高考大題中的二面角問題

求二面角的大小（或者正弦值、余弦值）是立體幾何大題中常用的問題. 解答這類問題通常有以下三種方法：

（1）直接根據(jù)二面角的平面角完成計算；

（2）投影法：根據(jù)投影的面積計算二面角的余弦；

（3）向量法：根據(jù)兩個面的法向量計算；

2017年理數(shù)全國卷A題18

如圖，在四棱錐 $P-ABCD$ 中， $AB//CD$ ，且 $\angle BAP= \angle CDP=90°.$
（1）證明∶平面 $PAB \perp$ 平面 $PAD$ ;
（2）若 $PA=PD=AB=DC，\angle APD=90°$ ，求二面角 $A-PB -C$ 的余弦值.

2017年理數(shù)全國卷A

【破解攻略】

注意： $\triangle PAB$ 是等腰直角三角形， $\triangle PBC$ 是正三角形；

作 $PB$ 中點 $M$ , 則 $\angle AMC$ 是二面角 $A-PB -C$ 的平面角；

利用余弦定理，可以輕松地求出這個角的余弦值.

參考答案：2017年全國卷A題18

2018年理數(shù)全國卷C題19

如圖，邊長為 2 的正方形 $ABCD$ 所在的平面與半圓弧 $CD$ 所在平面垂直， $M$ 是 $CD$ 上異于 $C,D$ 的點.
（1）證明∶平面 $AMD \perp$ 平面 $BMC$ ;
（2）當三棱錐 $M-ABC$ 體積最大時，求面 $MAB$ 與面 $MCD$ 所成二面角的正弦值.

2018年理數(shù)全國卷C

【破解攻略】

此題難度較低，用平面角解答即可.

參考答案：2018年理數(shù)全國卷C題19

四面體：2018年理數(shù)全國卷B題20

如圖，在三棱錐 $P-ABC$ 中， $AB=BC=2 \sqrt{2}$ ， $PA=PB=PC=AC=4$ ， $O$ 為 $AC$ 的中點.
（1）證明∶ $PO \perp$ 平面 $ABC$ ;
（2）若點 $M$ 在棱 $BC$ 上，且二面角 $M-PA-C$ 為 $30°$ ，求 $PC$ 與平面 $PAM$ 所成角的正弦值.

2018年理數(shù)全國卷B

參考答案：2018年理數(shù)全國卷B題20

【破解攻略】

此題可以用向量法，也可以用幾何法.

幾何法需要作輔助線：連接 $BO$ , 記 $BO, AM$ 的交點為 $Q$ ；取 $PA$ 中點 $N$ , 并作 $OG \perp PA$ .

本題的幾何模型在高考中出現(xiàn)多次，一定要熟悉它的特點： $\triangle PAC$ 是正三角形， $\triangle ABC$ 是等腰直角三角形；

$\triangle POA, \triangle POB, \triangle POC$ 是三個全等的直角三角形.

投影面積法

2004年文數(shù)全國卷C題21

三棱錐 $P-ABC$ 中，側(cè)面 $PAC$ 與底面 $ABC$ 垂直， $PA=PB=PC=3.$
（Ⅰ）求證 $AB \perp BC$ ;
（Ⅱ）如果 $AB=BC=2 \sqrt{3}$ ，求側(cè)面 $PBC$ 與側(cè)面 $PAC$ 所成二面角的大小.

2004年文數(shù)全國卷

【破解攻略】

此題可以用投影法，也可以用平面角法解答.

注意這個模型在高考中出現(xiàn)了多次.

參考答案：2004年文科數(shù)學全國卷C題21

2007年理數(shù)海南卷題18

如圖，在三棱錐 $S-ABC$ 中，側(cè)面 $SAB$ 與側(cè)面 $SAC$ 均為等邊三角形， $\angle BAC=90°$ ， $O$ 為 $BC$ 的中點.
（Ⅰ）證明∶ $SO \perp$ 平面 $ABC$ ;
（Ⅱ）求二面角 $A-SC-B$ 的余弦值.

