什么是平衡二叉樹？
任意一個節(jié)點(diǎn)（不是葉子節(jié)點(diǎn)，否則就是完全二叉樹了），左子樹和右子樹的高度差不超過1
滿二叉樹是平衡二叉樹
上圖這顆樹不是平衡二叉樹
當(dāng)平衡因子（節(jié)點(diǎn)的左右子樹高度差）>=2時，表示樹不再是平衡二叉樹
AVL樹的實(shí)現(xiàn)
public class AVLTree<K extends Comparable<K>, V> {
private class Node{
public K key;
public V value;
public Node left, right;
public int height;
public Node(K key, V value){
this.key = key;
this.value = value;
left = null;
right = null;
height = 1;//默認(rèn)葉子節(jié)點(diǎn)高度為1
}
}
private Node root;
private int size;
public AVLTree(){
root = null;
size = 0;
}
public int getSize(){
return size;
}
public boolean isEmpty(){
return size == 0;
}
private int getHeight(Node node){
if (node == null){
return 0;
}
return node.height;
}
//獲取節(jié)點(diǎn)平衡因子
private int getBalanceFactor(Node node){
if (node == null){
return 0;
}
return getHeight(node.left) - getHeight(node.right);
}
// 向二分搜索樹中添加新的元素(key, value)
public void add(K key, V value){
root = add(root, key, value);
}
// 向以node為根的二分搜索樹中插入元素(key, value)，遞歸算法
// 返回插入新節(jié)點(diǎn)后二分搜索樹的根
private Node add(Node node, K key, V value){
if(node == null){
size ++;
return new Node(key, value);
}
if(key.compareTo(node.key) < 0)
node.left = add(node.left, key, value);
else if(key.compareTo(node.key) > 0)
node.right = add(node.right, key, value);
else // key.compareTo(node.key) == 0
node.value = value;
//更新height
//判斷左右子樹哪個較大
node.height = 1 + Math.max(getHeight(node.left),getHeight(node.right));
//計算平衡因子
//判斷平衡因子是否大于1，若大于1則不符合平衡樹的性質(zhì)
int balanceFactor = getBalanceFactor(node);
if (Math.abs(balanceFactor) > 1){
System.out.println("unbalanced" + balanceFactor);
}
return node;
}
// 返回以node為根節(jié)點(diǎn)的二分搜索樹中，key所在的節(jié)點(diǎn)
private Node getNode(Node node, K key){
if(node == null)
return null;
if(key.equals(node.key))
return node;
else if(key.compareTo(node.key) < 0)
return getNode(node.left, key);
else // if(key.compareTo(node.key) > 0)
return getNode(node.right, key);
}
public boolean contains(K key){
return getNode(root, key) != null;
}
public V get(K key){
Node node = getNode(root, key);
return node == null ? null : node.value;
}
public void set(K key, V newValue){
Node node = getNode(root, key);
if(node == null)
throw new IllegalArgumentException(key + " doesn't exist!");
node.value = newValue;
}
// 返回以node為根的二分搜索樹的最小值所在的節(jié)點(diǎn)
private Node minimum(Node node){
if(node.left == null)
return node;
return minimum(node.left);
}
// 刪除掉以node為根的二分搜索樹中的最小節(jié)點(diǎn)
// 返回刪除節(jié)點(diǎn)后新的二分搜索樹的根
private Node removeMin(Node node){
if(node.left == null){
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size --;
return rightNode;
}
node.left = removeMin(node.left);
return node;
}
// 從二分搜索樹中刪除鍵為key的節(jié)點(diǎn)
public V remove(K key){
Node node = getNode(root, key);
if(node != null){
root = remove(root, key);
return node.value;
}
return null;
}
private Node remove(Node node, K key){
