世界真的很奇妙,有些事情因?yàn)橹R(shí)的問(wèn)題,你無(wú)法解釋,但還有一些,你了解它的一切,卻也無(wú)法解釋它。

你能知道多少邏輯的錯(cuò)誤？

我們來(lái)看這樣一個(gè)故事,當(dāng)一個(gè)物體行進(jìn)一段距離到達(dá)D，它必須先到達(dá)距離D的二分之一?,然后是四分之一 、八分之一?、十六分之一、可以一直這樣無(wú)窮地劃分下去……那么？我是不是可以說(shuō),這個(gè)物體永遠(yuǎn)也到達(dá)不了D。您覺(jué)得呢?

這個(gè)問(wèn)題由芝諾提出的,這就是世界上非常出名的芝諾悖論(Zeno's?Paradoxes)“芝諾?(Zeno?of?Elea),約公元前490年于意大利半島南部的埃利亞,古希臘數(shù)學(xué)家"。

那么,我們回到問(wèn)題,如何解釋呢?當(dāng)時(shí),就出現(xiàn)了一種所謂的芝諾困境,?在哲學(xué)上,這種觀點(diǎn)認(rèn)為，對(duì)一段有限的時(shí)空距離的無(wú)限分割可以最終完成,雖則沒(méi)有最后的終點(diǎn)，但在總體上，卻可以看成這個(gè)分割已經(jīng)完成了。這種觀點(diǎn)在哲學(xué)上叫作實(shí)無(wú)限的觀點(diǎn)。因?yàn)闊o(wú)限分割已經(jīng)完成,，所以物走過(guò)了所有的中點(diǎn)到達(dá)了終點(diǎn)。?另一種觀點(diǎn)則認(rèn)為，由于不存在最后一個(gè)終點(diǎn)，所以這種無(wú)限分割不能最后完成，它是一個(gè)永無(wú)止境的過(guò)程。這種觀點(diǎn)叫作潛無(wú)窮。因?yàn)闆](méi)有最后一個(gè)中點(diǎn)，所以物不能到達(dá)終點(diǎn)。簡(jiǎn)單地說(shuō)，如果時(shí)空的無(wú)限可分是實(shí)無(wú)限，物能到達(dá)終點(diǎn)。如果時(shí)空的有限可分是潛無(wú)限，物不能到達(dá)終點(diǎn)。

然后,這悖論在數(shù)學(xué)上看，錯(cuò)誤的原因是誤用最小元原理。因?yàn)樗炎钚≡??非空集合具有最小的元素)強(qiáng)加到實(shí)數(shù)集合上了，這原理對(duì)于正整數(shù)集合是成立的，但對(duì)實(shí)數(shù)集合不成立。例如：并不存在最小的正數(shù)。本來(lái)就不存在最先到達(dá)的那一點(diǎn)(因?yàn)闆](méi)有最小的正數(shù))，這個(gè)看似違背常識(shí)，但是”存在最先到達(dá)的那個(gè)點(diǎn)”這個(gè)常識(shí)是錯(cuò)誤的。我們現(xiàn)實(shí)中,?遇到的常常是正整數(shù)情形，這種情形的性質(zhì)并不能隨意推算到正實(shí)數(shù)情形。

物理上不存在無(wú)窮小概念,物理學(xué)研究的是客觀世界,客觀世界不存在“無(wú)窮小”的度量,?無(wú)論是時(shí)間、空間、質(zhì)量、電量、力、能量,都不存在?“無(wú)窮小”只有“最小?”。

所以，這個(gè)悖論的產(chǎn)生，就是把“無(wú)窮?”或“連續(xù)性”假設(shè)，應(yīng)用到了并不存在”無(wú)窮小“并不連續(xù)的實(shí)際物理問(wèn)題中時(shí)所出現(xiàn)的偏差。這個(gè)悖論的實(shí)質(zhì)就是錯(cuò)誤地使用了數(shù)學(xué)工具。

