比奧—薩法爾定律（by小毅）

直導(dǎo)線、導(dǎo)線環(huán)的磁場(chǎng)：比奧—薩法爾定律

知識(shí)點(diǎn)

  • 電流元的磁場(chǎng)：比奧—薩法爾定律
  • 直導(dǎo)線的磁場(chǎng)：
    • 方向：與 I d\vec{l} \times \vec{r}的方向一致，其中\(zhòng)vec{r}為電流元 I \vec{l}到真空中某點(diǎn)的位矢
    • 公式：dB=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\cdot\frac{Id\vec{l}\times\vec{r}}{r^{3}}=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\cdot\frac{Id\vec{l}}{r^{2}}\sin \theta(\theta 為\vec{l} \times \vec{r}的夾角)
  • 圓環(huán)的磁場(chǎng)：
    • 方向：由右手螺旋定則，
    • 公式：B=\frac{\mu_0 I}{2R}
  • 直導(dǎo)線與圓環(huán)的組合體的磁場(chǎng)：疊加原理

表達(dá)題

  • 靜止電荷與靜止電荷之間通過(guò)( )發(fā)生相互作用，運(yùn)動(dòng)電荷(或電流)與運(yùn)動(dòng)電荷(或電流)之間通過(guò)( )發(fā)生相互作用

解答：電場(chǎng)，磁場(chǎng)

  • 整段電流在場(chǎng)點(diǎn)P產(chǎn)生的磁感應(yīng)強(qiáng)度(簡(jiǎn)稱場(chǎng)強(qiáng))，是所有電流元在P產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)d\vec{B}的矢量積分。圖示電流源Id\vec{l}對(duì)應(yīng)的d\vec{B}的表達(dá)式為\frac{\mu_{0}}{4\pi}\cdot\frac{Id\vec{l}\times\vec{r}}{r^{3}}。請(qǐng)留意相關(guān)矢量的方向。則d\vec{B}的方向和大小分別為( )
    Fig1.png

解答：朝里（右手法則）
dB=\frac{\mu_{0}}{4\pi}\cdot\frac{Idl}{r^{2}}

  • 直導(dǎo)線的磁場(chǎng)需要重點(diǎn)掌握。先要熟悉磁場(chǎng)的方向，做法是：右手大拇指指向電流的流向，四指彎彎抓向磁感線的方向。如圖，M點(diǎn)和N點(diǎn)的磁場(chǎng)方向分別為( )
    Fig6.png

解答：M點(diǎn)朝里，N點(diǎn)朝外

  • 如圖所示，有限長(zhǎng)導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場(chǎng)借助畢奧—薩伐爾定律計(jì)算為：B=\frac{\mu_{0}I}{4\pi a}(\cos\theta_{1}-\cos\theta_{2})。則_____的導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場(chǎng)為( )
    Fig2.png

B=\frac{\mu_{0}I}{4\pi a}\int_{\theta_1}^{\theta_2} \sin \theta d\theta=\frac{\mu_{0}I}{4\pi a}(\cos\theta_{1}-\cos\theta_{2})
1.\color{red}{無(wú)限長(zhǎng)} \theta_1=0,\theta_2=\pi ,B=\frac{\mu_0I}{2\pi a}
2.\color{red}{半限長(zhǎng)} \theta_1=\frac{\pi}{2},\theta_2=\pi,B= \frac{\mu_{0}I}{4\pi a}

  • 導(dǎo)線環(huán)的磁場(chǎng)需要重點(diǎn)掌握。先要熟悉磁場(chǎng)的方向，做法是：右手四指彎彎抓向電流的流向，大拇指指向環(huán)內(nèi)磁感線的方向；環(huán)外的磁感線方向與環(huán)內(nèi)相反；整條磁感應(yīng)線未成一個(gè)閉合的曲線。如圖，M點(diǎn)和N點(diǎn)的磁場(chǎng)方向分別為( )
    Fig7.png
  • 導(dǎo)線環(huán)的磁場(chǎng)需要重點(diǎn)掌握。先要熟悉磁場(chǎng)的方向。如圖，M點(diǎn)和N點(diǎn)的磁場(chǎng)方向，也可以借助其附近“直電流的磁場(chǎng)+右手”來(lái)得到。你看對(duì)嗎？( )

解答：對(duì)

  • 導(dǎo)線環(huán)的磁場(chǎng)需要重點(diǎn)掌握。圓弧導(dǎo)線在環(huán)心的磁場(chǎng)為：\frac{\mu_{0}I}{2R}\cdot\frac{\Delta\theta}{2\pi}。則圖中三種情況下，圓心O點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度分別為()
    Fig8.png

解答：1.B_1=\frac{\mu_{0}I}{2R}\ B_2=\frac{\mu_{0}I}{4R} B_3=\frac{\mu_{0}I}{8R}

  • 疊加原理求磁場(chǎng)，請(qǐng)注意方向和正負(fù)號(hào)。如圖所示，有兩根互相平行的長(zhǎng)直導(dǎo)線，電流為I_{1}=I_{2}=I，導(dǎo)線間的距離是D?，F(xiàn)在在兩導(dǎo)線構(gòu)成的平面內(nèi)，有場(chǎng)點(diǎn)P。P點(diǎn)到兩個(gè)導(dǎo)線的距離分別為\frac{D}{3}和\frac{2}{3}D。我們約定朝里為正數(shù)，則P.M點(diǎn)的磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)該為( )
    Fig9.png

解答：B_M=\frac{\mu_{0}I}{2 \pi}(-\frac{3}{D}- \frac{3}{4D})=-\frac{15\mu_{0}I}{8 \pi D}
B_P=\frac{\mu_{0}I}{2 \pi}(\frac{3}{D}-\frac{3}{2D}）=\frac{3\mu_{0}I}{ 4\pi D}

  • 疊加原理求磁場(chǎng)，請(qǐng)注意方向和正負(fù)號(hào)。如圖所示的導(dǎo)線，電流為I，半徑為R。我們約定朝里為正數(shù)，則O點(diǎn)處的磁感應(yīng)強(qiáng)度應(yīng)該為( )
Fig11.png

直導(dǎo)線產(chǎn)生的磁場(chǎng)B_1=\frac{\mu_0I}{2\pi R}（ 外）
圓環(huán)產(chǎn)生的磁場(chǎng)B_2=\frac{\mu_0I}{2 R}(里)
B=B_1+B_2

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