2007年理數(shù)海南卷題

【破解攻略】

參考答案：2007年理數(shù)海南卷題18

2012年理數(shù)全國卷題19

如圖，直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中， $AC=BC=\dfrac{1}{2} AA_1, D$ 是棱 $AA_1$ 的中點. $DC_1 \perp BD.$
（Ⅰ）證明∶ $DC_1 \perp BC$ ;
（Ⅱ）求二面角 $A1-BD-C_1$ 的大小.

2012年理數(shù)全國卷

提示：二面角的余弦值可以用兩個三角形的面積比求出?？蓞⒖家韵驴碱}：2004年文數(shù)全國卷三題21.

參考答案：2012年理數(shù)題19

【破解攻略】

此題可以用向量法，也可以用投影法.

相比之下，投影法簡潔優(yōu)雅，計算量小.

2019年理數(shù)全國卷A題18

如圖，直四棱柱 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 的底面是菱形， $AA_1=4, AB=2，\angle BAD=60°$ ， $E，M，N$ 分別是 $BC,BB_1,A_1D$ 的中點.
（1）證明∶ $MN//$ 平面 $C_1DE$ ;
（2）求二面角 $A-MA_1-N$ 的正弦值.

2019年理數(shù)全國卷A

【破解攻略】

2019年的這個大題與2012年大題相似；可以用投影法解答；當然，也可以用向量法解答.

參考答案：2019年理數(shù)全國卷A題18

2011年理數(shù)全國卷題18

如圖，四棱錐 $P-ABCD$ 中，底面 $ABCD$ 為平行四邊形， $\angle DAB=60°,AB=2 AD$ ， $PD \perp$ 底面 $ABCD.$
（I）證明∶ $PA \perp BD$ ;
（Ⅱ）若 $PD =AD$ ，求二面角 $A-PB-C$ 的余弦值.

2011年理數(shù)全國卷

【破解攻略】

此題可以用投影法破解.

二面角 $A-PB-C$ 可以拆分成兩部分： $A-PB-D, D-PB-C$ .

$D-PB-C$ 是一個直二面角，所以只要求出 $A-PB-D$ 的正弦值即可.

$\triangle PBD$ 是 $\triangle PBA$ 的投影，算出這兩個三角形的面積比，則此題得解.

參考答案：2011年理科數(shù)學全國卷題18

2017年理數(shù)全國卷C題19

如圖，四面體 $ABCD$ 中， $\triangle ABC$ 是正三角形， $\triangle ACD$ 是直角三角形， $\angle ABD=\angle CBD, AB=BD.$
（1）證明∶平面 $ACD \perp$ 平面 $ABC$ ;
（2）過 $AC$ 的平面交 $BD$ 于點 $E$ ，若平面 $AEC$ 把四面體 $ABCD$ 分成體積相等的兩部分，求二面角 $D-AE-C$ 的余弦值.

2017年理數(shù)全國卷C

【破解攻略】

對于此題，多數(shù)教輔書都只提供向量解法；其實，此題用投影法解答也是可以的.

平時多做一題多解的訓練，考場上就有更多主動權(quán).

詳情請看：2017年理數(shù)全國卷C題19

適用用向量法解答的考題

2020年理數(shù)全國卷A題18

如圖， $D$ 為圓錐的頂點， $O$ 是圓錐底面的圓心， $AE$ 為底面直徑， $AE=AD$ . $\triangle ABC$ 是底面的內(nèi)接正三角形， $P$ 為 $DO$ 上一點， $PO= \dfrac{\sqrt{6}}{6} DO$ .
（1）證明∶ $PA \perp$ 平面 $PBC$ ;
（2）求二面角 $B-PC-E$ 的余弦值.

2020年全國卷A

【破解攻略】

這個題既可以用向量法，也可以用求平面角的方法解答.