對(duì)， 我們就聊有趣的侼論

悖論(Paradox),是表面上同一命題或推理中隱含著兩個(gè)對(duì)立的結(jié)論,?這兩個(gè)結(jié)論都能自圓其說(shuō)。

悖論的抽象公式就是：如果事件A發(fā)生，則推導(dǎo)出非A，非A發(fā)生則推導(dǎo)出A。

悖論是命題或推理中隱含的思維的不同層次意義(內(nèi)容)和表達(dá)方式(形式)、主觀和客觀、主體和客體、事實(shí)和價(jià)值的混淆,是思維內(nèi)容與思維形式、思維主體與思維客體、思維層次與思維對(duì)象的不對(duì)稱,是思維結(jié)構(gòu)、邏輯結(jié)構(gòu)的不對(duì)稱。悖論根源于知性認(rèn)識(shí)、知性邏輯(傳統(tǒng)邏輯)、矛盾邏輯的局限性。產(chǎn)生悖論的根本原因是把傳統(tǒng)邏輯形式化、把傳統(tǒng)邏輯普適性絕對(duì)化。悖論主要有邏輯悖論、概率悖論、幾何悖論、統(tǒng)計(jì)悖論和時(shí)間悖論等。

悖論有多大的影響?羅素的悖論以其簡(jiǎn)單明確震動(dòng)了整個(gè)數(shù)學(xué)界,造成第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。那您覺(jué)得,影響力如何呢?既然我們都提到了偉大的數(shù)學(xué)家,羅素,提到了那著名的羅素悖論,那我們何不來(lái)聊聊呢?

伯特蘭·羅素(Bertrand?Russell,1872—1970),出?在威爾。 作家、哲學(xué)家、數(shù)理邏輯學(xué)家,1950諾貝爾文學(xué)獎(jiǎng)得主。

好，我們來(lái)看這個(gè)問(wèn)題。在某個(gè)城市中有一位理發(fā)師，他的廣告詞是這樣寫的:“本人的理發(fā)技藝十分高超,譽(yù)滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉,我也只給這些人刮臉。我對(duì)各位表示熱誠(chéng)歡迎!”來(lái)找他刮臉的人絡(luò)繹不絕,，自然都是那些不給自己刮臉的人?？墒?有一天,這位理發(fā)師從鏡子中看見(jiàn)自己的胡子 長(zhǎng)了,他本能地抓起了剃刀 ,你們看他能不能給他自己刮臉呢?

我們先來(lái)分析下這個(gè)問(wèn)題，如果他不給自己刮臉，他就屬于“不給自己刮臉的人?”,他就要給自己刮臉,?如果他給自己刮臉呢?他又屬于“給自己刮臉的人?”,他就不該給自己刮臉。如此矛盾！

那么從這個(gè)問(wèn)題,我們就看到了如果把每個(gè)人看成一個(gè)集合,?這個(gè)集合的元素被定義成這個(gè)人刮臉的對(duì)象。那么，理發(fā)師宣稱，他的元素都是城里不屬于自身的那些集合,并且城里所有不屬于自身的集合都屬于他。那么他是否屬于他自己?這樣就由理發(fā)師悖論得到了羅素悖論。反過(guò)來(lái)的變換也是成立的。

這樣一個(gè)問(wèn)題,打破了什么??十九世紀(jì)下半葉,德國(guó)數(shù)學(xué)家康托爾創(chuàng)立了著名的集合論，而集合論成為了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基石。然而1903年，這個(gè)悖論的提出,說(shuō)明了集合論是有漏洞的。在德國(guó)的著名邏輯學(xué)家弗雷格在他的關(guān)于集合論的基礎(chǔ)理論完稿付印時(shí),?收到了羅素關(guān)于這一悖論的信。他立刻發(fā)現(xiàn),?自己忙了很久得出的一系列結(jié)果卻被這條悖論攪得一團(tuán)糟。他只能在自己著作的末尾寫道:“?一個(gè)科學(xué)家所碰到的最倒霉的事,莫過(guò)于是在他的工作即將完成時(shí)卻發(fā)現(xiàn)所做的工作的基礎(chǔ)崩潰了。”所以，就發(fā)生了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。

然而公理化集合論的建立,成功排除了集合論中出現(xiàn)的悖論,從而較圓滿地解決了第三次數(shù)學(xué)危機(jī)。至于以上的集合論、公理化集合論、數(shù)學(xué)危機(jī)，我們就不具體研討了,?而解決方案,?大家也可以自己去深入了解。

本文作者：Garfield，現(xiàn)任職于點(diǎn)融技術(shù)部Social團(tuán)隊(duì)，游戲引擎 tyo Engine 及 tyo Engine Revolution作者，對(duì)尖端渲染技術(shù)擁有濃厚興趣，曾就職于多家游戲大廠參與游戲引擎研發(fā)相關(guān)工作。