第二次數(shù)學(xué)危機(jī)徹底解決之后，再經(jīng)過(guò)近200年的發(fā)展，科學(xué)家們普遍認(rèn)為系統(tǒng)而嚴(yán)密的“科學(xué)大廈”已經(jīng)基本建立。
然而，人們沒(méi)有注意到的是，作為“現(xiàn)代數(shù)學(xué)”基礎(chǔ)的“集合論”還隱藏著很多的問(wèn)題沒(méi)有解決。
集合論是“現(xiàn)代數(shù)學(xué)”的基礎(chǔ)，幾乎每一個(gè)分支都是建立在“集合論”的基礎(chǔ)之上的。
“集合論”的誕生之初，在“分析的嚴(yán)格化”思想的指導(dǎo)下，徹底地解決了由“微積分”引發(fā)的第二次數(shù)學(xué)危機(jī)。
在那一次危機(jī)中，“集合論”成為了“近代數(shù)學(xué)大廈”的基礎(chǔ)。
但是，“集合論”和很多新生事物一樣，在誕生之初也是不完善的，不斷的有人指出了它的缺陷，就連康托爾自己也被其中的一些悖論所困擾。
這些無(wú)法解決的問(wèn)題不斷地積累，終于在“羅素悖論”被提出之后徹底爆發(fā)了。
1907年，數(shù)學(xué)家羅素針對(duì)“集合論”的不嚴(yán)謹(jǐn)性提出了一個(gè)著名的“羅素悖論”，可以簡(jiǎn)單地描述如下：
“設(shè)有這樣一個(gè)集合：“A={x|x ? A}”。試問(wèn)：A∈A是否成立？
①如A∈A成立，那么就不符合x(chóng)?A，有A?A；
②如果A?A，則符合x(chóng)?A，有A∈A?！?/p>
這個(gè)悖論被形象地演化成了多個(gè)故事，其中最著名的一個(gè)故事叫做“理發(fā)師悖論”，如下：
理發(fā)師有一天心血來(lái)潮，在店門(mén)口寫(xiě)了一個(gè)有趣的公告：我只給所有“不給自己刮胡子”的人刮胡子。當(dāng)他發(fā)現(xiàn)自己的胡子有點(diǎn)長(zhǎng)，準(zhǔn)備給自己刮胡子的時(shí)候，忽然有點(diǎn)犯難了：我該不該給自己刮胡子呢？如果我給自己刮胡子，那就違背了自己只給“不為自己刮胡子的人”刮胡子這一條，但是如果不給自己刮胡子，又違反了應(yīng)該給“不給自己刮胡子的人”刮胡子這一條。
這個(gè)看似有點(diǎn)無(wú)厘頭的小故事所蘊(yùn)含的“數(shù)學(xué)悖論”，揭示出了“集合論”所存在的嚴(yán)重問(wèn)題。
“集合論”作為近代數(shù)學(xué)大廈的基礎(chǔ)，經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的發(fā)展，已經(jīng)滲透到了幾乎所有的數(shù)學(xué)分支。
如果“集合論”有問(wèn)題，就會(huì)動(dòng)搖整個(gè)“數(shù)學(xué)大廈”。
“羅素悖論”的提出，對(duì)“近代數(shù)學(xué)”的整個(gè)基本結(jié)構(gòu)的有效性提出了全面質(zhì)疑。
而這個(gè)質(zhì)疑是集中在“無(wú)窮”這個(gè)概念上的。
早在“康爾托”建立“集合論”之初，大數(shù)學(xué)家高斯和柯西都曾堅(jiān)決反對(duì)將“無(wú)窮”這個(gè)概念引入數(shù)學(xué)。
幸而，“無(wú)窮”概念得到了數(shù)學(xué)家“波爾查諾”的支持。
“波爾查諾”是一位探索“無(wú)窮”概念的偉大先驅(qū)，是第一個(gè)為了明確“實(shí)在無(wú)窮集合”理論而做出不懈努力的數(shù)學(xué)家，曾為康爾托建立“集合論”奠定了“哲學(xué)”基礎(chǔ)。
如今，問(wèn)題恰恰出現(xiàn)在了“無(wú)窮集合”這個(gè)概念上。
數(shù)學(xué)家們幾乎想把“無(wú)窮集合”這個(gè)概念丟棄，但是又發(fā)現(xiàn)幾乎所有的數(shù)學(xué)分支都是建立在“無(wú)窮集合”基礎(chǔ)上的。
一旦丟棄了“無(wú)窮集合”，那么“近代數(shù)學(xué)”幾乎寸步難行，所有涉及到“無(wú)窮集合”的數(shù)學(xué)分支都將崩潰，“數(shù)論”中的許多問(wèn)題只有再退回到用“解析方法”解決的時(shí)代，“數(shù)論”的發(fā)展會(huì)全面陷入停滯。
所有的數(shù)學(xué)家都積極行動(dòng)了起來(lái)，紛紛提出了自己的解決方案。
1908年，“策梅羅”創(chuàng)立了第一個(gè)“公理化集合論體系”，后來(lái)在其它數(shù)學(xué)家的共同努力下進(jìn)一步完善，稱(chēng)為ZF系統(tǒng)，彌補(bǔ)了“康托爾樸素集合論”的缺陷。
除了“ZF系統(tǒng)”外，還有好幾種公理系統(tǒng)，如“諾伊曼”等人提出的“NBG系統(tǒng)”等。
這些“公理化系統(tǒng)”誕生之后，成功地排除了集合論中出現(xiàn)的悖論，完美地解決了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。
經(jīng)過(guò)這次數(shù)學(xué)危機(jī)的磨煉，數(shù)學(xué)大廈的基礎(chǔ)得到了前所未有的鞏固，使現(xiàn)代數(shù)學(xué)邁著更加穩(wěn)健的步伐，引領(lǐng)著人類(lèi)科技一步一個(gè)腳印地走向更加輝煌的明天。
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