求解沖激函數(shù)的實例

0 基本知識筆記

  • 沖激響應 impluse response

??對于線性時不變系統(tǒng)，單位沖激函數(shù)\delta(t)作用下的零狀態(tài)響應稱為沖激響應h(t)，與階躍響應的關系為h(t)=\frac{ds(t)}{dt}。該系統(tǒng)對任意激勵e(t)的響應為u(t)=h(t) \ast e(t) + r_{zi}(t)，r_{zi}(t)為零輸入相應。

??離散形式為y[n]=h[n] \ast e[n] + r_{zi}[n]。

1 部分分式法求解沖激響應

若系統(tǒng)的輸入-輸出(e(t)\rightarrow r(t))方程有以下微分方程形式，

\sum^n_{k=0}a_k \frac{d^kr}{dt^k} = \sum^m_{k=0}b_k \frac{d^ke}{dt^k} ,\quad let\; a_n = 1

微分算子用p表示，即 p^n \triangleq \frac{d^n}{dt^n}，則可得到一轉移算子H(p)，

H(p)=\frac{\sum^m_{k=0}b_k p^k}{\sum^n_{k=0}a_k p^k}

微分方程化為r(t)=H(p)e(t)，則沖激響應為h(t)=H(p)\delta(t)。若m \le n，則對H(p)作分式展開后得到如下形式，

H(p)=A_0 + \sum^{N}_{k=1}\frac{A_k}{(p-\lambda_k)^{\sigma_k}}

而由Laplace變換可知對于不同的\sigma有如下解

\sigma H(p) Solution
0 1 h(t)=\delta(t)
1 \frac{1}{p-\lambda} h(t)=e^{-\lambda t}u(t)
n \ge 2 \frac{1}{(p-\lambda)^n} h(t)=\frac{t^n}{(n-1)!} e^{-\lambda t} u(t)

所以可求得沖激響應

h(t) = A_0 \delta(t) + \sum^N_{k=1} A_k t^{\sigma_k} e^{-\lambda_k t} u(t)

下舉兩例

1. \frac{d^2 r(t)}{d t^2} + 4\frac{dr(t)}{dt} + 3r(t) = \frac{de(t)}{dt} + 2e(t)

\begin{aligned}\therefore h(t) &= \delta(t) \frac{p+2}{p^2+4p+3} \\ &= \delta(t) \left( \frac{1 /2}{p+1} + \frac{1 /2}{p+3} \right) \\ &= \frac{e^{-t} + e^{-3t}}{2} u(t)\end{aligned}

2. \frac{d^2 r(t)}{d t^2} + 4\frac{dr(t)}{dt} + 4r(t) = 2 \frac{d^2 e(t)}{d t^2} + 9 \frac{de(t)}{dt} + 11e(t)

\begin{aligned}\therefore h(t) &= \delta(t) \frac{2p^2 + 9p + 11}{p^2 + 4p + 4} \\ &= \delta(t) \left\lbrack 2 + \frac{1}{p+2} + \frac{1}{(p+2)^2} \right\rbrack \\ &= 2\delta(t) + (1 + t) e^{-2t} u(t) \end{aligned}

2 線性時不變性質(zhì)求解沖激響應

由上面的討論可知，沖激響應的求解歸結為求 h(t) \sum^n_{k=0}a_k p^k = \delta(t) \sum^m_{k=0}b_k p^k。而根據(jù)線性時不變系統(tǒng)的相關性質(zhì)，可以先求解易解的 h_0(t) \sum^n_{k=0}a_k p^k = \delta(t)，在作疊加即可求得沖激響應h(t)。

仍以 \frac{d^2 r(t)}{d t^2} + 4\frac{dr(t)}{dt} + 3r(t) = \frac{de(t)}{dt} + 2e(t) 為例。

(p^2+4p+3) h_0(t) = \delta(t) \Rightarrow h_0(t) = \frac{e^{-t} - e^{-3t}}{2} u(t)

所以可得沖激響應，

h(t) = \frac{dh_0(t)}{dt} + 2h_0(t) = \frac{e^{-t} + e^{-3t}}{2} u(t)

3 一個離散信號的例子

考慮描述一因果線性時不變系統(tǒng)的差分方程，
y[n] + \frac{5}{6}y[n-1] + \frac{1}{6}y[n-2] = x[n] + 3x[n-1] + \frac{11}{6}x[n-2] + \frac{1}{3}x[n-3]

用p表示e^{-j\omega}，則該系統(tǒng)的頻率響應為，

\begin{aligned} H(p) &= \frac{1 + 3p + \frac{11}{6}p^2 + \frac{1}{3}p^3}{ 1 + \frac{5}{6} p + \frac{1}{6} p^2} \\ &= 1 + 2p + \frac{1}{1+p / 3} + \frac{-1}{1+p /2} \end{aligned}

于是也可以對應得出沖激響應為，

h[n] = \delta[n] + 2\delta[n-1] + \left\lbrack \frac{1}{(-3)^n} - \frac{1}{(-2)^n} \right\rbrack u[n]

可以看出，即使 H(p) 是真分式也可以用類似的部分分式法求解沖激響應。

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