立體幾何之目：2007年文數(shù)海南卷題18與「常見四面體Ⅰ」

2007年文數(shù)海南卷題18（12 分）

18.（本小題滿分12 分）

如圖，A，B，C，D 為空間四點，在 \triangle ABC 中，AB=2，AC=BC=\sqrt{2}，等邊三角形 ADB 以 AB 為軸轉(zhuǎn)動.

（Ⅰ）當平面 ADB \perp平面 ABC 時，求 CD ;

（Ⅱ）當 \triangle ADB 轉(zhuǎn)動時，是否總有 AB \perp CD? 證明你的結(jié)論.

2007年文科數(shù)學海南卷

【解答問題Ⅰ】

記 AB 中點為 M，連接 MC,MD.

\because AC=BC, MA=MB

\therefore MC \perp AB （三線合一）

\because AD=BD, MA=MB

\therefore MD \perp AB

當平面 ADB \perp平面 ABC 時，MD \perp MC, CD^2=MC^2+MD^2

\because AB=2，AC=BC=\sqrt{2},\;\therefore AB \perp BC

又 \because MA=MB

\therefore MC=\dfrac{1}{2}AB=1

\because \triangle ADB 是等邊三角形 \therefore MD=\dfrac{\sqrt{3}}{2}AB=\sqrt{3}

\therefore CD^2=4, CD=2.

【解答問題Ⅱ】

\because MC \perp AB, MD \perp AB, MC \cap MD = M

\therefore AB \perp 平面 MDC

又 \because CD \subset 平面 MDC

\therefore AB \perp CD. 證明完畢.

【回歸教材】

這是一道源自課本題的高考題。原題是這個題：人教版《數(shù)學-必修2》§2.3.2 練習1（p67）.

【提煉與提高】

在最近十年的高考中，這一題根改頭換面，出現(xiàn)了多次。務必要引起高度重視。

因為這個模型頻繁出場，我們給它起個名字：『第一類常見四面體』。注意這不是一個正式的數(shù)學術(shù)語，只是一個昵稱。

『第一類常見四面體』的特征：一個面是正三角形，另一個面是等腰直角三角形。

以下兩卷直接使用了本題的基本模型：

2009年理數(shù)海南卷題19

2017年文數(shù)全國卷C19

另外一些考題作了輕度改造，但是仍然可以認出這個『第一類常見四面體』：

2018年全國卷B（文數(shù)與理數(shù)使用同一模型）

2013年全國卷A

2014年全國卷A

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