算法

二分查找的總結(jié)

普通的二分查找

最普通的寫法:

  • 范圍在[L,R]閉區(qū)間中，L = 0、R = arr.length - 1；
  • 注意循環(huán)條件為 L <= R ，而不是L < R；
image.png
    static int bs1(int[] arr,int key){
        int L = 0,R = arr.length - 1; //在[L,R]范圍內(nèi)尋找key
        int mid;
        while( L <= R){
            mid = L + (R - L) / 2;
            if(arr[mid] == key)
                return mid;
            if(arr[mid] > key)
                R = mid - 1;// key 在 [L,mid-1]內(nèi)
            else
                L = mid + 1;
        }
        return -1;
    }

普通二分查找的另一種寫法

首先說明，這個和上面的二分查找是完全一樣的，只不過我們定義的區(qū)間不同而已:

  • 上面的二分查找是在[L,R]的閉區(qū)間中查找，而這個二分查找是在[L,R<font color =red>)</font>的左閉右開區(qū)間查找；

  • 所以<font color =red>此時的循環(huán)條件是L < R ，因為R本來是一個不可到達的地方，我們定義為了開區(qū)間，所以R是一個不會考慮的數(shù)，所以我們循環(huán)條件是L < R；

  • 同理，當arr[mid] > key的時候，不是R = mid - 1，因為我們定義的是開區(qū)間，所以R = mid ，因為不會考慮arr[mid]這個數(shù)；

    //和上面的完全一樣，只是一開始R不是arr.length-1 而是arr.length
    static int bs2(int[] arr,int key){
        int L = 0, R = arr.length; //注意這里R = arr.length 所以在[L,R)開區(qū)間中找
        int mid;
        while( L < R){ //注意這里 不是 L <= R
            mid = L + (R - L)/2;
            if(arr[mid] == key)
                return mid;
            if(arr[mid] > key)
                R = mid; // 在[L,mid)中找
            else
                L = mid + 1;
        }
        return -1;
    }

上面的兩種方式一般還是第一種方式用的多一點。

第一個=key的，不存在返回-1

這個和之前的不同是:

  • 數(shù)組中可能有重復的key，我們要找的是第一個key的位置；

  • 和普通二分查找法不同的是在我們要R = mid - 1前的判斷條件不是arr[mid] > key，而是arr[mid] >= key；

  • 為什么是上面那樣，其實直觀上理解，我們要找的是第一個，那我們?nèi)プ筮呎业臅r候不僅僅arr[mid] > key就去左邊找，等于我也要去找，因為我要最左邊的等于的；

  • 最后我們要判斷L是否越界(L 有可能等于arr.length)，而且最后arr[L]是否等于要找的key；

  • 如果arr[L]不等于key，說明沒有這個元素，返回-1；

舉個例子:

image.png
    /**查找第一個與key相等的元素的下標，　如果不存在返回-1　*/
    static int firstEqual(int[] arr,int key){
        int L = 0, R = arr.length - 1; //在[L,R]查找第一個>=key的
        int mid;
        while( L <= R){
            mid = L + (R - L)/2;
            if(arr[mid] >= key)
                R = mid - 1;
            else
                L = mid + 1;
        }
        if(L < arr.length && arr[L] == key)
            return L;
        return -1;
    }

第一個>=key的

這個和上面那個尋找第一個等于key的唯一的區(qū)別就是:

  • 最后我們不需要判斷(L < arr.length && arr[L] == key)，因為如果不存在key的話，我們返回第一個> key的元素即可；

  • 注意這里沒有判斷越界(L < arr.length)，因為如果整個數(shù)組都比key要小，就會返回arr.length的大??；

    /**查找第一個大于等于key的元素的下標*/
    static int firstLargeEqual(int[] arr,int key){
        int L = 0, R = arr.length - 1;
        int mid;
        while( L <= R){
            mid = L + (R - L) / 2;
            if(arr[mid] >= key)
                R = mid - 1;
            else
                L = mid + 1;
        }
        return L;
    }

第一個>key的

這個和上兩個的不同在于:

  • <font color = red>if(arr[mid] >= key)改成了if(arr[mid] > key)</font>，因為我們不是要尋找 = key的；

  • 看似和普通二分法很像，但是我們在循環(huán)中沒有判斷if(arr[mid] == key)就返回mid(因為要尋找的不是等于key的)，而是在最后返回了L ；

