信號與系統(tǒng)部分

一、計算（15分，每小題5分）
$1. \quad A=\{u(n)-u(n-2)\} *\{\delta (n) - \delta (n-1)\}$
$2. \quad B=\int _{-100}^{100}\sin (t) \delta (\cos (t)) dt$
$3. \quad$ 已知 $\mathscr{F}[x(t)]=X(jw)$ ，計算 $C=\mathscr{F}[x(t+T)+x(-t-T)]$

二、已知某系統(tǒng)的沖激響應(yīng)為：（15分）
$h(t)=(e^{-2t} - e^{-3t})u(t)$
寫出該系統(tǒng)的微分算子形式和微分方程。

三、題3圖中， $i_e(t)=\delta(t)$ ， $R=10 \Omega$ ， $C=0.1F$ ， $L=10H$ ，求： $i_C(t)$ 和 $i_L(t)$ 。（15分）

四、已知： $X(z)=ln(1-2z),\quad |z|<\frac{1}{2}$ 。求 $x(n)$ 。（15分）

五、題5圖所示系統(tǒng)：（15分）
（1）寫出該系統(tǒng)差分方程。
（2）求該系統(tǒng)單位函數(shù) $\delta(n)$ 響應(yīng)。

數(shù)字信號處理部分

1.（18分＝2×9）填空：

(1) 兩個有限長序列為，。
- 計算線性卷積 $x(n)* h(n)＝\{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad } \}$
- 計算6點的圓周卷積 $x(n)\quad ⑥\quad h(n)＝\{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad } \}$
- 計算8點的圓周卷積 $x(n)\quad ⑧\quad h(n)＝\{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad } \}$
(2) 設(shè)長度為 $N$ 的序列 $x(n)$ 的傅里葉變換為 $X(e)$ ，定義一個新序列
$\begin{equation} y(n)=\left\{ \begin{array}{ll} x(n)， & n為偶數(shù) \\ 0， & n為奇數(shù) \end{array}\right. \end{equation}$ 則 $Y(e^{jw})＝DTFT[y(n)]=\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad }$ .
(3) 一個長度為 $8$ 的序列 $x(n)$ 在 $0\leq n \leq7$ 之外為零，其 $8$ 點的 $DFT$ 為
$X(k)=1-4\sin(\frac{2\pi k}{8})+3\sin(\frac{4\pi k}{8})+2\cos(\frac{6\pi k}{8})$
則 $x(n)＝\{\underline{\qquad \qquad \qquad \qquad } \}$ .
(4) 已知 $LTI$ 系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為 $H(e^{jw})＝\frac{1+e^{-j3w}}{1+0.5e^{-j6w}}$ ，輸入信號為
$x(n)=\sin(\frac{\pi n}{6}), -\infty < n< \infty$ 。則系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)輸出信號 $y(n)＝\{\underline{\qquad \qquad \qquad } \}$ .
(5) 已知 $x(n)$ 是 $4$ 點的純虛序列，并且已知 $X(k)＝DFT[x(n)]$ 的前 $3$ 個值為: $6j,-2-2j,6j$ ，則 $x(3)＝\{\underline{\qquad \qquad \qquad } \}$ .
(6) 有限長序列 $x(n)=\{2,3,1,4,-3,-1,1,1,0,,6; n=0,1,...,9\}$ ，且有 $10$ 點的 $X(k)=DFT[x(n)]$ 。計算： $X(5)＝\underline{\qquad \qquad \qquad } ，\sum _{k=0}^{9}X(k)＝\underline{\qquad \qquad \qquad }$ .

2.（7分）已知 $\begin{equation} X(k)=\left\{ \begin{array}{ll} 3， & k=0 \\ 1， & 1\leq k \leq 9 \end{array}\right. \end{equation}$ 求其 $10$ 點的 $IDFT$ ，并畫出 $x(n)$ 的波形。

3.（16分）已知離散時間系統(tǒng)函數(shù) $H(z)＝\frac{z^2}{(4-z)(z-0.5)}$
（1）寫出對應(yīng)的差分方程，并畫出直接 $Ⅱ$ 型結(jié)構(gòu)（典范型）流圖。
（2）求所有可能的收斂區(qū)以及對應(yīng)的單位抽樣響應(yīng)，并判斷各個單位抽樣響應(yīng)
所對應(yīng)系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性。

4.（14分）已知兩個序列長度分別為 $5$ 和 $10$ ： $x_1(n)＝R_5(n)$ ，
$\begin{equation} x_2(n)=\left\{ \begin{array}{ll} 1， & 0\leq n \leq 4 \\ 0， & 5\leq n \leq 9 \end{array}\right. \end{equation}$ 且 $X_1(e^{jw})=DTFT[x_1(n)], X_2(e^{jw})＝DTFT[x_2(n)]$ 。
（1）請問 $X_1(e^{jw})$ 和 $X_2(e^{jw})$ 相等嗎？并畫出 $X_2(e^{jw})$ 的幅度頻譜和相位頻譜的大致波形。
（2）計算 $DFT$ ： $5$ 點的 $X_1(k)＝DFT[x_1(n)]$ ， $10$ 點的 $X_2(k)＝DFT[x_2(n)]$ 。
（3）上述 $X_1(k)$ 和 $X_2(k)$ 中有數(shù)值相等的嗎？如有，寫出那些相等的點和數(shù)值。

5.（10分）設(shè)有一 $FIR$ 數(shù)字濾波器，其單位沖激響應(yīng)
$h(n)＝\{2,1,0,-1,-2；n＝0,1,2,3,4\}$ 求:
（1）該系統(tǒng)的頻率響應(yīng) $H(e^{j\omega})$ ；
（2）如果記 $H(e^{j\omega})＝H(\omega)e^{j\varphi(\omega)}$ ，其中 $H(\omega)$ 為幅度函數(shù)（實函數(shù)）， $\varphi(\omega)$ 為相位函數(shù)，試求 $H(\omega)$ 與 $\varphi(\omega)$ ;
（3）該 $FIR$ 系統(tǒng)適合做何種類型的線性相位數(shù)字濾波器？（低通、高通、帶通、帶阻），說明判斷依據(jù)；
（4）畫出該 $FIR$ 系統(tǒng)的線性相位型結(jié)構(gòu)流圖。

6.（10分）
（1）請推導(dǎo)按時間抽選（ $DIT$ ）的基-2 $FFT$ 算法的原理，即通過計算兩個 $N/2$ 點的 $DFT$ ，再組合可計算一個 $N$ 點 $DFT$ 。
（2）已知 $x(n)$ 是 $4$ 點的復(fù)序列， $x(n)＝\{5,-1＋2j,5,-1-2j \}$ ，
且 $X(k)＝DFT[x(n)]$ 。請畫出 $4$ 點按時間抽取的基-2 $FFT$ 蝶形運算流圖來，并直接通過該流圖來計算出 $X(k)$ 的數(shù)值。（要求在流圖上標(biāo)出具體的輸入、中間結(jié)點運算和輸出的數(shù)值。）