1.4 向量

1.5、向量

一、平面向量

1、向量基礎(chǔ)知識(shí)
  • 向量概念：在數(shù)學(xué)中，把既有大小，又有方向的量叫做向量。
    判斷一個(gè)量是否為向量，可看該量是否有大小，是否有方向。
    向量與數(shù)量區(qū)別：數(shù)量只有大小，沒有方向，可以比較大?。幌蛄考扔写笮?，又有方向，且向量之間不能比較大小；但向量的模表示長度，可以比較大小。
  • 向量的表示方法
    ①有向線段，記作：\vec {AB} ②幾何方法 ③字母表示法，如：\vec a ④坐標(biāo)表示法，記作a=(x,y)
  • 向量的模
    向量\vec {AB} 的大小，也就是有向線段\vec {AB} 的長度，記作|\vec {AB} |;
    \vec {AB} 的取值范圍為[0,+∞]
    向量不能比較大小，但向量的模式數(shù)量，能比較大小。
  • 向量相關(guān)概念
    ①零向量：長度為0的向量叫做零向量，記作\vec 0 ，零向量與任一向量平行
    ②單位向量：長度為1個(gè)單位長度的向量
    ③相等向量：長度相等且方向相同的向量
    ④平行向量：方向相同或相反的非零向量
  • 平行向量與相等向量之間關(guān)系
    ①平行向量值要求方向相同或相反即可，用有向線段表示平行向量時(shí)，向量所在直線重合或平行
    ②平行向量要求兩個(gè)向量為非零向量。相等向量沒有這個(gè)限制，零向量等于零向量
    ③借助相等向量，可以把一組平行向量移動(dòng)到同一直線上，因此平行向量也叫共線向量
    ④平行向量不一定是相等向量，但相等向量一定是平行向量
    ⑤自由向量：一個(gè)向量只要不改變它的大小和方向，它的起點(diǎn)和終點(diǎn)可以隨意平行移動(dòng)的向量。高中階段學(xué)習(xí)的就是自由向量。
2、向量的加法
  • 向量的加法是指兩個(gè)向量和的運(yùn)算。和向量仍然是向量，大小和方向與原向量有關(guān)。
  • 向量加法的三角形法則
    向量平移，使得一個(gè)向量\vec a的終點(diǎn)為另一個(gè)向量\vec b的起點(diǎn)，即兩個(gè)向量首尾相連。作和向量，要求從向量\vec a的起點(diǎn)指向向量\vec b的終點(diǎn)。
  • 向量加法的平行四邊形法則
    兩向量平移到同一個(gè)起點(diǎn)，以兩個(gè)向量為鄰邊做平行四邊形，共同的起點(diǎn)作為向量起點(diǎn)，對(duì)角線的另一個(gè)端點(diǎn)作為向量的終點(diǎn)。兩向量共線時(shí)，平行四邊形法則不適用。
  • 需要說明幾點(diǎn)：

①當(dāng)兩個(gè)非零向量\vec a與\vec b不共線時(shí)
\vec a+\vec b的方向與\vec a，\vec b的方向都不同，且|\vec a+\vec b|<|\vec a|+|\vec b|
②當(dāng)兩個(gè)非零向量\vec a與\vec b共線時(shí)
向量\vec a與\vec b同向,則|\vec a+\vec b|=|\vec a|+|\vec b|
向量\vec a與\vec b反向，且向量|\vec a|<|\vec b|,此時(shí)，向量\vec a+\vec b與向量\vec b同向，所以，|\vec a+\vec b|=|\vec b|-|\vec a|
綜上可知：||\vec b|-|\vec a||≤|\vec a+\vec b|≤|\vec a|+|\vec b|

  • 向量的加法適用加法的交換律和結(jié)合律
3、向量的減法
  • 相反向量
    與\vec a長度相等方向相反的向量，叫做a的相反向量記作-\vec a
    零向量的相反向量仍是零向量
    任一向量與和它相反向量的和是零向量
  • 向量減法
    向量\vec a-\vec b等于向量\vec a加上\vec b的相反向量-\vec b，即\vec a-\vec b=\vec a+(-\vec b)
    *向量減法的作圖法
    參考向量加法的三角形法則和平行四邊形法則
4、向量的數(shù)乘
  • 概念：我們規(guī)定實(shí)數(shù)\lambda與向量a的積是一個(gè)向量，這種運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作\lambdaa，它的長度與方向規(guī)定如下：
    ①|(zhì)\lambdaa| = |\lambda| |a|
    ②當(dāng)\lambda>0時(shí)，\lambdaa的方向與a的方向相同
    當(dāng)\lambda<0時(shí)，\lambdaa的方向與a的方向相反
    當(dāng)\lambda=0時(shí)，\lambdaa=0
  • 向量數(shù)乘滿足結(jié)合律和分配律
  • 向量數(shù)乘幾何意義
    把向量\vec a擴(kuò)大或縮小，同時(shí)也可以將\vec a改變方向，也可以不改變方向，取決于\lambda的大小和正負(fù)。
  • 實(shí)數(shù)與向量可以求積，但是不能進(jìn)行加減運(yùn)算，加減運(yùn)算無意義
4、向量共線平行的條件