if( node == null )
return null;
if( key.compareTo(node.key) < 0 ){
node.left = remove(node.left , key);
return node;
}
else if(key.compareTo(node.key) > 0 ){
node.right = remove(node.right, key);
return node;
}
else{ // key.compareTo(node.key) == 0
// 待刪除節(jié)點(diǎn)左子樹為空的情況
if(node.left == null){
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size --;
return rightNode;
}
// 待刪除節(jié)點(diǎn)右子樹為空的情況
if(node.right == null){
Node leftNode = node.left;
node.left = null;
size --;
return leftNode;
}
// 待刪除節(jié)點(diǎn)左右子樹均不為空的情況
// 找到比待刪除節(jié)點(diǎn)大的最小節(jié)點(diǎn), 即待刪除節(jié)點(diǎn)右子樹的最小節(jié)點(diǎn)
// 用這個節(jié)點(diǎn)頂替待刪除節(jié)點(diǎn)的位置
Node successor = minimum(node.right);
successor.right = removeMin(node.right);
successor.left = node.left;
node.left = node.right = null;
return successor;
}
}
}
AVL樹的自平衡
AVL樹自平衡之前，
需要先判斷它是否為一顆二分搜索樹，
以及是否為一個平衡二叉樹，
若符合這些條件，再進(jìn)行自平衡操作
//判斷是否為二分搜索樹
public boolean isBST(){
ArrayList<K> keys = new ArrayList<>();
//進(jìn)行中序遍歷
inOrder(root,keys);
//若中序遍歷后不是按從小到大的順序排列
//則不是一顆二分搜索樹
for (int i = 1;i < keys.size(); i++){
if (keys.get(i-1).compareTo(keys.get(i)) > 0){
return false;
}
}
return true;
}
//進(jìn)行中序遍歷
private void inOrder(Node node, ArrayList<K> keys){
if (node == null){
return;
}
inOrder(node.left,keys);
keys.add(node.key);
inOrder(node.right,keys);
}
//判斷是否為一顆平衡二叉樹
public boolean isBalanced(){
return isBalanced(root);
}
private boolean isBalanced(Node node){
if (node == null){
return true;
}
int balanceFactor = getBalanceFactor(node);
//判斷左右子樹高度差是否大于1
if (Math.abs(balanceFactor) > 1){
return false;
}
return isBalanced(node.left) &&isBalanced(node.right);
}
AVL的左右平衡旋轉(zhuǎn)操作
當(dāng)插入一個節(jié)點(diǎn)時，
需要以這個節(jié)點(diǎn)向上維護(hù)平衡性
當(dāng)插入的節(jié)點(diǎn)在相對不平衡節(jié)點(diǎn)側(cè)的時候
一般需要維護(hù)
當(dāng)不平衡發(fā)生在左側(cè)子樹的時候，進(jìn)行右旋轉(zhuǎn)
左旋轉(zhuǎn)（RR）與右旋轉(zhuǎn)(LL)
//右旋轉(zhuǎn)
// 對節(jié)點(diǎn)y進(jìn)行向右旋轉(zhuǎn)操作，返回旋轉(zhuǎn)后新的根節(jié)點(diǎn)x
// y x
// / \ / \
// x T4 向右旋轉(zhuǎn) (y) z y
// / \ - - - - - - - -> / \ / \
// z T3 T1 T2 T3 T4
// / \
// T1 T2
private Node rightRotate(Node y){
//得先暫存到時會被重新刷新的點(diǎn)
Node x = y.left;
Node T3 = x.right;
//開始右旋轉(zhuǎn)
x.right = y;
y.left = T3;
//更新height高度值
y.height = Math.max(getHeight(y.left),getHeight(y.right)) + 1;
x.height = Math.max(getHeight(x.left),getHeight(x.right)) + 1;
return x;
}
//再在相應(yīng)的語法add方法中添加判斷
//平衡維護(hù)
//當(dāng)不平衡發(fā)生在左子樹時，進(jìn)行右旋轉(zhuǎn)
if (balanceFactor >1 && getBalanceFactor(node.left) >= 0){
return rightRotate(node);
}
左旋轉(zhuǎn)同理
// 對節(jié)點(diǎn)y進(jìn)行向左旋轉(zhuǎn)操作，返回旋轉(zhuǎn)后新的根節(jié)點(diǎn)x
// y x
// / \ / \
// T1 x 向左旋轉(zhuǎn) (y) y z
// / \ - - - - - - - -> / \ / \
// T2 z T1 T2 T3 T4
// / \
// T3 T4
private Node leftRotate(Node y) {
Node x = y.right;
Node T2 = x.left;
// 向左旋轉(zhuǎn)過程
x.left = y;
y.right = T2;
// 更新height
