1、在計(jì)算機(jī)內(nèi)，有符號(hào)數(shù)有3種表示法：原碼、反碼和補(bǔ)碼
有符號(hào)數(shù)在計(jì)算機(jī)中存儲(chǔ)，用數(shù)的最高位存放符號(hào), 正數(shù)為0, 負(fù)數(shù)為1
例如：有符號(hào)數(shù) 1000 0011，其最高位1代表負(fù)，其真正數(shù)值是 -3，而不是形式值131（無符號(hào)數(shù)1000 0011轉(zhuǎn)換成十進(jìn)制等于131）
原碼：
原碼就是符號(hào)位加上真值的絕對值，即用第一個(gè)二進(jìn)制位表示符號(hào)（正數(shù)該位為0，負(fù)數(shù)該位為1），其余位表示值。
反碼：
- 正數(shù)的反碼與其原碼相同；
- 負(fù)數(shù)的反碼是對其原碼逐位取反，但符號(hào)位除外。
補(bǔ)碼：
- 正數(shù)的補(bǔ)碼就是其本身；
- 負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼是在其反碼的基礎(chǔ)上+1
原碼反碼補(bǔ)碼的定義，舉個(gè)例子如下：
[+1] = [0000 0001]原 = [0000 0001]反 = [0000 0001]補(bǔ)
[-1] = [1000 0001]原 = [1111 1110]反 = [1111 1111]補(bǔ)
2、計(jì)算機(jī)內(nèi)，為何要使用補(bǔ)碼
對于計(jì)算機(jī)而言，加減乘數(shù)是最基礎(chǔ)的運(yùn)算, 要設(shè)計(jì)的盡量簡單。我們知道，根據(jù)運(yùn)算法則，減去一個(gè)正數(shù)等于加上一個(gè)負(fù)數(shù)，即：1 - 1 = 1 + (-1) = 0，所以計(jì)算機(jī)內(nèi)部可以只有加法而沒有減法，這樣計(jì)算機(jī)的設(shè)計(jì)就簡單了，于是人們開始探索將符號(hào)位也參與運(yùn)算，將減法用加法替代。
我們分別用 原碼 反碼 補(bǔ)碼 來計(jì)算下1 - 1的結(jié)果：
1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]原 + [1000 0001]原 = [1000 0010]原 = -2
1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]反 + [1111 1110]反 = [1111 1111]反 = [1000 0000]原 = -0
1 - 1 = 1 + (-1) = [0000 0001]補(bǔ) + [1111 1111]補(bǔ) = [0000 0000]補(bǔ) = [0000 0000]原 = 0
我們可以看到，使用原碼和反碼都不能正確的進(jìn)行1 - 1的減法運(yùn)算。
補(bǔ)碼的優(yōu)點(diǎn)：
- 可將減法變?yōu)榧臃?，省去減法器；
- 無符號(hào)數(shù)及帶符號(hào)數(shù)的加法運(yùn)算可以用同一電路完成；
- 使用補(bǔ)碼，修復(fù)了原碼中0的符號(hào)(有 [+0] [-0] 之分)以及存在兩個(gè)編碼(0000 0000 和 1000 0000)的問題，而且還能夠多表示一個(gè)最低數(shù)。
在8位二進(jìn)制中：
- 使用原碼/反碼表示的范圍為[-127，+127]，包含 [+0] [-0] 一共256個(gè)；
- 使用補(bǔ)碼表示的范圍為[-128，+127]，0沒有符號(hào)。
3、補(bǔ)碼的本質(zhì)
補(bǔ)碼為什么能正確實(shí)現(xiàn)加法運(yùn)算呢？我們先從補(bǔ)碼的由來開始說起
補(bǔ)碼的由來
負(fù)數(shù)，其實(shí)就是0減去這個(gè)數(shù)的絕對值，比如 -8 = 0 - 8。8的二進(jìn)制是 0000 0100，-8就可以用下面的式子求出：
0 0 0 0 0 0 0 0
- 0 0 0 0 1 0 0 0
－－－－－－－－－－－
因?yàn)閇0000 0000]（被減數(shù)）小于[0000 1000]（減數(shù)），所以不夠減。請回憶一下小學(xué)算術(shù)，如果被減數(shù)的某一位小于減數(shù)，我們怎么辦？很簡單，問上一位借1就可以了。
1 0 0 0 0 0 0 0 0
- 0 0 0 0 1 0 0 0
－－－－－－－－－－－
1 1 1 1 1 0 0 0
進(jìn)一步觀察，可以發(fā)現(xiàn)1 0000 0000 = 1111 1111 + 1，所以上面的式子可以拆成兩個(gè)：