用向量法的關(guān)鍵在于： $PA,PB,PC$ 兩兩垂直，可以用于建立直角坐標系.

用幾何法解答的關(guān)鍵在于： $PC$ 是待求二面角的棱；

平面 $PAB$ 與 $PC$ 垂直.

向量法解答：2020年全國卷A題18

幾何法解答：2020年全國卷A題18

2018年理數(shù)全國卷A題18

如圖，四邊形 $ABCD$ 為正方形， $E，F(xiàn)$ 分別為 $AD，BC$ 的中點，以 $DF$ 為折痕把 $\triangle DFC$ 折起，使點 $C$ 到達點 $P$ 的位置，且 $PF \perp BF$ .
（1）證明∶平面 $PEF \perp$ 平面 $ABFD$ ;
（2）求 $DP$ 與平面 $ABFD$ 所成角的正弦值.

2018年理數(shù)全國卷A

【破解攻略】

參考答案：2018年理數(shù)全國卷A題18：用勾股定理求解

參考答案：2018年理數(shù)全國卷A題18：用體積公式求解

2019年理數(shù)全國卷C題19

圖1是由矩形 $ADEB，Rt \triangle ABC$ 和菱形 $BFGC$ 組成的一個平面圖形，其中 $AB=1，BE=BF=2，\angle FBC=60°.$ 將其沿 $AB，BC$ 折起使得 $BE$ 與 $BF$ 重合，連接 $DG$ ，如圖2.
（1）證明∶圖2中的 $A，C，G，D$ 四點共面，且平面 $ABC \perp$ 平面 $BCGE$ ;
（2）求圖 2 中的二面角 $B-CG-A$ 的大小.

2019年理數(shù)全國卷C

【破解攻略】

這是一個比較考驗空間想象力的考題.

用向量法或者求平面角的方法解答，其實都是可以的.

參考答案：2019年理數(shù)全國卷C題19

2020年全國卷B題20

如圖，已知三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 的底面是正三角形，側(cè)面 $BB_1C_1C$ 是矩形， $M,N$ 分別為 $BC，B_1C_1$ 的中點， $P$ 為 $AM$ 上一點，過 $B_1C_1$ 和 $P$ 的平面交 $AB$ 于 $E$ ，交 $AC$ 于 $F$ .
（1）證明∶ $AA_1 // MN$ , 且平面 $A_1AMN \perp$ 平面 $EB_1C_1F$ ;
（2）設 $O$ 為 $\triangle A_1B_1C_1$ 的中心. 若 $AO$ // 平面 $EB_1C_1F$ ,且 $AO=AB$ ，求直線 $B_1E$ 與平面 $A_1AMN$ 所成角的正弦值.

2020年全國卷B

參考答案：2020年全國卷B題20

【破解攻略】

2014年理數(shù)全國卷A題19

如圖，三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中，側(cè)面 $BB_1C_1C$ 為菱形， $AB \perp B_1C$ .
（Ⅰ）證明∶ $AC=AB_1$ ；
（Ⅱ）若 $AC \perp AB_1, \angle CBB_1=60°, AB=BC$ ，求二面角 $A-A_1B_1-C_1$ 的余弦值.

2014年理數(shù)全國卷A

【破解攻略】

參考答案：2014年理數(shù)卷A題19

2020年全國卷C題19

如圖，在長方體 $ABCD-A_1B_1C_1D_1$ 中，點 $E,F$ 分別在棱 $DD_1, BB_1$ 上，且 $2DE=ED_1，BF=2FB_1.$
（1）證明∶點 $C_1$ 在平面 $AEF$ 內(nèi);
（2）若 $AB=2，AD=1，AA_1=3$ ，求二面角 $A-EF-A_1$ 的正弦值.