舉個例子:

image.png
    /**查找第一個大于key的元素的下標 */
    static int firstLarge(int[] arr,int key){
        int L = 0,R = arr.length - 1;
        int mid;
        while(L <= R){
            mid = L + (R - L) / 2;
            if(arr[mid] > key)
                R = mid - 1;
            else
                L = mid + 1;
        }
        return L;
    }

<font color =red>第一個...的總結(jié)

上面寫了三個第一個.....的程序，可以發(fā)現(xiàn)一些共同點 ，也可以總結(jié)一下它們微妙的區(qū)別:

  • 最后返回的都是L；

  • 如果是尋找第一個等于key的，是if( arr[mid] >= key) R = mid - 1，且最后要判斷L的合法以及是否存在key；

  • 如果是尋找第一個大于等于key的，也是if(arr[mid] >= key) R = mid - 1，但是最后直接返回L；

  • 如果是尋找第一個大于key的，則判斷條件是if(arr[mid] > key) R = mid - 1，最后返回L ；

最后一個=key的，不存在返回-1

和尋找第一個 = key的很類似，不過是方向的不同而已:

  • 數(shù)組中有可能有重復的key，我們要查找的是最后一個 = key的位置，不存在返回-1；

  • 為了更加的直觀的理解，和尋找第一個...的形成對比，這里是當arr[mid] <= key的時候，我們要去右邊查找(L = mid + 1)，同樣是直觀的理解，因為我們是要去找到最后一個 = key的，所以不僅僅是arr[mid] < key要去左邊尋找，等于key的時候也要去左邊尋找；

  • <font color = red>和第一個....不同的是，我們返回的都是R；

  • 同時我們也要判斷R的下標的合法性，以及最后的arr[R]是否等于key，如果不等于就返回-1；

舉個例子:

image.png
    /**查找最后一個與key相等的元素的下標，　如果沒有返回-1*/
    static int lastEqual(int[] arr,int key){
        int L = 0, R = arr.length - 1;
        int mid;
        while( L <= R){
            mid = L + (R - L)/2;
            if(arr[mid] <= key)
                L = mid + 1;
            else
                R = mid - 1;
        }
        if(R >= 0 && arr[R] == key)
            return R;
        return -1;
    }

最后一個<=key的

這個和上面那個尋找最后一個等于key的唯一的區(qū)別就是:

  • 最后我們不需要判斷 (R >= 0 && arr[R] == key)，因為如果不存在key的話，我們返回最后一個 < key的元素即可；

  • 注意這里沒有判斷越界(R >= 0)，因為如果整個數(shù)組都比key要大，數(shù)組最左邊的更左邊一個(也就是-1)；

    /**查找最后一個小于等于key的元素的下標 */
    static int lastSmallEqual(int[] arr,int key){
        int L = 0, R = arr.length - 1;
        int mid;
        while( L <= R){
            mid = L + (R - L) / 2;
            if(arr[mid] <= key)
                L = mid + 1;
            else
                R = mid - 1;
        }
        return R;
    }

最后一個<key 的

這個和上面兩個不同的是:

  • <font color = red>和上面的程序唯一不同的就是arr[mid] <= key改成了 arr[mid] < key，因為我們要尋找的不是= key的；</font>

  • 注意這三個最后一個的都是先對L的操作L = mid + 1，然后在else 中進行對R的操作；

[圖片上傳失敗...(image-c6ae4-1571461689829)]

    /**查找最后一個小于key的元素的下標*/
    static int lastSmall(int[] arr,int key){
        int L = 0, R = arr.length - 1;
        int mid;
        while(L <= R){
            mid = L + (R - L) / 2;
            if(arr[mid] < key)
                L = mid + 1;
            else
                R = mid - 1;
        }
        return R;
    }

<font color =red>最后一個...的總結(jié)

上面三個都是求最后一個.....的，也進行一下總結(jié):

  • 最后返回的都是R；

  • 第一個if判斷條件(不管是arr[mid] <= key還是arr[mid] < key) ，都是L的操作，也就是去右邊尋找；

  • 如果是尋找最后一個 等于key的， if(arr[mid] <= key) L = mid + 1; 不過最后要判斷R的合法性以及是否存在key；

  • 如果是尋找最后一個 小于等于 key的，也是if(arr[mid] <= key) L = mid + 1；不過最后直接返回R；

  • 如果是尋找最后一個 小于 key的，則判斷條件是 if(arr[mid] < key) L = mid + 1 ，最后返回R；

完整測試代碼

public class BinarySearch {

    //最普通的二分搜索法
     static int bs1(int[] arr,int key){
        int L = 0,R = arr.length - 1; //在[L,R]范圍內(nèi)尋找key
        int mid;
        while( L <= R){
            mid = L + (R - L) / 2;
            if(arr[mid] == key)
                return mid;
            if(arr[mid] > key)
                R = mid - 1;// key 在 [L,mid-1]內(nèi)
            else
                L = mid + 1;
        }
        return -1;
    }