1 1 1 1 1 1 1 1
- 0 0 0 0 1 0 0 0
－－－－－－－－－－－各位取反
1 1 1 1 0 1 1 1
+ 0 0 0 0 0 0 0 1
－－－－－－－－－－－加1
1 1 1 1 1 0 0 0
以上就是-8的補(bǔ)碼的轉(zhuǎn)換過程。
因此負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼也可以表示為：
1111 1111 + 1 - 負(fù)數(shù)的絕對值
用補(bǔ)碼的方式將減法轉(zhuǎn)換為加法的正確性驗(yàn)證
已知：X、Y都為正整數(shù)，Z = X - Y = X + (-Y)
證明：Z = X的補(bǔ)碼 + (-Y的補(bǔ)碼)
X的補(bǔ)碼 = X; // 正數(shù)的補(bǔ)碼為其自身
-Y的補(bǔ)碼 = (1111 1111 - Y) + 1; // 負(fù)數(shù)的補(bǔ)碼為除符號(hào)位的其它位取反加1
Z = X的補(bǔ)碼 + (-Y的補(bǔ)碼)
= X + (1111 1111 - Y) + 1
= X - Y + 1 0000 0000
= X - Y + 0000 0000
= X - Y
// 1 0000 0000就相當(dāng)于0000 0000（舍去了最高位）
這就證明了，在正常的加法規(guī)則下，可以利用2的補(bǔ)碼得到正數(shù)與負(fù)數(shù)相加的正確結(jié)果。換言之，計(jì)算機(jī)只要部署加法電路和補(bǔ)碼電路，就可以完成所有整數(shù)的加法。
4、補(bǔ)碼表示的溢出問題
同號(hào)數(shù)相加如果結(jié)果的符號(hào)位和兩加數(shù)不同，既是溢出。
例如8bit的byte類型的表示范圍為[-128，+127]，那么+128、+129、-129、-130等超出范圍的數(shù)該怎么表示呢？
// 超上限 溢出
+128 = 127 + 1 = [0111 1111]補(bǔ) + [0000 0001]補(bǔ) = [1000 0000]補(bǔ) = -128
+129 = 127 + 2 = [0111 1111]補(bǔ) + [0000 0010]補(bǔ) = [1000 0001]補(bǔ) = [1111 1111]原 = -127
// 超下限 溢出
-129 = -128 + (-1) = [1000 0000]補(bǔ) + [1111 1111]補(bǔ) = [0111 1111]補(bǔ) = 127
-130 = -128 + (-2) = [1000 0000]補(bǔ) + [1111 1110]補(bǔ) = [0111 1110]補(bǔ) = 126
通過上述計(jì)算我們可以看出，對于8bit的數(shù)據(jù)(一共2^8 = 256個(gè))：
- 超上限的數(shù) x = x - 256；
- 超下限的數(shù) x = x + 256；
- 下限的相反數(shù)與下限相等；
- 上限的相反數(shù)是上限直接取負(fù)值。
證明舉例如下：
byte a = -128, b = (byte) 128, c = (byte) 129, d = (byte) 130;
byte e = (byte) -129, f = (byte) -130;
System.out.println(a == ((byte)-a)); // true
System.out.println(b); // -128
System.out.println(c); // -127
System.out.println(d); // -126
System.out.println(e); // 127
System.out.println(f); // 126
5、符號(hào)擴(kuò)展與多重轉(zhuǎn)型
下面的代碼的輸出是什么？能看懂結(jié)果么？
byte b = -1;
System.out.println((int)(char)b); // 65535
我們先來聊聊符號(hào)擴(kuò)展（Sign Extension）
符號(hào)擴(kuò)展用于在數(shù)值類型轉(zhuǎn)換時(shí)擴(kuò)展二進(jìn)制位的長度，以保證轉(zhuǎn)換后的數(shù)值和原數(shù)值的符號(hào)（正或負(fù)）和大小相同，一般用于較窄的類型（如byte）向較寬的類型（如int）轉(zhuǎn)換。擴(kuò)展二進(jìn)制位長度指的是，在原數(shù)值的二進(jìn)制位左邊補(bǔ)齊若干個(gè)符號(hào)位（0表示正，1表示負(fù)）
Java中整型字面量種類
- 十進(jìn)制方式，直接書寫十進(jìn)制數(shù)字
