1.基本表示

列向量：粗體符號如x總是表示列向量，其轉(zhuǎn)置表示行向量。

歐氏空間： ${IR}^N$ ， $N$ 為維度。

射影空間： ${IP}^N$ ， $N$ 為維度。

2D射影空間與歐氏空間關(guān)系： ${IR}^3-{(0,0,0)}^T\iff {IP}^2$

2.2D射影平面

1）點與直線

點的表示： $\boldsymbol{x}={(x_1,x_2,x_3)}^T$

直線的表示： $\boldsymbol{l}={(l_1,l_2,l_3)}^T$

結(jié)論1：點 $x$ 在直線 $l$ 上當(dāng)且僅當(dāng) $x^Tl=0$

結(jié)論2：兩直線 $l$ 和 $l′$ 的交點是 $x=l\times l′$

結(jié)論3：過兩點 $x$ 和 $x′$ 的直線是 $l=x\times x′$

2）理想點與無窮遠(yuǎn)線

理想點： $x_3=0$ 的點，可寫成 $x={(x_1,x_2,0)}^T$

無窮遠(yuǎn)線：理想點的集合，直線方程為 $l={(0,0,1)}^T$

對偶原理：2d射影幾何中的任何定理，互換定理中的點和線的位置，新的結(jié)論依然成立。

3） ${IP}^2$ 中的點和直線在 ${IR}^3$ 中的繪制

點：過原點的射線（不包括原點）

直線：過原點的平面（不包括原點）

4）二次曲線與對偶二次曲線

二次曲線的表示形式

a.二階多項式

? ?????????????? $ax_1^2+bx_1x_2+cx_2^2+dx_1x_3+ex_2x_3+fx_3^2=0$

b.矩陣

? ?????????????? $\boldsymbol{x}^T\boldsymbol{C}\boldsymbol{x}=0$

其中：

? ?????????????? $\boldsymbol{C}= \left[ \begin{matrix} a&b/2&d/2 \\ b/2&c&e/2\\d/2&e/2&f \end{matrix} \right]$

二次曲線的求解（五點法）

? ?????????????? $\left[ \begin{matrix} x_1^2&x_1y_1&y_1^2&x_1&y_1&1 \\ x_2^2&x_y2_2&y_2^2&x_2&y_2&1 \\ x_3^2&x_3y_1&y_3^2&x_3&y_3&1 \\ x_4^2&x_4y_1&y_4^2&x_4&y_4&1 \\ x_5^2&x_5y_1&y_5^2&x_5&y_5&1 \\ \end{matrix} \right]\boldsymbol{c}=0$

其中， $\boldsymbol{c}={(a,b,c,d,e,f)}^T$ ，稱二次曲線時我們可以直接說二次曲線 $\boldsymbol{C}$ 或者二次曲線 $\boldsymbol{c}$

二次曲線的切線

結(jié)論4：與二次曲線 $\boldsymbol{C}$ 相切于點 $\boldsymbol{x}$ 的直線 $\boldsymbol{l}$ 由 $\boldsymbol{l}=\boldsymbol{C}\boldsymbol{x}$ 確定

對偶二次曲線

上面定義的二次曲線是通過二次曲線上的點來定義的，我們也可以使用二次曲線上的切線來定義二次曲線，記為：

? ?????????????? $\boldsymbol{l^TC^*l}=0$

退化二次曲線

非滿秩矩陣 $C$ 所定義的二次曲線稱為退化二次曲線，退化的點二次曲線包含兩條線（秩2）或一條重線（秩1）

3.射影變換

射影映射是 ${IP}^2$ 到它自身的一種滿足下列條件的可逆映射 $h:$ 三點 $x_1,x_2,x_3$ 共線當(dāng)且僅當(dāng)

$h(x_1),h(x_2),h(x_3)$ 也共線。映射 $h:IP^2\rightarrow IP^2$ 是射影映射的充要條件是：存在一個

$3\times 3$ 非奇異矩陣（行列式不為零） $H$ ，使得 $IP^2$ 的任何一個用矢量 $x$ 表示的點都滿足

$x′=h(x)=Hx$

舉個栗子：消除平面透視圖像的射影失真

1）直線與二次曲線的變換

在點變換 $x′=Hx$ 下

直線的變換： $l′=H^{-T}l$

二次曲線的變換： $C′=H^{-T}CH^{-1}$

對偶二次曲線的變換： $C^*′=HC^*H^T$

4.變換的層次

1）等距變換

變換方程：

? ?????????????? $\left[ \begin{matrix} x′\\ y′\\1 \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} \varepsilon \cos \theta &-\sin \theta &t_x \\ \varepsilon \sin \theta &\cos \theta &t_y\\0&0&1 \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} x\\ y\\1 \end{matrix} \right]$

分塊形式：

? ??????????????? $x′=H_Ex=\left[ \begin{matrix} R&t\\ 0^T&1 \end{matrix} \right]x$

