姓名：傅昊升 學號：17021211248

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【嵌牛導讀】既然圓周率是無限不循環(huán)小數(shù)，那么其中是否可能包括這個世界上可用數(shù)字描述的任何信息，也就是包含了這個世界？

電話號， 生日， QQ號可能運算量比較大，但是6位的銀行卡密碼還是沒問題的。題目本身和Pi是不是正規(guī)數(shù)沒關系，但假如承認 Pi 是個正規(guī)數(shù)會有幫助

【嵌牛鼻子】π ?信息 ? 包含

【嵌牛提問】π真的包含6位數(shù)的密碼嗎？

【嵌牛正文】這相當于問一個產(chǎn)生六位隨機數(shù)的發(fā)生器多久能生成所有六位數(shù)？

這是贈券收集問題，那么期望就是

?，H 是調和級數(shù)

所以我算這么多大概就能搜索到所有的可能

嗯，真的把十萬個個全部搜出來了

加起來也就一分鐘就不另外放下載了，自己跑一遍就行

當然你說要是沒搜到怎么辦？

這倒是有可能的，但是還是根據(jù)贈券收集原理

搞定的概率只有：57%

我在想這個數(shù)好眼熟....

這個數(shù)是?

如果要以一半概率找到生日的話需要計算3.51億位，如果要找手機號要計算4606億位

查了下現(xiàn)在的記錄是22,459,157,718,361（224591億位）， 那么找到手機號的幾率>99.9%

http://www.numberworld.org/digits/Pi/#Download

另外很多網(wǎng)站都提供這個服務

當然一個非超越無理數(shù)以概率1是個正規(guī)數(shù)，那么同樣適用這樣的推理

我的生日是你的生日開平方后351084058位開始8個數(shù)字

我的手機是你的手機號開立方后460653489114位開始11個數(shù)字

57% 怎么推導出來呢?

但是有個問題，斯特林數(shù)有精細結構沒法給出漸進表達式

那么考慮非均勻贈券收集問題

記事件 An,i?為第$n$次選取后第$i$個樣本未被選中的情形,于是概率即為相應情形之并

然后依容斥原理展開：

其中，$J$代表一種選法集合，

?，即集合$J$中元素的數(shù)量。

其概率生成函數(shù)為：

接下來對于期望而言：

注意到 ?

所以上式可以進一步可以寫成：

另一方面從累積分布而言：

于是令?

我們成功把問題轉化為連續(xù)情形：

其中 n 為規(guī)模，t為計算的位數(shù)

其一階近似就是 n H(n)

這也是臨界情況，加一個微擾全部找到的概率就是1，減一個微擾概率就是0。

算10億位還找不全的概率幾乎為0