一、考前復習

【1/3 題型說明】

單選題 12 道，每道 3 分，共 36 分；
填空題 8 道，每道 3 分，共 24 分；
計算題 6 道，共 40 分。

【2/3 往年真題】

【3/3 知識點總結】

• 振動（上）

• 振動（下）

• 機械波

• 衍射

• 干涉

• 偏振

• 狹義相對論

• 量子物理

三、學習筆記

第九章 振動

• 簡諧振動

① F = -kx
② a = d2x/dt2 = -ω2x
③ x = Acos(ωt+φ)
振幅：A
初相位：φ
周期：T = 2π/ω = 2π√ m/k
頻率：v = 1/T = ω/2π = √k/m 1/2π
彈簧系數(shù) k = mω2
最大速度 v' = Aω
最大加速度 a' = Aω2
ω = √k/m
A = √x?2 + (v?/ω)2
tanφ = -v? / ωx?
v = -ωAsin(ωt+φ)
a = -ω2Acos(ωt+φ)

• 旋轉矢量

A）矢量模等于振幅 A
逆時針方向勻速轉動
角速度等于角頻率 ω
與 Ox 軸的夾角為 φ
在 Ox 軸上的投影為 x = Acos(ωt+φ)
B）相位差 Δφ = φ? - φ?，| Δφ | ≤ π
若 Δφ ＞ 0，則 x? 振動超前 x? 振動
若 Δφ ＜ 0，則 x? 振動超前 x? 振動

• 單擺，復擺

• 簡諧振動的能量

系統(tǒng)動能：Ek = 1/2 mv2 = 1/2 mω2A2sin2(ωt+φ）
彈性勢能：Ep = 1/2 kx2 = 1/2 kA2cos2(ωt+φ）
總能量：E = Ek+Ep = 1/2 mω2A2 = 1/2 kA2

• 簡諧振動的合成

A）兩個同方向同頻率

B）兩個相互垂直同頻率

C）兩個同方向不同頻率
① 拍：頻率大而頻率差小的兩個同方向簡諧振動，其合振動振幅時強時弱的現(xiàn)象

② 合振動方程：x = (2A cos2π(v? - v?)t/2) cos2π(v? + v?)t/2

• 電磁振動

A）振蕩電路，無阻尼電磁振蕩
在只有電容，電感組成的 LC 電路中：
① 電荷和電流、電場和磁場隨時間作周期性變化的現(xiàn)象，叫做電磁振蕩
② 如果電路沒有任何能量耗散，這種電磁振蕩叫做無阻尼電磁振蕩
B）無阻尼電磁振蕩的振蕩方程
q = Q? cos (ωt + φ)
i = -ωQ? sin (ωt + φ) = I? cos (ωt + φ + π/2)
q 為任一時刻極板電荷，i 為任一時刻極板電流，Q? 為電荷振幅，I? 為電流振幅
ωQ? = I?
d2q / dt2 = -q / LC = -qω2
v = ω / 2π = 1 / 2π√ LC
C）無阻尼電磁振蕩的能量
電容器：We = q2 / 2C = Q?2/2C cos2 (ωt + φ)
自感線圈：Wm = Li2 / 2 = LI?2/2 sin2 (ωt + φ)
總能量：W = We +Wm = Q?2/2C = LI?2/2

第十章 波動

• 機械波

A）形成
機械振動在彈性介質 (固體、液體、氣體) 內傳播形成了機械波
B）分類
① 橫波：彈性介質上各部分質元上下振動，方向與機械波垂直的波
固體會產生切變，所以橫波能在固體內傳播
② 縱波：彈性介質上各部分質元左右振動，方向與機械波平行的波
固體、液體、氣體會產生體變，所以縱波能在固體、液體、氣體內傳播
C）概念
波長：沿傳播方向相位差為 2π 的振動質元的距離，即一個波形的長度
周期：前進一個波形所需的時間，用 T 表示
頻率：周期的倒數(shù)，用 v 表示
波速：單位時間內傳播的距離，用 u 表示
① 周期、頻率、能量由波源決定，波速由介質決定
所以同一頻率 / 周期的波，波長由介質決定
② 固體內傳播
橫波：u = √ G/ρ
縱波：u = √ E/ρ = √ K/ρ
G 為切變模量，E 為彈性模量，K 為體積模量，ρ 為密度
③ 波線：傳播方向畫有箭頭的線
波面：不同波線上相位相同處圍成的曲面
波前：波源最初狀態(tài)傳到各點連成的曲面

• 平面簡諧波

波函數(shù)：y = Acos [ ω (t - (x-x?)/u) + φ ]，x? 為距原點距離
正方向：y = Acos (ωt - kx) = Acos2π ( t/T - x/λ )
負方向：y = Acos (ωt + kx) = Acos2π ( t/T + x/λ )
ω = 2π / T
ω / u = 2π / λ
u = λ / T = λ v = ω / k
Δφ = Δt 2π/T = Δx 2π/λ

• 波動能量，能流密度

A）波動能量
波的能量密度 w = ρA2ω2sin2ω (t - x/u)
平均能量密度 w‘ = 1/2 ρA2ω2
B）能流，能流密度
能流 P = wuS
平均能流 P' = w'uS
能流密度 I = P'/S = w'u = 1/2 ρA2ω2u

