01 序言

#本文將從三角函數(shù)的誕生，三角函數(shù)的功勞和作用，以及三角函數(shù)的“出道”給我們帶來的啟示三方面進行論述。#

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? ? sin和cos想必大家都不陌生，它們的中文名分別是“正弦”和“余弦”，我們從初中起就開始和它們打交道。

? ? 如果我沒說錯的話，也許大多數(shù)人對它們的唯一印象就是:

? 背不完的公式，和做不出的題目，對不對? 但不知道你可曾想過，這三角函數(shù)啊，它究竟有什么魔力，能讓它自己成為數(shù)學學習中必不可少的一部分？又是何方神圣發(fā)明了這些? 數(shù)學家們又是怎么想到發(fā)明它的？

02 上帝的語言

? ? 如果說文字是人類的語言，那么幾何圖形就是上帝的語言。

? ? 所謂上帝的語言,就是自然規(guī)律。作為科學家,其任務也就是發(fā)現(xiàn)這些自然規(guī)律。而發(fā)現(xiàn)自然規(guī)律,往往繞不開幾何圖形，它是自然規(guī)律的直觀呈現(xiàn)形式。

? ? 說到幾何圖形,大家腦海中可能會出現(xiàn)這些:

? ? 再復雜的事物,也是由最簡單、基本的事物構(gòu)成的。因此不要小看這些看似簡單的圖形,它們或許是構(gòu)成自然界最基本的元素。

? ? 為了幫助大家更好地理解這個概念, 我們一起來玩一個游戲。

? ? 這是一個基本的圓

我們將它切去一小部分，再拉長成一個橢圓。

再給他畫上一個小圓圈。

在缺口處添上幾個三角形,之后再添上一個細長的橢圓。

最后在底端添上一個小正方形,再在左側(cè)填上兩個重疊的橢圓。

? ? 一個人像就這樣被構(gòu)造出來。

? ? 最后呈現(xiàn)出來的人像雖然比較復雜,但通過觀察構(gòu)建這個人像的過程，我們很容易就能發(fā)現(xiàn),這個看似復雜的圖形實際上都是由最基本的圖形構(gòu)成的。

? ? 不僅僅是這個人像，世間萬物，無論是你看得見、摸得著的客觀存在，還是你無法通過客體直接觀測到的的自然規(guī)律，都是由最基本的元素組成的。

? ? 你是否想起了小時候畫畫或是玩剪貼畫的場景?這就對了。繪畫本質(zhì)上是一種人類運用主觀能動性,將自然萬物通過抽象,再映射到畫面上的過程。

? ? 這里所謂抽象,包含了一個分解到再合成的過程。分解就是,通過將復雜的事物“拆”成一個個簡單的事物，而合成則是,將這些簡單的事物重新拼接成原先復雜的事物。

? ? 咱們數(shù)學,其實和畫畫真還有異曲同工之妙,正是因為,數(shù)學和畫畫都離不開“分解——再合成”，即從抽象到再現(xiàn)的思維。

? ? 簡單的事物往往是強大的,因為它們具有構(gòu)成復雜事物的無窮潛能，按照辯證法的觀點就是，它們具有極強的普遍性。

? ? 因此,從大自然的語言——看似簡單的基本幾何圖形入手去探究自然界的復雜事物和自然規(guī)律,往往效率是最高的。

? ? 而探究這些最基本的幾何圖形,并不是一件簡單的事情。打個比方, 一個圓，夠簡單了吧，可是人們?yōu)榱藦氐酌逅男再|(zhì),可是掉了一層皮啊，就連測量圓周率的精確值，也花了人類上千年的時間。

? ? 這是為什么?原因是探究工具和方法的缺乏。一旦擁有了系統(tǒng)可靠的探究工具和方法,探究的效率必將大幅提升。

? ? 而三角函數(shù),就是探究這些基本圖形有力的工具和手段。為什么呢?接下來我會從大家對三角函數(shù)的認知入手，為大家解釋這個問題。

03 閑話說三角

? ? 首先我們從三角函數(shù)的誕生說起。

? ? sine(正弦)一詞始于阿拉伯人雷基奧蒙坦。他是十五世紀西歐數(shù)學界的領(lǐng)導人物，他于1464年完成的著作《論各種三角形》, 1533年開始發(fā)行,這是一本純?nèi)菍W的書,使三角學脫離天文學,獨立成為一門數(shù)學分科。

