我與所教的同學(xué)，有時(shí)會(huì)有很認(rèn)真的郵件往來。我忍不住會(huì)解釋自己的一些想法，事后看來，往往還是真誠(chéng)而深入的表達(dá)。我打算，把這些不定期的拿出來，作為自己的一個(gè)見證。有些想法和做法，也許我會(huì)改變，那也很好，說明我還有可塑性，哈哈。
2018-2019學(xué)年的第二學(xué)期（夏季），我教了北大城環(huán)、心理幾個(gè)院系的“高數(shù)C"。通常，這是一門要求不太高的課，并不指望學(xué)生在數(shù)學(xué)上深入理解。而我異想天開，想嘗試聞名已久的”學(xué)思達(dá)“模式（一種翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)模式），雖然學(xué)藝不精，沒好意思用這個(gè)名頭，很多設(shè)計(jì)是取法于此。實(shí)際效果比較尷尬，甚至可以說是失敗的。為此我也很長(zhǎng)時(shí)間沒有勇氣去認(rèn)真回顧。
昨晚一位同學(xué)的來信，又讓我重拾舊夢(mèng)，看到我當(dāng)時(shí)的熱情和價(jià)值觀，現(xiàn)在也一樣沒變。
下面的郵件1，是去年他最早給我的郵件，郵件2是我當(dāng)時(shí)的回復(fù)，郵件3是昨天他的來信。
-----郵件1-----
發(fā)件人:xxx@pku.edu.cn
發(fā)送時(shí)間:2019-04-04 22:37:12 (星期四)
收件人: 馬翔@math.pku.edu.cn
馬翔老師：
? 您好！
? 這封郵件還是提供一些反饋吧，如果措辭有不合適的地方還請(qǐng)您見諒。
個(gè)人認(rèn)為小測(cè)的題目出得非常好，合乎高數(shù)C的課程要求（雖然沒考幾分...）。沒太大意義的是畫二元函數(shù)的草圖，這種事情應(yīng)該交給機(jī)器做吧...一般人很難畫出立體感...好多同學(xué)說考這個(gè)題想退課（笑）...另外賦分不太合理，后面做x,y到u,v的變換，思維和運(yùn)算難度都比前面大，賦分過少了吧。最后附加的5分講起來有點(diǎn)莫名其妙，按時(shí)交卷本來就是考生的義務(wù)，高考中要是敲鐘后不立刻停筆就會(huì)被判作弊。為此加分恐怕不是一個(gè)正當(dāng)?shù)睦碛?，并且還把義務(wù)色彩給淡化了。
第14次的課件是14次里最有指導(dǎo)價(jià)值的...講完概念還是加一些題比較好。我是習(xí)慣把書上習(xí)題都做出來，上學(xué)期還用藍(lán)色的《高等數(shù)學(xué)解題指南》。但是有些同學(xué)只會(huì)做老師布置的，老師要是不布置，等于放任自流，對(duì)他們是不利的。
? 我在黑板上求圓的體積，然后您在下面批注圓盤disk和圓周邊緣circle。我記得然后特地查了一下，圓直接定義為平面上的點(diǎn)集，circle可以直接翻譯為圓，而disk沒有普遍統(tǒng)一的譯法，包括圓盤、圓面等等。
四是關(guān)于體積V=Sh的爭(zhēng)論。大部分內(nèi)容我都沒聽懂。體積的概念怎樣被發(fā)現(xiàn)、提出和定義，最好的理解應(yīng)該從數(shù)學(xué)史中尋找，比如Carl.B.Boyer的A History of Mathematics中譯版（只看了一點(diǎn)）。我想歐幾里得提出公理化方法就是把一些東西統(tǒng)一定義了，不必爭(zhēng)論。在wikipedia上查到的volume直接定義為三重積分。爭(zhēng)論什么面積具有的性質(zhì)顛倒順序了，面積一經(jīng)定義才能具有特定性質(zhì)。
? 感覺您是真的在教我們做學(xué)問。北大正因?yàn)檫@種精神才能延續(xù)下去。課程要按學(xué)生的能力和需求來做，求知求真是要貫穿始終的。