- 八進(jìn)制方式，格式以0打頭，例如012表示十進(jìn)制10
- 十六進(jìn)制方式，格式為0x打頭，例如0xff表示十進(jìn)制255
需要注意的是，在Java中012和0xff返回的都是int型數(shù)據(jù)，即長度是32位。
Java類型轉(zhuǎn)換規(guī)則（出自《Java解惑》一書）
1、如果最初的數(shù)值類型是有符號(hào)的，那么就執(zhí)行符號(hào)擴(kuò)展；
2、char是無符號(hào)類型，不管它要被轉(zhuǎn)換成什么類型，都執(zhí)行零擴(kuò)展;
3、如果目標(biāo)類型的長度小于源類型的長度，則直接截取目標(biāo)類型的長度。例如將int型轉(zhuǎn)換成byte型，直接截取int型的右邊8位。
解析“多重轉(zhuǎn)型”問題
(int)(char)(byte) -1
- int(32位) -> byte(8位)
-1是int型的字面量，編碼結(jié)果為0xffff ffff，即32位全部置1。轉(zhuǎn)換成byte類型時(shí)，直接截取最后8位，所以轉(zhuǎn)換后的結(jié)果為0xff，對應(yīng)的十進(jìn)制值是-1。- byte(8位) -> char(16位)
由于byte是有符號(hào)類型，所以在轉(zhuǎn)換成char型（16位）時(shí)需要進(jìn)行符號(hào)擴(kuò)展，即在0xff左邊連續(xù)補(bǔ)上8個(gè)1（1是0xff的符號(hào)位），結(jié)果是0xffff，對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)是65535(char是無符號(hào)類型)。- char(16位) -> int(32位)
由于char是無符號(hào)類型，轉(zhuǎn)換成int型時(shí)進(jìn)行零擴(kuò)展，即在0xffff左邊連續(xù)補(bǔ)上16個(gè)0，結(jié)果是0x0000 ffff，對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)是65535
6、幾個(gè)轉(zhuǎn)型的例子
先看下面代碼的輸出：
byte b=-1;
System.out.println((int)(char)(b & 0xff)); // 255
1、byte型數(shù)值b -> char型：
char c = (char)(b & 0xff); // 不希望有符號(hào)擴(kuò)展
char c = (char)b; // 希望有符號(hào)擴(kuò)展
- 0xff是int型字面量（0x0000 00ff），(b & 0xff)的結(jié)果是32位的int類型，前24被強(qiáng)制置0，后8位保持不變，然后轉(zhuǎn)換成char型時(shí)，直接截取后16位。這樣不管b是正數(shù)還是負(fù)數(shù)，轉(zhuǎn)換成char時(shí)，都相當(dāng)于是在左邊補(bǔ)上8個(gè)0，即進(jìn)行零擴(kuò)展而不是符號(hào)擴(kuò)展。
- byte類型(8位)的b擴(kuò)展成char型(16位)時(shí)需要進(jìn)行符號(hào)擴(kuò)展。
2、char型數(shù)值c -> int型：
int i = c & 0xffff; // 不希望有符號(hào)擴(kuò)展
int i = (short)c; // 希望有符號(hào)擴(kuò)展
- 0xffff是int型字面量（0x0000 ffff），所以在進(jìn)行&操作之前，編譯器會(huì)自動(dòng)將c（16位）轉(zhuǎn)型成int型（32位），即在c的二進(jìn)制編碼前添加16個(gè)0，然后再和0xffff進(jìn)行&操作，所表達(dá)的意圖是強(qiáng)制將前16位置0，后16位保持不變。
- 首先將c轉(zhuǎn)換成short類型，它和char是 等寬度的，并且是有符號(hào)類型，再將short類型轉(zhuǎn)換成int類型時(shí)，會(huì)自動(dòng)進(jìn)行符號(hào)擴(kuò)展，即如果short為負(fù)數(shù)，則在左邊補(bǔ)上16個(gè)1，否則補(bǔ)上16個(gè)0。
最后，介紹一種簡單的 2的補(bǔ)碼對應(yīng)十進(jìn)制數(shù) 的記憶方式：
0000 0000 = 0
那么在 0 的基礎(chǔ)上 -1 就是（想象成借位減法）：
1111 1111 = -1
以此類推：
1111 1110 = -2
1111 1101 = -3
...
