會(huì)有：
$\begin{align} v&=Tv\\ &=R(ST)v\\ &=RS(Tv)\\ &=RS(0)\\ &=0 \end{align}$
上式中的 $RS(0)=0$ ,怎么來(lái)的呢？依據(jù)的是線性映射的加性，即 $T(a)+T(b)=T(a+b),T(0)+T(0)=T(0+0)=T(0)\to T(0)=0$ .

因?yàn)榧僭O(shè) $v$ 是null T中的任意一向量，上面的推導(dǎo)表明了 $null\ T={0}$ ,由此推斷T是單的。又 $T\in \mathcal{L}(V)$ ,所以T是可逆的。

設(shè) $u\in V，$ 就有：
$\begin{align} u&=Iu\\ &=(ST)Ru\\ &=S(TRu) \end{align}$

上式表明 $u\in range\ S.$ 因?yàn)榧僭O(shè) $u$ 是V中的任意向量，那么range S=V.因此S是滿的，又 $S\in \mathcal{L}(V)$ ，所以S是可逆的。

反推：假設(shè)S和T都是可逆的，那么：
$\begin{align} (ST)(T^{-1}S^{-1})&=S(TT^{-1})S^{-1}\\ &=SS^{-1}\\ &=I \end{align}$
并且，
$\begin{align} (T^{-1}S^{-1})(ST)&=T^{-1}(S^{-1}S)T\\ &=T^{-1}T\\ &=I. \end{align}$
即 $T^{-1}S^{-1}$ 滿足ST逆的特性，所以ST是可逆的并且 $(ST)^{-1}=T^{-1}S^{-1}.$

23.設(shè)V是有限維的，并且 $S,T\in \mathcal{L}(V).$ 證明ST=I 當(dāng)且僅當(dāng)TS=I.

參考答案:

正推：首先設(shè) $ST=I$ ,因?yàn)镮是可逆映射，就證明了S，T都是可逆的。
上面等式兩邊都右乘 $T^{-1}$ 可得： $S=T^{-1}$ ,再左乘T，可得 $TS=I$ 。

反推：一樣的，先右乘 $S^{-1}$ 得 $T=S^{-1}$ ,再左乘S得 $ST=I$ .

24.設(shè)V是有限維的，并且 $T\in \mathcal{L}(V).$ 證明T是恒等映射的標(biāo)量倍當(dāng)且僅當(dāng)對(duì)每個(gè) $S\in \mathcal{L}(V).$
都有ST=TS.

參考答案:

正推：首先假設(shè) $T=aI,a\in F.且S\in \mathcal{L}(V)$
那么：
$\begin{align} ST&=S(aI)\\ &=aS\\ &=(aI)S\\ &=TS \end{align}$
反推：設(shè)ST=TS,對(duì)所有的 $S,T\in \mathcal{L}(V)$ 都成立。首先要證明對(duì)于所有的 $v\in V$ , $(v,Tv)$ 在V中是線性相關(guān)的.
先設(shè) $v\in V$ 并且假設(shè) $(v,Tv)$ 在V中是線性不相關(guān)的。
那么 $(v,Tv)$ 可以擴(kuò)充成V的一個(gè)基 $(v,Tv,u_1,\dots,u_n)$ ,定義 $S(av+bTv+c_1u_1+\dots+c_nu_n)=bv$ .
即 $S(Tv)=v并且Sv=0.$ 那么等式 $S(Tv)=T(Sv)變成等式v=0$ .( $v=S(Tv)=T(Sv)=T(0)=0$ )這個(gè)矛盾說(shuō)明， $(v,Tv)$ 在V中是線性相關(guān)的.
線性相關(guān)就表示對(duì)于每個(gè) $v\in V且V\not=\{0\}$ ,必定存在 $a_v\in F$ 使得 $Tv=a_vv$ .