? 此致
敬禮！
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?18級(jí)城市與環(huán)境學(xué)院 xxx
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發(fā)件人:馬翔@math.pku.edu.cn
發(fā)送時(shí)間:2019-04-06 22:32:18 (星期六)
收件人: xxx@pku.edu.cn
xxx：你好。
非常感謝你詳盡的表達(dá)意見，如此坦誠(chéng)，令我感動(dòng)。我在微信群中轉(zhuǎn)發(fā)了你的郵件內(nèi)容，給了回復(fù)，附在下面，請(qǐng)看。謝謝。
馬翔
非常欣賞這位同學(xué)的直言不諱。下面我說說我的想法。有言在先：各位可以不同意我的看法；而我作為一位教師、一位有經(jīng)驗(yàn)的長(zhǎng)輩，依然愿意分享自己的偏見，對(duì)你們或許多少有一些啟發(fā)，至少是一種高質(zhì)量的“偏見”。
（一）關(guān)于畫圖這件事，當(dāng)然可以交給機(jī)器做......很多事情都可以交給機(jī)器做......那么我們需要學(xué)什么東西，才不至于輕易被機(jī)器代替呢？畫圖，其實(shí)就是這樣一件事，其中整合了我們對(duì)一個(gè)東西的核心理解和呈現(xiàn)方式。高質(zhì)量的草圖，類似于傳神的漫畫，不是相機(jī)或電腦可以代替的噢。（不過我課上指導(dǎo)得似乎還很不到位，周一課上我愿意再示范一次。）
（二）關(guān)于最后的5分題，也許有些同學(xué)覺得搞笑。實(shí)際情況是：以往我教課時(shí)每次考試，都有同學(xué)會(huì)拖延，很多人都會(huì)有意無意拖拉一下，導(dǎo)致交卷時(shí)的場(chǎng)面不太可控，而我也不喜歡當(dāng)警察在一邊催促和監(jiān)督的感覺。于是我想從“制度/規(guī)則設(shè)計(jì)”上入手。實(shí)際效果很好，大家在45秒之內(nèi)飛快交完，也沒有同學(xué)有爭(zhēng)議（最后有兩人卡著60秒交的卷，我可以理解）。其實(shí)，看成是滿分95的考試就好了；至于那5分背后的想法，不妨先擱著不多解釋，也許這位同學(xué)將來的見解又會(huì)有所不同。歸根結(jié)底，如何設(shè)計(jì)制度來應(yīng)對(duì)人性，是社會(huì)科學(xué)的一個(gè)核心問題。我對(duì)此有所學(xué)習(xí)和思考，這次的設(shè)計(jì)算是一個(gè)小嘗試。有興趣探討的同學(xué)，可以再聊，或者研究一下經(jīng)濟(jì)學(xué)、心理學(xué)、管理學(xué)等方面的東西。
（三）關(guān)于試題賦分，如果有人認(rèn)為“難題就應(yīng)該分值高”，至少我不同意這可以作為一條“公理”。實(shí)際上，賦分是一件很實(shí)際的事，我關(guān)心更多的是區(qū)分度以及激勵(lì)效果。
（四）“爭(zhēng)論什么面積具有的性質(zhì)顛倒順序了，面積一經(jīng)定義才能具有特定性質(zhì)”，這是一種象牙之塔的做學(xué)問方式，恰恰不是我想教給你們的，也不是你們將來發(fā)揮學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)造能力的有效思維模式。在我看來，“面積”等等東西，是一種日常概念，有經(jīng)驗(yàn)基礎(chǔ)；數(shù)學(xué)家做的不是脫離常識(shí)，而是從常識(shí)中提煉出其“實(shí)質(zhì)”，并以此給出定義。也就是說，不存在“先驗(yàn)”的定義，而只有后天理性再造的定義，而且需要接受各種檢驗(yàn)。我認(rèn)為，這是高數(shù)課程應(yīng)該幫助大家建立的一種核心思維方式，就是“數(shù)學(xué)建模”。所建模型，必須合乎我關(guān)心的問題情境，抓住其中的核心要素，并能夠給出合理的應(yīng)用結(jié)果（這里的應(yīng)用，含義可能是比較廣泛的）。
