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功

可能用到的符號

$30^{\circ}$ , $\int_{0}^{10}(4+2x)dx?$

$30^{\circ}$, $\int_{0}^{10} (4+2x) dx$

知識點

功的定義與作用
恒力的功
變力的功
- 直接積分法
- 動能定理法
- 建模積分法

例題

例1. 恒力與位移同向
某物體，收到沿著 $x$ 軸的恒力 $F=10$ 作用，并沿著 $x$ 軸正向移動了 $\Delta x=5$ 的位移，則該力做功為( )

解答： $W =F\cdot\Delta x=50$

例2. 恒力與位移同向有固定夾角
某物體，收到沿著 $x$ 軸向上 $30^{\circ}$ 的恒力 $F=10$ 作用，并沿著 $x$ 軸正向移動了 $\Delta x=5$ 的位移，則該力做功為( )

解答： $W=F\cos30^{\circ}\cdot\Delta x=25\sqrt {3}$

例3. 變力：大小不變，夾角 $\theta$ 隨位移變化
某物體，收到大小恒定的力 $F=10$ 作用，且它與 $x$ 軸的夾角 $\theta(x)=x$ 。在該力作用下，物體從坐標(biāo)原點沿著 $x$ 軸正向移動到 $x=5$ ，則該力做功為( )

解答：
$dW=F\cos{x}dx$ , $\int_{0}^{5}F\cos{x}dx=10 sin5^{\circ}$

例4. 變力：方向不變，大小 $F?$ 隨位移變化
某質(zhì)點在力 $\vec{F}=(4+2x)\ \vec{i}?$ 的作用下沿 $x?$ 軸作直線運動，在從 $x=0?$ 移動到 $x=10?$ 的過程中，力所做的功為( )

解答： $dW=(4+2x)dx$ , $W=\int_{0}^{10}(4+2x)dx=140^{\circ}$

例5. 變力：初末狀態(tài)知道，用動能定理
質(zhì)量為 $m$ 的質(zhì)點在合外力 $\vec{F}=(4+2v)\ \vec{i}$ 的作用下沿 $x$ 軸作直線運動，在從 $v=0$ 移動到 $v=10$ 的過程中，合外力所做的功為( ).

解答： $W=\intop_{0}^{10}(4+2v)dv=140$ ? 算法不對
$W=\frac{1}{2}mv_{末}^{2}-\frac{1}{2}mv_{初}^{2}=48J$

作業(yè)
變力做功的常用方法：動能定理。質(zhì)量為 $m=2$ 的質(zhì)點，在 $Oxy$ 坐標(biāo)平面內(nèi)運動，其運動方程為 $x=5t$ ， $y=t^{2}$ ，從 $t=2$ 到 $t=4$ 這段時間內(nèi)，外力對質(zhì)點作的功為().

解答： $\vec{v}=5\vec{i}+2t\vec{j}$ , $v_初=\sqrt{41}$ $v_末=\sqrt{89}$ ，
動能定理 $W=\frac{1}{2}mv_{末}^{2}-\frac{1}{2}mv_{初}^{2}=48$

作業(yè)
變力做功的常用方法：動能定理。質(zhì)量 $m=1$ 的質(zhì)點在力 $F=2t\ \vec{i}$ 的作用下，從靜止出發(fā)沿 $x$ 軸正向作直線運動，則前3秒內(nèi)該力所作的功為()。

解答： $dp=Fdt$ ， $p=\int_{0}^{3}2tdt=9=mv$ , $v=9.$
$W=\frac{1}{2}mv_{末}^{2}-\frac{1}{2}mv_{初}^{2}=\frac{81}{2}$

作業(yè)
質(zhì)量 $m=2$ 的物體沿 $x$ 軸作直線運動，所受合外力 $F=1+2x$ 。如果在 $x=0$ 處時速度 $v_{0}=\sqrt{5}$ ；求該物體運動到 $x=4$ 處時速度的大小( )。

解答： $dW=(1+2x)dx$ , $W=\int_0^4(1+2x)dx=20.$
$W=\frac{1}{2}mv_{t}^{2}-\frac{1}{2}mv_{0}^{2}$ , $v_{t}=5.$

例6. 建模積分法
一人從深度為 $H$ 的井中提水，起始時桶中裝有質(zhì)量為 $M$ 的水，桶的質(zhì)量為 $M_{0}$ kg，由于水桶漏水，每升高 $1$ 米要漏去質(zhì)量為 $a$ 的水。求水桶勻速緩慢地從井中提到井口人所作的功。
以井底為原點，向上為正方向建立 $x$ 軸。
第一步，關(guān)于積分微小過程的描述有
(1) 當(dāng)水桶位于 $x$ 位置時
(2) 當(dāng)水桶從 $x$ 位置上升到 $x+dx$ 的過程中。
第二步，元功 $F(x)dx$ 應(yīng)表達(dá)為
(3) $(M_{0}+M-xa)gdx$
(4) $(M_{0}+M+xa)dx$
第三步，定積分的寫法為
(5) $\intop_{0}^{H}F(x)dx$
(6) $\intop_{M}^{0}F(x)dx?$
以上正確的是( )