    //和上面的完全一樣，只是一開始R不是arr.length-1 而是arr.length
     static int bs2(int[] arr,int key){
        int L = 0, R = arr.length; //注意這里R = arr.length 所以在[L,R)開區(qū)間中找
        int mid;
        while( L < R){ //注意這里 不是 L <= R
            mid = L + (R - L)/2;
            if(arr[mid] == key)
                return mid;
            if(arr[mid] > key)
                R = mid; // 在[L,mid)中找
            else
                L = mid + 1;
        }
        return -1;
    }


    /**查找第一個與key相等的元素的下標，　如果不存在返回-1　*/
     static int firstEqual(int[] arr,int key){
        int L = 0, R = arr.length - 1; //在[L,R]查找第一個>=key的
        int mid;
        while( L <= R){
            mid = L + (R - L)/2;
            if(arr[mid] >= key)
                R = mid - 1;
            else
                L = mid + 1;
        }
        if(L < arr.length && arr[L] == key)
            return L;
        return -1;
    }

    /**查找第一個大于等于key的元素的下標*/
    static int firstLargeEqual(int[] arr,int key){
        int L = 0, R = arr.length - 1;
        int mid;
        while( L <= R){
            mid = L + (R - L) / 2;
            if(arr[mid] >= key)
                R = mid - 1;
            else
                L = mid + 1;
        }
        return L;
    }


    /**查找第一個大于key的元素的下標 */
    static int firstLarge(int[] arr,int key){
        int L = 0,R = arr.length - 1;
        int mid;
        while(L <= R){
            mid = L + (R - L) / 2;
            if(arr[mid] > key)
                R = mid - 1;
            else
                L = mid + 1;
        }
        return L;
    }


    /**查找最后一個與key相等的元素的下標，　如果沒有返回-1*/
     static int lastEqual(int[] arr,int key){
        int L = 0, R = arr.length - 1;
        int mid;
        while( L <= R){
            mid = L + (R - L)/2;
            if(arr[mid] <= key)
                L = mid + 1;
            else
                R = mid - 1;
        }
        if(R >= 0 && arr[R] == key)
            return R;
        return -1;
    }

    /**查找最后一個小于等于key的元素的下標 */
    static int lastSmallEqual(int[] arr,int key){
        int L = 0, R = arr.length - 1;
        int mid;
        while( L <= R){
            mid = L + (R - L) / 2;
            if(arr[mid] <= key)
                L = mid + 1;
            else
                R = mid - 1;
        }
        return R;
    }


    /**查找最后一個小于key的元素的下標*/
    static int lastSmall(int[] arr,int key){
        int L = 0, R = arr.length - 1;
        int mid;
        while(L <= R){
            mid = L + (R - L) / 2;
            if(arr[mid] < key)
                L = mid + 1;
            else
                R = mid - 1;
        }
        return R;
    }


    public static void main(String[] args) {

        int[] arr = {1,3,4,6,6,6,6,6,6,8,9};

        System.out.println("----------general-----------");

        System.out.println(bs1(arr,3));//1
        System.out.println(bs2(arr,3));//1
        System.out.println(bs2(arr,6));//5


        System.out.println("-----------first------------");

        //第一個 =  的
        System.out.println(firstEqual(arr,6));//3

        //第一個　>= 的
        System.out.println(firstLargeEqual(arr,5));//3
        System.out.println(firstLargeEqual(arr,6));//3

        //第一個 > 的
        System.out.println(firstLarge(arr,6));//9

        System.out.println("------------last------------");

        //最后一個 =  的
        System.out.println(lastEqual(arr,6));//8

        // 最后一個 <= 的
        System.out.println(lastSmallEqual(arr,7));//8
        System.out.println(lastSmallEqual(arr,6));//8

        //最后一個 < 的
        System.out.println(lastSmall(arr,6));//2

    }
}

效果:
[圖片上傳失敗...(image-3b5bd9-1571461689829)]

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