網(wǎng)上對于傅里葉變換相關(guān)的文章很多（足夠多），有的是從物理相關(guān)角度入場，有的從數(shù)學(xué)分析角度入場。對于有志學(xué)習(xí)相關(guān)概念的同學(xué)還是能夠很好的理解的。

數(shù)學(xué)包括三大塊：代數(shù)學(xué)、幾何、數(shù)學(xué)分析。前兩塊我們在中學(xué)階段一直在用，數(shù)學(xué)分析（非數(shù)學(xué)專業(yè)以高等數(shù)學(xué)入門）在大學(xué)開始接觸

本文從更簡單（最簡單）的解析幾何角度嘗試講一點(diǎn)DFT的入門概念。

解析幾何就是把幾何用代數(shù)學(xué)表示，引入了平面直角坐標(biāo)系，是高中數(shù)學(xué)的主要部分

一、復(fù)數(shù)和單位復(fù)數(shù)根

復(fù)數(shù)我們在高中已經(jīng)接觸過了。當(dāng)時為了強(qiáng)調(diào)二次方程一定有兩個根（而不是更多或更少），引入了虛數(shù)單位 $i$ ，它是-1的平方根：

虛數(shù)單位

但實(shí)際上反過來不成立，也就是說-1的平方根并不只是 $i$ 。想一下為什么？

這樣類似于 $2+3i$ 這樣的表示就叫“復(fù)數(shù)”。其中 $2$ 是實(shí)部， $3$ 是虛部（注意虛部不是 $3i$ ，因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=i" alt="i" mathimg="1">只是一種約定俗成的字母，實(shí)際可以用任何字母。甚至用有序?qū)崝?shù)對表示復(fù)數(shù)的時候完全不用引入字母）。

這里我們多次使用表示來說復(fù)數(shù)，是因?yàn)閺?fù)數(shù)實(shí)際真的不是數(shù)（雖然說它是對實(shí)數(shù)系的擴(kuò)充）。數(shù)的作用是“計(jì)數(shù)”，要能夠比較大小。實(shí)數(shù)以后的數(shù)系都不再能比較了。只是在生產(chǎn)過程中，新的數(shù)系能把事情解釋的更明白。而且對比來講，實(shí)數(shù)上面的運(yùn)算只是高等數(shù)系的一種特殊情況，復(fù)數(shù)的各種規(guī)律依然完全適用于實(shí)數(shù)。這樣看來，用來計(jì)數(shù)的實(shí)數(shù)反而是自然界的“副產(chǎn)品”

有了復(fù)數(shù)概念，我們就可以說n次方程有且只有n個（復(fù)數(shù)）根。比如：

4次方程

有4個根。除了我們一眼看出的熟悉的正負(fù)1，還有兩個虛數(shù)根：正負(fù)i。

單位復(fù)數(shù)根就是這么來的：方程

n個x積為1

的n個根就叫n次單位復(fù)根。

二、與復(fù)平面的關(guān)系

復(fù)平面可以理解為中學(xué)的平面直角坐標(biāo)系，只不過橫軸變成了實(shí)數(shù)軸，縱軸變成了虛數(shù)軸。

單位圓

上圖中橫軸是實(shí)軸，縱軸是虛軸。單位圓與橫軸的兩個交點(diǎn)左右分別是-1，1；與縱軸的兩個交點(diǎn)上下分別是i，-i。

上面提到的4次方程的4個根就是四次單位復(fù)根。從復(fù)平面看就是：第一個根從原點(diǎn)向?qū)嵼S正向交于1（任意次單位復(fù)根第一個根都是1對吧？），第二個逆時針（或者說正向）轉(zhuǎn)90度（因?yàn)?60?4）到了i，再轉(zhuǎn)90度是第三個根-1，繼續(xù)轉(zhuǎn)是最后一個-i。

再比如，