2021-03-25【一個求二面角的方法】

如圖所示，已知AD\subset \alpha，AC\subset \beta，A\in l，B\in l，不妨設(shè)二面角\alpha-l-\beta的平面角為\theta，則有：\cos \angle DAC = \cos\angle DAB\cos\angle CAB + \sin\angle DAB\sin\angle CAB\cos \theta

2020.png

證明：在平面\alpha內(nèi)過點(diǎn)D作DE\perp l于E，在平面\beta內(nèi)過點(diǎn)E作EF\perp l交AC于點(diǎn)F，則\theta = \angle DEF.
在\triangle DEF中，由余弦定理得：
DF^{2}=DE^{2}+EF^{2} - 2DE\times EF\times\cos \angle DEF
=DE^{2}+EF^{2} - 2DE\times EF\times \cos \theta，
在\triangle DAF中，由余弦定理得：
DF^{2} = DA^{2}+AF^{2}-2DA\times AF\times\cos \angle DAF
= DA^{2}+AF^{2}-2DA\times AF\times\cos \angle DAC，
而DE=DA\sin \angle DAE=DA\sin \angle DAB，
EF=AF\sin \angle FAE=AF\sin \angle CAB，
所以DA^{2}+AF^{2}-2DA\times AF\times\cos \angle DAC
= (DA\sin \angle DAB)^{2} + (AF\sin \angle CAB)^{2} - 2(DA\sin \angle DAB)\times(AF\sin \angle CAB)\cos\theta，
所以(DA\cos \angle DAB)^{2} + (AF\cos \angle CAB)^{2}-2DA\times AF\times\cos \angle DAC
= - 2(DA\sin \angle DAB)\times(AF\sin \angle CAB)\cos\theta，
由圖可知DA\cos \angle DAB = AF\cos \angle CAB = AE，
于是2AE^{2}-2DA\times AF\times\cos \angle DAC
= - 2(DA\sin \angle DAB)\times(AF\sin \angle CAB)\cos\theta，
于是\cos \angle DAC = \frac{AE}{DA}\times\frac{AE}{AF} + \sin \angle DAB\sin \angle CAB\cos\theta，
即\cos \angle DAC = \cos\angle DAB\cos\angle CAB + \sin\angle DAB\sin\angle CAB\cos \theta

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