? ? cosine (余弦)為英國人根日爾首先使用,最早在1620年倫敦出版的他所著的《炮兵測量學》中出現(xiàn)。

? ? 之后,結(jié)合個人經(jīng)歷,我默認大家是從“銳角的三角比”開始,最先接觸三角函數(shù)的概念的。

? ? 所謂銳角的三角比,就是通過直角三角形各邊長之間的比例關(guān)系，來定義sin、cos、tan等三角函數(shù)。

? ? 之后,在高中和大學階段，我們從函數(shù)的角度，借助單位圓和旋轉(zhuǎn)矢量去理解三角函數(shù)的概念。簡單總結(jié)就是: “三角函數(shù)”是在單位圓內(nèi)以“角度"為自變量，以“角度”對應 “任意角終邊"為因變量的函數(shù)。

? ? 旋轉(zhuǎn)矢量法下的三角函數(shù)定義“三角函數(shù)“是以“角度“為自變量,以“角度對應任意角終邊’的比值"為因變量的函數(shù)。

? 盡管定義方式不同, 但通過這些定義,我們可以發(fā)現(xiàn),三角函數(shù)與我們所熟悉的圖形圓形和三角形,關(guān)系密不可分。三角函數(shù)出現(xiàn)的初衷,是為了總結(jié)出這些基本圖形內(nèi)部的約束關(guān)系和矛盾。

? ? 也就是說,三角函數(shù)是解開圓和三角形許多性質(zhì)的一把鑰匙,是研究基本自然語言——基本圖形的重要方法。 同時也使對于基本圖形的研究,有了更為成熟、系統(tǒng)的數(shù)學語言。

? ? 當我們對圓和三角形這一類最基本圖形的性質(zhì)有了更進一步的了解時,就好比我們學習外語時,學會了基本語法和常用句式——我們研究復雜的自然規(guī)律和事物就變得更為輕松了。

04 工業(yè)先聲

? ? 在這一部分，我將為大家印證我之前的論斷——三角函數(shù)是人類探索自然的一把金鑰匙。同時給大家講一些故事,讓大家更方便地理解, 為什么在工業(yè)時代，三角函數(shù)對于自然科學的發(fā)展會起到如此舉足輕重的作用?

? ? 首先,從發(fā)電機說起。

? ? 作為生活常識,大家可能都知道,我們?nèi)粘Ｊ褂玫碾娫匆话愣际墙涣麟?。所謂交流電，想必大家應該也不陌生。交流電就是電壓值隨著時間, 呈三角函數(shù)(正弦)變化規(guī)律的函數(shù)。

? ? 而決定交流電源性質(zhì)的, 正是產(chǎn)生交流電源的裝置——發(fā)電機。

? ? 其原理大致為：由燃料驅(qū)動線圈轉(zhuǎn)動，由于線圈切割磁感線，從而發(fā)動機輸出電能，實現(xiàn)由內(nèi)能向機械能，再由機械能向電能的轉(zhuǎn)化。

? ? 但由于線圈切割磁感線的過程中，線圈與磁感線的角度隨著線圈的轉(zhuǎn)動而變化，所以發(fā)電機所輸出的電源并不是穩(wěn)定不變的，而是按正弦規(guī)律變化。

? ? 電能在第二次工業(yè)革命之后，幾乎成為了人類工業(yè)發(fā)展最為重要的能源。而由于獲得電能的裝置——發(fā)電機輸出的電源按正弦規(guī)律變化，故正弦函數(shù)，成為了研究電學、設計電路、電器、電氣裝備的重要理論依據(jù)和數(shù)學工具。

? ? 此所謂“經(jīng)濟基礎(chǔ)決定上層建筑”——發(fā)電機所產(chǎn)生電源的特點，直接決定了設計電源的“使用者”，即用電器時應當遵循的規(guī)則。

05 神奇的波浪

? ? 到了20世紀40年代，隨著電話、電報、電臺等無線通訊技術(shù)的誕生，關(guān)于電磁波的研究更是被推到了風口浪尖。而電磁波的產(chǎn)生，以收音機電臺為例，是來自于RC振蕩電路的。

? ? RC振蕩的原理屬于模擬電子電路的研究范疇，較為復雜，在這里給出一個相對簡單的介紹：

? ? RC振蕩器是一個將直流信號轉(zhuǎn)變?yōu)榻涣餍盘枺捶险乙?guī)律的信號）的電路，且能通過內(nèi)部的運算機制實現(xiàn)交流信號幅度和頻率的改變。不同的幅度和頻率可被用來代表不同信息，再結(jié)合遠距離傳輸，從而達到通信的目的。

? ? 可以發(fā)現(xiàn)，RC振蕩器所輸出的信號，同樣滿足正弦的變化規(guī)律。這樣的信號，就是我們所熟悉的電磁波。

? ? 電磁波具有傳輸速度快、穿透能力強、能量衰減小等諸多優(yōu)點，以電磁波為通信的物理載體，是再合適不過的了。而再復雜的電磁波，也能用最簡單的sin/cos組合表示并模擬出來。而找到這樣的sin/cos組合，就需要借助一個數(shù)學工具——傅立葉變換。