如果非零向量\vec a與\vec b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有一個(gè)實(shí)數(shù)\lambda，使b=\lambdaa。共有兩層含義
①對(duì)于向量\vec a(\vec a≠0)，\vec b，如果有一個(gè)實(shí)數(shù)\lambda，使b=\lambdaa，那么向量\vec a與\vec b共線；
②反過來，已知\vec a與\vec b共線，就一定滿足b=\lambdaa，具體大小和方向與\lambda取值有關(guān)

5、平面向量的基本定理

如果\vec e_1,\vec e_2是同一平面內(nèi)的不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量\vec a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)\lambda _1,\lambda _2,使得a=\lambda _1\vec e_1+\lambda _2\vec e_2。我們把不共線的向量\vec e_1,\vec e_2，叫做表示這個(gè)平面內(nèi)所有向量的一組基底。

6、平面向量的正交分解和坐標(biāo)表示
  • 正交分解
    把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量正交分解。
  • 坐標(biāo)表示
    把直角坐標(biāo)系中的一個(gè)向量分解到坐標(biāo)軸的x軸和y軸上，用坐標(biāo)來表示向量的方法。分解后\vec a=(x,y)
7、平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算
  • 加法運(yùn)算
    若\vec a= (x_1,y_1),\vec b= (x_2,y_2),則\vec a+\vec b=(x_1+x_2,y_1+y_2)
    即兩個(gè)向量和的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和
  • 減法運(yùn)算
    若\vec a= (x_1,y_1),\vec b= (x_2,y_2),則\vec a-\vec b=(x_1-x_2,y_1-y_2)
    即兩個(gè)向量差的坐標(biāo)分別等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的差
  • 數(shù)乘運(yùn)算
    若\vec a= (x_1,y_1)，則則\lambda \vec a=(\lambda x_1,\lambda y_1)
    即實(shí)數(shù)與向量積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)。
  • 向量坐標(biāo)的求法
    若\vec A(x_1,y_1),\vec B (x_2,y_2),則\vec {AB}=(x_1-x_2,y_1-y_2)
    即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點(diǎn)的坐標(biāo)減去起點(diǎn)的坐標(biāo)
通過平面直角坐標(biāo)系表示向量，可以把向量化為有序?qū)崝?shù)對(duì)，從而將向量的幾何問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)的數(shù)形結(jié)合，從而使幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，進(jìn)行代數(shù)的運(yùn)算即可解決向量的運(yùn)算問題。
7、平面向量共線的坐標(biāo)表示

設(shè)\vec a= (x_1,y_1),\vec b= (x_2,y_2),其中\vec b≠0，此時(shí)
若\vec a與\vec b共線，則x_1y_2-x_2y_1=0
反之，若x_1y_2-x_2y_1=0，則\vec a與\vec b共線

8、平面向量共線的數(shù)量積
  • 平面向量的數(shù)量積的定義
    ①向量的夾角
    已知兩個(gè)非零向量\vec a和\vec b，若\vec {OA}=\vec a,\vec {OB}=\vec b,則∠AOB=θ(0°≤θ≤180°)叫做\vec a與\vec b的夾角。
    當(dāng)θ=90°時(shí)，即\vec a與\vec b的夾角是90°，我們說\vec a與\vec b垂直，記作\vec a⊥\vec b
    當(dāng)θ=0°時(shí)，即\vec a與\vec b的夾角是0°，我們說\vec a與\vec b垂共線，且同向
    當(dāng)θ=180°時(shí)，即\vec a與\vec b的夾角是180°，我們說\vec a與\vec b共線，且反向
  • 向量的數(shù)量積
    已知兩個(gè)非零向量\vec a與\vec b，θ為\vec a與\vec b的夾角，我們把數(shù)量|\vec a| |\vec b|cosθ叫做\vec a與\vec b的數(shù)量積，記作\vec a.\vec b，即\vec a.\vec b=|\vec a| |\vec b|cosθ
  • 兩向量的數(shù)量積，其結(jié)果為數(shù)量，而不是向量,它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦的乘積，其符號(hào)由夾角的余弦值決定。
  • 在運(yùn)用數(shù)量積公式解題時(shí)，一定要注意兩向量夾角的范圍是[0°，180°]
  • 在書寫兩個(gè)向量的數(shù)量積時(shí)，中間的點(diǎn)不能省略不寫，比如\vec a \vec b這種寫法是錯(cuò)誤的。
  • 向量的投影
    數(shù)量積\vec a.\vec b等于\vec a的長度|\vec a|與\vec b在\vec a的方向上的投影|\vec b|cosθ的乘積。
9、平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)