其中 $\varepsilon =\pm 1$ ， $\varepsilon =1$ 為保向變換， $\varepsilon =-1$ 稱為逆向變換， $R$ 為 $2\times 2$ 旋轉(zhuǎn)矩陣，滿足正交

性（ $RR^T=R^TR=I$ ）， $t$ 是二維平移向量。

不變量：長度、角度、面積。

群和定向：保向的等距變換形成一個群，逆向的等距變換沒有該性質(zhì)。

2）相似變換

變換方程：

? ?????????????? $\left[ \begin{matrix} x′\\ y′\\1 \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} s\cos \theta &-s\sin \theta &t_x \\ s \sin \theta &s\cos\theta &t_y\\0&0&1 \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} x\\ y\\1 \end{matrix} \right]$

分塊形式：

? ?????????????? $x′=H_Sx=\left[ \begin{matrix} sR&t\\ 0^T&1 \end{matrix} \right]x$

不變量：直線夾角、線段長度比、面積比。

度量結(jié)構(gòu)：確定到只差一個相似變換的結(jié)構(gòu)，第九章將繼續(xù)討論重構(gòu)。

3）仿射變換

變換方程：

? ?????????????? $\left[ \begin{matrix} x′\\ y′\\1 \end{matrix} \right]= \left[ \begin{matrix} a_{11} &a_{12} &t_x \\ a_{21} &a_{22} &t_y\\0&0&1 \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} x\\ y\\1 \end{matrix} \right]$

分塊形式：

? ?????????????? $x′=H_Ax=\left[ \begin{matrix} A&t\\ 0^T&1 \end{matrix} \right]x$

其中 $A$ 是非奇異矩陣，可以由 $SVD$ 進(jìn)一步分解：

? ?????????????? $A=UDV^T=(UV^T)(VDV^T)=R(\theta )(R(-\phi )DR(\phi ))$

? ?????????????? $D=\left[ \begin{matrix} \lambda _1&0\\ 0&\lambda _2 \end{matrix} \right]$

式中 $D$ 是對角陣， $U,V$ 是正交矩陣（ $UU^T=U^TU=VV^T=V^TV=I$ ）。仿射矩陣

$A$ 被看成是對原物體旋轉(zhuǎn) $\phi$ ，然后對物體的在 $x$ 和 $y$ 方向分別縮放 $\lambda _1,\lambda _2$ 倍，然后再旋轉(zhuǎn) $-\phi$ 。

（以上操作相當(dāng)在物體 $\phi$ 方向?qū)ξ矬w縮放 $\lambda _1$ 倍，在垂直于 $\phi$ 的方向縮放 $\lambda _2$ 倍），最后對物體執(zhí)

行一個角度 $\theta$ 的旋轉(zhuǎn)。

不變量：平行線，平行線段的長度比，面積比

4）射影變換

分塊形式：

? ?????????????? $x′=H_Ax=\left[ \begin{matrix} A&t\\ v^T&n \end{matrix} \right]x$

不變量：四個共線點的交比

補(bǔ)充：射影變換與仿射變換的本質(zhì)區(qū)別為射影變換中的 $v$ 不是零，因此變換是非線性的。比如仿射變換作用于理想點，結(jié)果仍為理想點，而射影變換則將理想點變換為有限點。

射影變換的分解：

? ?????????????? $H=H_SH_AH_P=\left[ \begin{matrix} sR&t\\ 0^T&1 \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} K&0\\ 0^T&1 \end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix} I&0\\ v^T&n \end{matrix} \right]$

其中 $K$ 是滿足 $detK=1$ 的歸一化上三角矩陣。如果 $v\neq 0$ ，上述分解是有效的，如果 $s$ 為正，則分解唯一。

5.1D射影幾何

直線上的點用齊次坐標(biāo)表示為 $\bar{x} =(x_1,x_2)^T$ 表示， $x_2=0$ 的點稱為理想點。

交比? ? 交比是 $IP^1$ 的基本射影不變量，給定4個點，交比的定義為

? ?????????????? $Cross(\bar{x} _1,\bar{x} _2,\bar{x} _3,\bar{x} _4)=\frac{\vert \bar{x} _1\bar{x} _2 \vert \vert \bar{x} _3\bar{x} _4 \vert }{\vert \bar{x} _1\bar{x} _3\vert \vert \bar{x} _2\bar{x} _4 \vert }$

其中：

? ?????????????? $\vert \bar{x} _i\bar{x}_j \vert =det\left[ \begin{matrix} x_{i1}&x_{j1}\\ x_{i2}&x_{j2} \end{matrix} \right]$

共點線? ? 共點線是直線上共線點的對偶，任何四條共點線都有一個確定的交比

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2D射影幾何與變換

2D射影幾何與變換

1.基本表示

2.2D射影平面

1）點與直線

2）理想點與無窮遠(yuǎn)線

3） ${IP}^2$ 中的點和直線在 ${IR}^3$ 中的繪制