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同濟高等數(shù)學第七版1.6習題精講

1.計算下列極限。

(1) $\lim_{x\to 0}{\frac{sin\omega x}{x}}$

(2) $\lim_{x\to 0}{\frac{tan3x}{x}}$

(3) $\lim_{x\to 0}{\frac{sin2x}{sin5x}}$

(4) $\lim_{x\to 0}xcotx$

(5) $\lim_{x\to 0}{\frac{1-cos2x}{xsinx}}$

(6) $\lim_{n\to \infty}2^nsin{\frac{x}{2^n}}$

解：(1)如果 $\omega\neq0$

$\lim_{x\to 0}{\frac{sin\omega x}{x}}=\lim_{x\to 0}{\frac{sin\omega x}{\omega x}}\omega=\omega$

如果 $\omega=0$ ，原式=0.

(2) $\lim_{x\to 0}{\frac{tan3x}{x}}=\lim_{x\to 0}{\frac{sin3x}{(cos3x)3x}}3=3$

(3) $\lim_{x\to 0}\frac{\frac{sin2x}{2x}}{\frac{sin5x}{5x}}\frac{2x}{5x}=\frac{2}{5}$

(4) $\lim_{x\to 0}xcotx=\lim_{x\to 0}\frac{x}{tanx}=1$

(5) $\lim_{x\to 0}{\frac{1-cos2x}{xsinx}}=\lim_{x\to 0}{\frac{2sin^2x}{xsinx}}=\lim_{x\to 0}{\frac{2sinx}{x}}=2$

(6) $\lim_{n\to \infty}2^nsin{\frac{x}{2^n}}=\lim_{n\to \infty}\frac{sin{\frac{x}{2^n}}}{\frac{x}{2^n}}x=x$

2.計算下列極限。

(1) $\lim_{x\to 0}{(1-x)}^{\frac{1}{x}}$

(2) $\lim_{x\to 0}{(1+2x)}^{\frac{1}{x}}$

(3) $\lim_{x\to \infty}{(\frac{1+x}{x}})^{2x}$

(4) $\lim_{x\to \infty}{[1-(\frac{1}{x}})]^{kx}$

解：(1) $\lim_{x\to 0}{(1-x)}^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to 0}{(1-x)}^{(-\frac{1}{x})(-1)}=e^{-1}=\frac{1}{e}$

(2) $\lim_{x\to 0}{(1+2x)}^{\frac{1}{x}}=\lim_{x\to 0}{(1+2x)}^{\frac{1}{2x}2}=e^2$

(3) $\lim_{x\to \infty}{(\frac{1+x}{x}})^{2x}=\lim_{x\to \infty}{(1+\frac{1}{x}})^{(x)(2)}=e^2$

(4) $\lim_{x\to \infty}{[1-(\frac{1}{x}})]^{kx}=\lim_{x\to \infty}{[1-(\frac{1}{x}})]^{(-x)(-k)}=e^{-k}$

3.根據(jù)函數(shù)極限的定義，證明極限存在的準則 $I'$ 。

如果(1) $g(x)\leq f(x)\leq h(x),x\in U(x_0,r)$ ;

(2) $lim_{x\to x_0}g(x)=A,lim_{x\to x_0}h(x)=A$ ;

那么 $\lim_{x\to x_0}f(x)$ 存在，且等于A。

證明：因為 $lim_{x\to x_0}g(x)=A$ ;則對于任意小的 $\epsilon>0$ ，總存在 $\delta_1>0$ ,當 $0<|x-x_0|<\delta_1$ 時， $|g(x)-A|<\epsilon$ 恒成立。

又因為 $lim_{x\to x_0}h(x)=A$ ;則對于任意小的 $\epsilon>0$ （可以認為與上面的 $\epsilon$ 一樣，總存在 $\delta_2>0$ ,當 $0<|x-x_0|<\delta_2$ 時， $|h(x)-A|<\epsilon$ 恒成立。

所以，取 $\delta=min\{\delta_1,\delta_2,r\}$ 時，也會有當 $0<|x-x_0|<\delta$ 時，有三明治定理，也叫夾擠定理可得 $|f(x)-A|<\epsilon$ 恒成立。

4.利用極限存在準則證明：

(1) $\lim_{n\to \infty}{\sqrt {1+\frac{1}{n}}}=1$ ;
(2) $\lim _{n \rightarrow \infty} n\left(\frac{1}{n^{2}+\pi}+\frac{1}{n^{2}+2 \pi}+\cdots+\frac{1}{n^{2}+n \pi}\right)=1$
(3)數(shù)列 $\sqrt{2}, \sqrt{2+\sqrt{2}}, \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}, \cdots$ 的極限存在
(4) $\lim _{x \rightarrow 0}\sqrt[n]{1+x}=1$
(5) $\lim _{x \rightarrow 0^{+}} x\left[\frac{1}{x}\right]=1$