• 惠更斯原理，波的疊加與干涉

① 波的疊加
a）多個波相遇后仍保持原有特征（頻率、波長、振幅、振動方向）
b）相遇區(qū)域振動為各個波單獨存在時振動位移的矢量和
② 波的干涉
頻率相同、方向平行、相位差恒定的兩列波相遇，
某些地方振動加強，另一些地方振動減弱的現(xiàn)象。

• 駐波

A）駐波產生
駐波是由振幅、頻率、速度都相同的兩列相干波，
在同一直線上沿相反方向傳播時疊加而成的一種特殊形式的干涉現(xiàn)象
B）駐波方程
y = 2A cos(2π x/λ) cos(2π vt)
波節(jié)：與橫坐標的交點，cos(2π x/λ) = 0，即 2π x/λ = (2k + 1) π/2
波腹：振幅最大的點，| cos(2π x/λ) | = 1，即 2π x/λ = kπ

• 多普勒效應

v' = (u + uB) / (u - uS) * v0
v'：接收的頻率 ，v0：波的頻率
uB：觀察者速度 ，uS：波源速度 ，u：介質速度
觀察者與波源遠離時 uB、uS 取負，觀察者與波源靠近時 uB、uS 取正

• 平面電磁波

能流密度矢量 S = E × H
平均能流密度 S' = E? × H? / 2

第十一章 光學

• 相干光

獲得相干光的方法：① 分波陣面法 ② 分振幅法

• 楊氏雙縫干涉

L = n · r
( 光程 = 折射率 · 幾何路程 )
Δ φ = 2π · δ / λ

( 相位差 = 2π · 光程差 / 波長 )

• 薄膜干涉

A）干涉條件
Δr = 2d √(n?2 - n?2 sin2 i) + λ/2 = k λ，k = 1, 2, ... (加強)
Δr = 2d √(n?2 - n?2 sin2 i) + λ/2 = (2k+1) λ/2，k = 0, 1, 2, ... (減弱)
① 當光垂直入射，即 i = 0 時
Δr = 2d n? + λ/2 = k λ，k = 1, 2, ... (加強)
Δr = 2d n? + λ/2 = (2k+1) λ/2，k = 0, 1, 2, ... (減弱)
② 使用透鏡不會引起附加的光程差
B）增透膜：減少反射光強度、增加透射光強度的薄膜
增反膜：增加反射光強度、減少透射光強度的薄膜

• 劈尖，牛頓環(huán)，邁克耳孫干涉儀

① 劈尖
干涉極大 (明紋中心) 條件：Δt = k λ，k = 1, 2, ...
干涉極小 (暗紋中心) 條件：Δr = (2k+1) λ/2，k = 0, 1, 2, ...
等厚干涉：厚度相等的地方干涉條紋亮度相同的現(xiàn)象
② 牛頓環(huán)
明環(huán)半徑：r = √ Rλ (k - 1/2)，k = 1, 2, ...
暗環(huán)半徑：r = √ Rλ k，k = 0, 1, 2, ...
③ 邁克耳孫干涉儀
Δd = Δn λ/2
λ：入射單色光波長
Δd：平面反射鏡移動距離
Δn：視場中移過的條紋數(shù)目

• 光的衍射

① 光的衍射
光在傳播中遇到障礙物 (尺寸比波長稍大) 時，
其在障礙物陰影區(qū)形成明暗變化的光強分布的現(xiàn)象
② 惠更斯 - 菲涅爾原理
從同一波面上各點發(fā)出的各子波是相干波，
其傳播到某一點相干疊加的結果決定了該處的波振幅

③ 菲涅爾衍射，夫瑯禾費衍射

• 夫瑯禾費衍射

1）單縫衍射
① 單縫衍射
平行光垂直照射寬度與波長比擬的狹縫，會繞過縫邊緣
向陰影區(qū)衍射，經透鏡 L 聚到焦平面處的平面 P 形成衍射條紋
b sinθ = ± k λ/2，k = 1, 2, 3 ...
b 為單縫寬度、θ 為衍射角、λ 為單色光波長
② 數(shù)學公式
暗條紋：bsinθ = ±k λ，k=1, 2, 3 ...
明條紋：bsinθ = ±(2k+1) λ/2，k=1, 2, 3 ...
一級暗紋距中心的距離：x1 = λf/b
任意兩條暗紋的距離：Δx = λf/b
中央明紋的寬度：Δx0 = 2λf/b
2）圓孔衍射
單色平行光垂直照射小圓孔，在透鏡 L 焦平面處的屏幕 P
上出現(xiàn)中央為亮斑（艾里斑），周圍為明暗交替的環(huán)形衍射圖
θ? = 1.22 λ/D = h / L
D 為圓孔直徑、θ? 為最小分辨角、1/θ 為分辨本領
λ 為單色光波長、h 為可分辨高度、L 為可分辨距離

• 衍射光柵

1）平行光柵
平行排列的許多等間距、等寬度的狹縫構成了透射式平面衍射光柵
2）光柵方程
d sinθ = ± k λ，k = 1, 2, 3 ...
d = b+b' 為光柵常量、b 為透光寬度、b' 為不透光寬度、θ 為衍射角
3）缺級公式
d / b = k / k'，k = 0、1、2、3 ...，k' = 1、2、3 ...
4）中央明帶條紋數(shù)：2d/b - 1

四、思維導圖