利用Rényi entropy度量時頻分析中的時頻能量聚集度

時頻分析（TFA, time frequency analysis）的發(fā)展目標(biāo)之一，就是努力提高時頻分辨能力（另一個目標(biāo)是信號能夠被完美重構(gòu)。做到完美重構(gòu)的話，可以使得該TFA技術(shù)用于信號去噪，模態(tài)分解等方面。）。時頻譜具有高時頻分辨能力，直觀地可以理解為時頻平面上的高能量聚集性，所以一定程度上，高能量聚集性可以表征高時頻分辨能力（高能量聚集性不絕對表示高時頻分辨能力，二者沒有絕對聯(lián)系）。在時頻分析中，Rényi entropy可用于度量時頻能量聚集度。

Rényi entropy由Alfred Renyi在其1961年的論文中提出，作為香農(nóng)熵的一種推廣，其離散形式如下
H_{\alpha}(P)=\frac{1}{1-\alpha}\log_2(\sum_{k=1}^np_k^\alpha)\quad \alpha>0且\alpha \neq 1
記時頻能量密度為P(t,f)，時頻能量聚集度定義為[3]
H_{\alpha}(P)=\frac{1}{\alpha-1}\log_2 \frac{\int \int P^\alpha(t,f)\, dt\, df}{\int \int P(t,f)\,dt\,df}
式中\alpha>0表示Renyi熵的階數(shù)，研究表明，\alpha=3時，Renyi熵能夠很好的衡量大多數(shù)的信號的時頻分布，穩(wěn)定性最好。在實際使用時，考慮到時頻平面的歸一化問題，不直接使用上式，而是使用如下的等價形式
H_{\alpha}(P)=\frac{1}{\alpha-1}\log_2 \int\int\frac{ P^\alpha(t,f)}{\int \int P(u,v)\,du\,dv}\, dt\, df
Rényi entropy非線性單調(diào)遞減，因此H_{\alpha}(P)越小，表示時頻能量聚集度越高。

關(guān)于上式的討論，即Rényi entropy在時頻分析中的應(yīng)用，見文獻(xiàn)[4]公式(3-18).

參考文獻(xiàn)：
[1] Renyi Entropy & Renyi Divergence - 知乎 (zhihu.com)
[2] WANG S, CHEN X, CAI G, 等. Matching Demodulation Transform and SynchroSqueezing in Time-Frequency Analysis[J/OL]. IEEE Transactions on Signal Processing, 2014, 62(1): 69-84. https://doi.org/10.1109/TSP.2013.2276393.
[3] BARANIUK R G, FLANDRIN P, JANSSEN A J E M, 等. Measuring time-frequency information content using the Renyi entropies[J/OL]. IEEE Transactions on Information Theory, 2001, 47(4): 1391-1409. https://doi.org/10.1109/18.923723.
[4] 基于時頻分布的RéNYI熵信號檢測, 梁智勇，碩士論文

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