協(xié)方差分析是建立在方差分析和回歸分析基礎(chǔ)之上的一種統(tǒng)計(jì)分析方法。在概率論和統(tǒng)計(jì)學(xué)中，協(xié)方差用于衡量?jī)蓚€(gè)變量的總體誤差。而方差是協(xié)方差的一種特殊情況, 即當(dāng)兩個(gè)變量是相同的情況。
兩個(gè)隨機(jī)變量協(xié)方差公式：
cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]
cov(X,Y):變量X,Y的協(xié)方差
E(X):變量X的期望
E(Y):變量Y的期望

cov(X,Y) = E[(X-E(X))(Y-E(Y))]
= E[XY-XE[Y]]-E[X]Y+E[X]E[Y]]
= E[XY]-E[X]E[Y]-E[X]E[Y]+E[X]E[Y]
= E[XY]-E[X]E[Y]

協(xié)方差矩陣：

協(xié)方差矩陣

性質(zhì)

1.兩個(gè)獨(dú)立的隨機(jī)變量滿足E[XY]=E[X]E[Y]，即協(xié)方差為0的兩個(gè)隨機(jī)變量稱為是不相關(guān)的。

協(xié)方差與方差之間有如下關(guān)系：
D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)
D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X，Y)

（1）Cov(X，Y)=Cov(Y，X)；
（2）Cov(aX，bY)=abCov(X，Y)，（a，b是常數(shù)）；
（3）Cov(X1+X2，Y)=Cov(X1，Y)+Cov(X2，Y)。
由協(xié)方差定義，可以看出Cov(X，X)=D(X)，Cov(Y，Y)=D(Y)。

Pearson相關(guān)系數(shù)

協(xié)方差作為描述X和Y相關(guān)程度的量，在同一物理量綱之下有一定的作用，但同樣的兩個(gè)量采用不同的量綱使它們的協(xié)方差在數(shù)值上表現(xiàn)出很大的差異。

Pearson相關(guān)系數(shù)

定義ρXY稱為隨機(jī)變量X和Y的(Pearson)相關(guān)系數(shù)。
若ρXY=0，則稱X與Y不線性相關(guān)。
即ρXY=0的充分必要條件是Cov(X，Y)=0，亦即不相關(guān)和協(xié)方差為零是等價(jià)的。
∣ρXY∣=1充分必要條件為P{Y=aX+b}=1，（a，b為常數(shù)，a≠0）。
參考：
百度百科：協(xié)方差
WIKIPEDIA:Covariance