很高興這位同學(xué)課后會(huì)去查閱維基百科，作為參考資料，那是很有價(jià)值的。不過，這不等于我們的腦子就要成為這種“百科全書”的跑馬場(chǎng)。如果那樣，等于認(rèn)為，學(xué)習(xí)就是輸入過程，就是填鴨；那樣的話，我們確實(shí)可以被電腦代替。鮮活的學(xué)習(xí)，恰好是追根究底、回顧日常經(jīng)驗(yàn)、有意重建直覺、自覺考慮應(yīng)用情境，并與其它概念和經(jīng)驗(yàn)相聯(lián)系。
此外，我覺得上周三課上發(fā)生的，似乎不該稱之為“爭(zhēng)論”，只是大家在嘗試表述自己對(duì)面積和體積概念的理解，絕大部分時(shí)候，并沒有矛盾，只是抓住的要點(diǎn)或側(cè)面不同而已。
很感謝這位同學(xué)對(duì)我的肯定。其實(shí)我想分享的不只是“做學(xué)問”，還有做自覺的“（終身）學(xué)習(xí)者”，做一個(gè)把學(xué)習(xí)與生活打通的人。理念需要從生命的源泉里汲取營(yíng)養(yǎng)，又用理性之光把世界照亮。數(shù)學(xué)是可以這樣來學(xué)的！
---------郵件3-----------
發(fā)件人:xxx@pku.edu.cn
發(fā)送時(shí)間:2020-01-13 14:07:33 (星期一)
收件人: 馬翔@math.pku.edu.cn
主題: Re: Re: 20190404
馬老師：
? ? 翻看郵件的時(shí)候偶然看到這封，我突然對(duì)上次面積的問題有了不同的認(rèn)識(shí)。一直以來我對(duì)數(shù)學(xué)的愿望就是使用，只要承認(rèn)定義使用結(jié)論便好。所以盡管我知道抽象定義在生活中必然有其具體來源，但是當(dāng)時(shí)我并不關(guān)心。但是要學(xué)到數(shù)學(xué)的精髓乃至本質(zhì)，關(guān)于怎么抽象（或者說建模），我覺得您的這種引導(dǎo)和討論、整個(gè)建模過程，確有必要，極具啟發(fā)，數(shù)院的專業(yè)課采取這種形式應(yīng)該是很有意義的，但是單純從高數(shù)C來說，可能超出課程的要求，也可能超出同學(xué)的理解能力。
? ? and一件非常神奇的事，上學(xué)期的助教姐姐這學(xué)期居然是我們線代C的助教，真真真真巧...
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?18級(jí)城市與環(huán)境學(xué)院 xxx
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作一點(diǎn)說明：我當(dāng)時(shí)為了讓同學(xué)在考試完及時(shí)交卷，“搞笑”般地設(shè)計(jì)了一個(gè)5分題，要求學(xué)生在交卷時(shí)間到時(shí)后的一分鐘內(nèi)交卷，不然判罰5分。實(shí)際效果很好，不過還是有人不以為然（也許包括你）。
再補(bǔ)充一點(diǎn)：有時(shí)，自己陳義過高，實(shí)際又做不到。例如，回到知識(shí)的鮮活源頭，是自己頭腦中追求的理念?？蓪?shí)際做來，仍往往囿于慣有的教科書模式和套路，不能轉(zhuǎn)換為“兒童視角”“學(xué)生視角”“心理學(xué)視角”；課堂和考試的思路和出題，會(huì)有很多慣性。好吧，接受我自己的局限性，我仍在繼續(xù)努力。