? ? 要理解傅立葉變換，對于大家而言可能比較困難。這里我給大家舉一個簡單的例子，看完這個例子過后，大家會對傅立葉變換的思想有一個初步的認識。

? ? 這張圖是印尼爪哇島某處的海灘，大家可以看到圖中前浪推后浪的景象。同樣，大家應該也觀察到，水面的波紋形狀是比較復雜的。

? ? 盡管波紋形狀看起來復雜，但實際上，他們是由許許多多簡單的“波紋”疊加而成的。什么是疊加？前浪拍，后浪推，兩者碰撞，形成了新的“波浪”，而這新的“波浪”又與其他波浪之間碰撞，形成了豐富多樣波紋規(guī)律，這就是疊加。

? ? 我們可以把這個現(xiàn)象抽象成以下形式：

? ? 這是波浪A

? ? 這是波浪B

? ? 這是波浪C

? ? 這是波浪D

? ? 可以發(fā)現(xiàn)，以上ABCD四個波浪都特別“干凈”——沒有多余的瑕疵，都嚴格符合正弦變化規(guī)律。

? ? 但當這四個“干凈”的波浪疊加在一起時，形成的新波浪還會“干凈”嗎？我們來一探究竟：

? ? 跟“干凈”的波浪相比，這疊加后的波浪更為復雜，看起來變“猙獰”了，是不是？

? ? 如果我們將更多不同的“干凈”波形繼續(xù)往上面疊加，最后所產(chǎn)生出的新波形會更加“猙獰不堪”。

? ? 它們可以是這樣：

? ? 還可以是這樣：

? ? 這兩張圖即是我們?nèi)粘Ｉ钪薪?jīng)常接觸到的音頻信號。

? ? 這就是傅立葉變換的主要思想：再復雜的波形，也能用多個簡單波形相加的形式表示，而這些簡單波形的速度、頻率和最大高度互不相同。

? ? 有了傅立葉變換，分析或者傳輸再復雜的信號也不在話下——把它“拆開”成最簡單的波形就行了，針對這些簡單的波形去設計能產(chǎn)生或感應到相應波形的模擬或數(shù)字電路，再將這些電路以一定的規(guī)則整合，就能達到發(fā)送、接受信號的功能，也就實現(xiàn)了通信，對吧！

? ? 而傅立葉變換，做為研究電磁波與通信最為重要的數(shù)學工具之一，其核心數(shù)學基礎(chǔ)，也是sin和cos函數(shù)，即正弦與余弦函數(shù)。

? ? 可以說，沒有sin和cos，就沒有分析與研究信號的手段和工具，也就沒有今天便捷的互聯(lián)網(wǎng)通信時代。

06 大道至簡

? ? 如果我們回過頭來閱讀這篇文章，我們會發(fā)現(xiàn)：一切的起點，都是一個再簡單不過的圓！

我們來復習一下：

? ? ? ? ? ? （敲黑板）

? 1、為了徹底弄清楚圓的性質(zhì)，數(shù)學家們耗費了上千年尋找研究圓的數(shù)學工具。

? ? 2、公元15-16世紀，正弦和余弦的概念應運而生，它解釋了圓內(nèi)部的性質(zhì)、聯(lián)系和矛盾。

? ? 3、工業(yè)時代，發(fā)電機輸出的電壓符合正弦的規(guī)律，這使得正弦和余弦在電磁學的研究中發(fā)揮了舉足輕重的作用。

? ? 4、現(xiàn)代通信時代，RC振蕩電路所激發(fā)的電磁波符合正弦規(guī)律。電磁波是遠距離傳輸信息的“最佳人選”，研究與分析電磁波離不開傅立葉變換，而傅立葉變換的核心數(shù)學基礎(chǔ)便是正弦和余弦函數(shù)。

? ? 如今科技正日益改變著我們的生活，但大家可否想過，在先進的科學技術(shù)背后，為其奠基的，卻是一些再簡單不過的元素？比如說，一個圓。

? ? 這印證了文章剛開始所給出的一個命題：簡單的事物往往是強大的，因為它們具有構(gòu)成復雜事物的無窮潛能。

? ? 是的，這便是科學的精神與真諦，一言以蔽之，曰：大道至簡。

? ? 因此，善于發(fā)現(xiàn)的你，永遠不要輕視身邊一些看似不起眼的、簡單的事物。

? ? 正是這些簡單的事物，足以撬動地球。

? ? 這些簡單的事物，正是上帝的語言。等著“翻譯家”，即智者，去揭開它們的奧秘。