y.height = Math.max(getHeight(y.left), getHeight(y.right)) + 1;
x.height = Math.max(getHeight(x.left), getHeight(x.right)) + 1;
return x;
}
特殊旋轉(zhuǎn)LR和RL
當(dāng)右旋轉(zhuǎn)或左旋轉(zhuǎn)無法一次性解決平衡二叉樹問題時，
我們將使用特殊的旋轉(zhuǎn)方式LR
如上圖所示，
我們應(yīng)該先對x進(jìn)行左旋轉(zhuǎn)，
使之轉(zhuǎn)化為LL（左旋轉(zhuǎn)）形式
轉(zhuǎn)化為下圖
最后再進(jìn)行右旋轉(zhuǎn)（RL同理）
//LR
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(node.left) < 0) {
node.left = leftRotate(node.left);
return rightRotate(node);
}
//RL
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(node.right) > 0) {
node.right = rightRotate(node.right);
return leftRotate(node);
}
AVL刪除元素
我們在刪除元素時，
也應(yīng)該考慮到樹的平衡性，
以及樹的旋轉(zhuǎn)
private Node remove(Node node, K key){
if( node == null )
return null;
Node retNode;
if( key.compareTo(node.key) < 0 ){
node.left = remove(node.left , key);
// return node;
retNode = node;
}
else if(key.compareTo(node.key) > 0 ){
node.right = remove(node.right, key);
// return node;
retNode = node;
}
else{ // key.compareTo(node.key) == 0
// 待刪除節(jié)點(diǎn)左子樹為空的情況
if(node.left == null){
Node rightNode = node.right;
node.right = null;
size --;
// return rightNode;
retNode = rightNode;
}
// 待刪除節(jié)點(diǎn)右子樹為空的情況
else if(node.right == null){
Node leftNode = node.left;
node.left = null;
size --;
// return leftNode;
retNode = leftNode;
}
// 待刪除節(jié)點(diǎn)左右子樹均不為空的情況
else{
// 找到比待刪除節(jié)點(diǎn)大的最小節(jié)點(diǎn), 即待刪除節(jié)點(diǎn)右子樹的最小節(jié)點(diǎn)
// 用這個節(jié)點(diǎn)頂替待刪除節(jié)點(diǎn)的位置
Node successor = minimum(node.right);
//successor.right = removeMin(node.right);
successor.right = remove(node.right, successor.key);
successor.left = node.left;
node.left = node.right = null;
// return successor;
retNode = successor;
}
}
if(retNode == null)
return null;
// 更新height
retNode.height = 1 + Math.max(getHeight(retNode.left), getHeight(retNode.right));
// 計算平衡因子
int balanceFactor = getBalanceFactor(retNode);
// 平衡維護(hù)
// LL
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) >= 0)
return rightRotate(retNode);
// RR
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) <= 0)
return leftRotate(retNode);
// LR
if (balanceFactor > 1 && getBalanceFactor(retNode.left) < 0) {
retNode.left = leftRotate(retNode.left);
return rightRotate(retNode);
}
// RL
if (balanceFactor < -1 && getBalanceFactor(retNode.right) > 0) {
retNode.right = rightRotate(retNode.right);
return leftRotate(retNode);
}
return retNode;
}
2-3樹的實(shí)現(xiàn)
2-3樹是一種滿足二分搜索樹性質(zhì)，
一個節(jié)點(diǎn)可能存放1個元素，也有可能存放2個元素的絕對平衡樹結(jié)構(gòu)
當(dāng)2-3樹的左右子樹指向值為null的時候，
將會進(jìn)行節(jié)點(diǎn)的融合（二分搜索樹則會直接代入null的節(jié)點(diǎn)中），使一個節(jié)點(diǎn)存放2個元素
2-3樹進(jìn)行融合的過程(符號表示)：
[37] -- > 42
當(dāng)37要插入節(jié)點(diǎn)時，節(jié)點(diǎn)會判斷左右子樹的值是否為null,
若為null，則
[ ] --> [37,42]
若此時再插入一個元素，則會臨時加入節(jié)點(diǎn)
如插入元素12
[12] --> [37,42]
[ ] --> [12,37,42]
并判斷是否為2-3樹（ [12,37,42]這種結(jié)構(gòu)將可能有4個節(jié)點(diǎn)），