2020年全國卷C

【破解攻略】

參考答案：2020年全國卷C題19

2011年理科數(shù)學北京卷題16

如圖，在四棱錐 $P-ABCD$ 中， $PA \perp$ 平面 $ABCD$ ，底面 $ABCD$ 是菱形， $AB=2, \angle BAD=60°.$
（Ⅰ）求證∶ $BD \perp$ 平面 $PAC$ ;
（Ⅱ）若 $PA=AB$ ，求 $PB$ 與 $AC$ 所成角的余弦值;
（Ⅲ）當平面 $PBC$ 與平面 $PDC$ 垂直時，求 $PA$ 的長.

2011年理科數(shù)學北京卷

【破解攻略】

2017年理數(shù)全國卷B題19

如圖，四棱錐 $P-ABCD$ 中，側(cè)面 $PAD$ 為等邊三角形且垂直于底面 $ABCD$ ， $AB=BC=\dfrac{1}{2}AD，\angle BAD=\angle ABC=90°$ ， $E$ 是 $PD$ 的中點.
（1）證明∶直線 $CE$ //平面 $PAB$ ;
（2）點 $M$ 在棱 $PC$ 上，且直線 $BM$ 與底面 $ABCD$ 所成角為 $45°$ ，求二面角 $M-AB-D$ 的余弦值.

2017年理數(shù)全國卷B

參考答案：2017年理數(shù)全國卷B題19

【破解攻略】

2016年理數(shù)全國卷A題18

如圖，在以 $A,B,C,D,E,F$ 為頂點的五面體中，面 $ABEF$ 為正方形， $AF =2FD$ ， $\angle AFD= 90°$ ，且二面角 $D-AF-E$ 與二面角 $C-BE-F$ 都是 $60°.$
（I）證明∶平面 $ABEF \perp$ 平面 $EFDC$ ;
（Ⅱ）求二面角 $E-BC-A$ 的余弦值.

2016年理數(shù)全國卷A

參考答案：2016年理數(shù)全國卷A題18

【破解攻略】

2013年理數(shù)全國卷B題18

如圖，直三棱柱 $ABC-A_1B_1C_1$ 中， $D,E$ 分別是 $AB,BB_1$ 的中點， $AA_1=AC=CB=\dfrac{\sqrt{2}}{2}AB.$
（I）證明∶ $BC_1$ //平面 $A_1CD$ ;
（Ⅱ）求二面角 $D-A_1C-E$ 的正弦值.

2013年理數(shù)全國卷B

參考答案：2013年理數(shù)全國卷B題18

【破解攻略】

2016年理數(shù)全國卷B題19

如圖，菱形 $ABCD$ 的對角線 $AC$ 與 $BD$ 交于點 $O$ ， $AB=5,AC =6$ ，點 $E,F$ 分別在 $AD,CD$ 上， $AE=CF= \dfrac {5}{4}$ ， $EF$ 交 $BD$ 于點 $H$ . 將 $\triangle DEF$ 沿 $EF$ 折到 $\triangle D'EF$ 的位置， $OD'= \sqrt{10}.$
（I）證明∶ $D'H \perp$ 平面 $ABCD$ ;
（Ⅱ）求二面角 $B-D'A-C$ 的正弦值.

2016年理數(shù)全國卷B

【破解攻略】

參考答案：2016年理數(shù)全國卷B題19

2012年理數(shù)北京卷題16

如圖1，在 $Rt \triangle ABC$ 中， $\angle C=90°, BC=3, AC=6$ ， $D,E$ 分別是 $AC,AB$ 上的點，且 $DE//BC$ ， $DE=2.$ 將 $\triangle ADE$ 沿 $DE$ 折起到 $\triangle A_1DE$ 的位置，使 $A_1C \perp CD$ ，如圖2.
（Ⅰ）求證∶ $A_1C \perp$ 平面 $BCDE$ ;
（Ⅱ）若 $M$ 是 $A,D$ 的中點，求 $CM$ 與平面 $A_1BE$ 所成角的大小;
（Ⅲ）線段 $BC$ 上是否存在點 $P$ ，使平面 $A_1DP$ 與平面 $A_1BE$ 垂直？說明理由.