為了證實(shí)T是恒等映射的標(biāo)量倍，必須證明 $a_v$ 線性無(wú)關(guān)于 $v$ .
即對(duì)于 $v,w\in V 且 V\not ={0}$ ,使 $a_v=a_w$ ,

1.考慮 $(v,w)$ 是線性相關(guān)的情況。
那么必存在 $b\in F使得w=bv$ 就有：
$\begin{align} a_ww&=Tw\\ &=T(bv)\\ &=bTv\\ &=b(a_vv)\\ &=a_vw \end{align}$
2.考慮 $(v,w)$ 是線性無(wú)關(guān)的情況，就有：
$\begin{align} a_{v+w}(v+w)&=T(v+w)\\ &=Tv+Tw\\ &=a_vv+a_ww \end{align}$
上面的式子可以導(dǎo)出： $(a_{v+w}-a_v)v+(a_{v+w}-a_w)w=0$ .因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=(v%2Cw)" alt="(v,w)" mathimg="1">是線性無(wú)關(guān)的，那么 $a_{v+w}=a_v并且a_{v+w}=a_w.再次推導(dǎo)證明a_v=a_w$ ,最終命題得證 $\blacksquare$

25.證明：如果V是有限維的，并且dim V>1,那么V上不可逆算子之集不是 $\mathcal{L}(V)的子空間。$

參考答案:
已知V是有限維的，并且dim V＞1，設(shè)n=dim V并且 $(v_1,\dots,v_n)$ 是V的一個(gè)基。
定義 $S,T\in \mathcal{L}(V)$ , $S(a_1v_1+\dots+a_nv_n)=a_1v_1,T(a_1v_1+\dots+a_nv_n)=a_2v_2+\dots+a_nv_n$ .
那么S就不是單的，因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=Sv_2%3D0" alt="Sv_2=0" mathimg="1">,并且T也不是單的,因 $Tv_1=0$ .
S,T不是單的，然而S+T=I,I是可逆的。因?yàn)榉强赡嬗成涞募环霞臃ǚ忾]原則，因此不是 $\mathcal{L}(V)的子空間。$

26.設(shè)n是正整數(shù)，并且 $a_{i,j}\in F,i,j=1,\dots,n.$ 證明下面的(a)和(b)等價(jià)。
(a) 齊次線性方程組
$\begin{align} \sum_{k=1}^{n}a_{1,k}x_k=0 \\ \vdots \\ \sum_{k=1}^{n}a_{n,k}x_k=0 \\ \end{align}$
只有平凡解 $x_1=\dots=x_n=0.$

(b)對(duì)于每組 $c_1,\dots,c_n\in F,$ 方程組
$\begin{align} \sum_{k=1}^{n}a_{1,k}x_k=c_1 \\ \vdots \\ \sum_{k=1}^{n}a_{n,k}x_k=c_n \\ \end{align}$
都有解。
注意，此處方程的個(gè)數(shù)與變量的個(gè)數(shù)相同。

參考答案:
定義 $T\in \mathcal{L}(F^n)$ ： $T(x_1,\dots,x_n)=(\sum_{k=1}^na_{1,k}x_k,\dots,\sum_{k=1}^na_{n,k}x_k).$

那么其次線性方程組(a) 就說(shuō)明T是單的(因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=null%5C%20T%3D0" alt="null\ T=0" mathimg="1">)。而(b)所對(duì)應(yīng)的T是滿的，因?yàn)? $range\ T=W$ ),由于都是R集中的映射，那么兩個(gè)T是可逆的，所以(a),(b)兩個(gè)命題對(duì)于各系數(shù)，或是T來(lái)說(shuō)都是等價(jià)的。

色偷偷精品伊人,欧洲久久精品,欧美综合婷婷骚逼,国产AV主播,国产最新探花在线,九色在线视频一区,伊人大交九欧美,1769亚洲,黄色成人av

第三章習(xí)題

第三章習(xí)題

相關(guān)閱讀更多精彩內(nèi)容

友情鏈接更多精彩內(nèi)容

色偷偷精品伊人,欧洲久久精品,欧美综合婷婷骚逼,国产AV主播,国产最新探花在线,九色在线视频一区,伊人大交九 欧美,1769亚洲,黄色成人av

第三章 習(xí)題

相關(guān)閱讀更多精彩內(nèi)容

友情鏈接更多精彩內(nèi)容

色偷偷精品伊人,欧洲久久精品,欧美综合婷婷骚逼,国产AV主播,国产最新探花在线,九色在线视频一区,伊人大交九欧美,1769亚洲,黄色成人av

第三章習(xí)題