若非2-3樹則重新拆分為
而當(dāng)形成的樹的葉子節(jié)點(diǎn)不是一個3-4節(jié)點(diǎn)樹，
如下圖
則會與上一層的節(jié)點(diǎn)合并成一個新的2-3樹
紅黑樹和2-3樹的等價性
因?yàn)?strong>紅黑樹與2-3樹不同，
一個節(jié)點(diǎn)只能存儲一個元素，
所以會以節(jié)點(diǎn)之間相互連接的方式存儲
我們可以得出紅黑樹中紅色節(jié)點(diǎn)都是位于其相對的節(jié)點(diǎn)的左子樹中
如下圖
2-3樹與紅黑樹的轉(zhuǎn)換
所以紅黑樹的實(shí)際結(jié)構(gòu)其實(shí)可以是
而對應(yīng)的它從根節(jié)點(diǎn)到任意一個葉子節(jié)點(diǎn)，
黑色節(jié)點(diǎn)的數(shù)量是一樣的（2-3樹同理）
所以我們稱紅黑樹是一種“黑平衡”二叉樹，而非平衡二叉樹
最大的高度為2logn(可能是3節(jié)點(diǎn))，添加或刪除的時間復(fù)雜度為O(logn)，
若進(jìn)行高頻率添加刪除選擇紅黑樹，
若進(jìn)行查詢更多則使用平衡二叉樹（AVL）
紅黑樹的實(shí)現(xiàn)
public class RBTree<K extends Comparable<K>, V> {
public static final boolean RED = true;
public static final boolean BLACK = false;
private class Node{
public K key;
public V value;
public Node left, right;
public boolean color;
public Node(K key, V value){
this.key = key;
this.value = value;
left = null;
right = null;
color = RED;//向下添加一個節(jié)點(diǎn)時，總是會進(jìn)行融合，而融合的節(jié)點(diǎn)正是紅節(jié)點(diǎn)，所以默認(rèn)為RED
}
}
private Node root;
private int size;
public RBTree(){
root = null;
size = 0;
}
public int getSize(){
return size;
}
public boolean isEmpty(){
return size == 0;
}
}
紅黑樹添加元素
紅黑樹添加元素與2-3樹相同，
先把元素添加進(jìn)2節(jié)點(diǎn)，形成一個3節(jié)點(diǎn)
或把元素添加進(jìn)3節(jié)點(diǎn)，形成一個4節(jié)點(diǎn)
添加的元素永遠(yuǎn)為紅色節(jié)點(diǎn)（紅色節(jié)點(diǎn)只能在黑色節(jié)點(diǎn)的左側(cè)）
若不滿足紅色節(jié)點(diǎn)在黑色節(jié)點(diǎn)的左側(cè)的性質(zhì)，
則應(yīng)進(jìn)行左或右旋轉(zhuǎn)
// node x
// / \ 左旋轉(zhuǎn) / \
// T1 x ---------> node T3
// / \ / \
// T2 T3 T1 T2
private Node leftRotate(Node node){
Node x = node.right;
// 左旋轉(zhuǎn)
node.right = x.left;
x.left = node;
x.color = node.color;
node.color = RED;
return x;
}
// node x
// / \ 右旋轉(zhuǎn) / \
// x T2 -------> y node
// / \ / \
// y T1 T1 T2
private Node rightRotate(Node node){
Node x = node.left;
// 右旋轉(zhuǎn)
node.left = x.right;
x.right = node;
x.color = node.color;
node.color = RED;
return x;
}
// 顏色翻轉(zhuǎn)
private void flipColors(Node node){
node.color = RED;
node.left.color = BLACK;
node.right.color = BLACK;
}
// 向二分搜索樹中添加新的元素(key, value)
public void add(K key, V value){
root = add(root, key, value);
}
// 向以node為根的紅黑樹中插入元素(key, value)，遞歸算法
// 返回插入新節(jié)點(diǎn)后紅黑樹的根
private Node add(Node node, K key, V value){
if(node == null){
size ++;
return new Node(key, value);
}
if(key.compareTo(node.key) < 0)
node.left = add(node.left, key, value);
else if(key.compareTo(node.key) > 0)
node.right = add(node.right, key, value);
else // key.compareTo(node.key) == 0
node.value = value;
if(isRed(node.right) && !isRed(node.left)){
node = leftRotate(node);
}
if(isRed(node.left) && isRed(node.left.left)){
node = rightRotate(node);
}
// 顏色翻轉(zhuǎn)
if(isRed(node.left) && isRed(node.right)){
flipColors(node);
}
return node;
}
性能總結(jié)
對于完全隨機(jī)的數(shù)據(jù)，二分搜索樹效率不錯
缺點(diǎn)：極端情況會退化成鏈表
查詢較多的情況下，AVL樹效率相對不錯
紅黑樹犧牲了平衡性（2logn的高度），但在增刪改查綜合使用的時候效率更高