設(shè)\vec a、\vec b都是非零向量，\vec e是與\vec b方向相同的單位向量，θ是\vec a與\vec e的夾角，\vec a= (x_1,y_1),\vec b= (x_2,y_2),則
①\vec e.\vec a=\vec a.\vec e=|\vec a|cosθ
②\vec a⊥\vec b?\vec a.\vec b= 0
③當(dāng)\vec a與\vec b同向時(shí)，\vec a.\vec b=|\vec a| |\vec b|；當(dāng)\vec a與\vec b反向時(shí)，\vec a.\vec b=-|\vec a| |\vec b|
④\vec a.\vec a = |\vec a|^2,|\vec a|=\sqrt {\vec a.\vec a}= \sqrt {x_1^2+y_1^2}
⑤cosθ = \frac{\vec a.\vec b}{|\vec a|.|\vec b|}= \frac{x_1x_2+y_1y_2} {{\sqrt {x_1^2+y_1^2}.\sqrt {x_2^2+y_2^2}}}
⑥|\vec a.\vec b|≤|\vec a|.|\vec b|

10、平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

設(shè)i，j為x軸、y軸上的單位向量，即i=(1,0),j=(0,1),且\vec a、\vec b為兩個(gè)非零向量，\vec a= (x_1,y_1),\vec b= (x_2,y_2),求i.i=1,j.j=1，i.j=j.i=0,由有\vec a.\vec b=(x_1i+y_1j).(x_2i+y_2j)=x_1x_2j^2+x_1y_2i.j+x_2y_1i.j+y_1y_2j^2=x_1x_2+y_1y_2
也就是說：兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和。

二、空間向量

1、空間向量及其加法與數(shù)乘運(yùn)算
  • 概念
    在空間中，我們把具有大小和方向的量叫做空間向量。
    相等向量：同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量；
    零向量：長度為0的向量
    單位向量：模為1的向量
  • 向量加法的幾個(gè)重要結(jié)論
    ①和向量的模滿足
    ||\vec b|-|\vec a||≤|\vec a+\vec b|≤|\vec a|+|\vec b|
    當(dāng)\vec a，\vec b同向時(shí)，右等號(hào)成立
    當(dāng)\vec a，\vec b反向時(shí)，左等號(hào)成立
    當(dāng)\vec a，\vec b中有零向量時(shí)，兩等號(hào)同時(shí)成立
    當(dāng)\vec a，\vec b不共線時(shí)，等號(hào)都不成立，此時(shí)上式的幾何意義是三角形任意一邊小于另兩邊之和，大于另兩邊之差 。
    ②幾個(gè)向量相加，可通過平移將它們轉(zhuǎn)化為首尾相連的向量
    即\vec {MN}=\vec {MA}+\vec {AB}+\vec {BC}+\vec {CD}+\vec {DN}
    ③首尾相連的若干個(gè)向量構(gòu)成一個(gè)封閉圖形，則它們的和為0
2、共線向量和共面向量
  • 共線向量
    ①定義：如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則稱這些向量為共線向量或平行向量，\vec a平行于\vec b，記作\vec a//\vec b
    ②共線向量定理
    對(duì)空間任意兩個(gè)向量\vec a,\vec a(\vec a≠0)，\vec a//\vec b的充要條件是存在唯一實(shí)數(shù)λ，使\vec a=λ\vec b
    ③推論：如果l為經(jīng)過已知點(diǎn)A且平行于已知向量\vec a的直線，那么對(duì)任一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t，滿足等式：\vec {OP}=\vec {OA}+t\vec a,其中向量\vec a叫做直線l的方向向量。
  • 共面向量
    ①定義：通常我們把平行于同一平面的向量，叫做共面向量。
    ②共面向量定理：如果兩個(gè)向量\vec a,\vec b不共線，則向量\vec p與向量\vec a,\vec b共面的充要條件是存在唯一的一對(duì)一實(shí)數(shù)x，y，使\vec p=x\vec a,+y\vec b
    ③推論1：空間中的一點(diǎn)p位于平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使\vec {OP}=x\vec {MA}+y\vec {MB}；或空間內(nèi)任一點(diǎn)O，有\vec {OP}=\vec {OM}+x\vec {MA}+y\vec {MB}
    ④推論2：空間中的一點(diǎn)P與不共線的三點(diǎn)A、B、C共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)使\vec {OP}=x\vec {OA}+y\vec {OB},+z\vec {OC}且x+y+z=1（其中O為空間任一點(diǎn)）
    ⑤如果三個(gè)不共面的向量\vec a，\vec b，\vec c滿足等式k_1 \vec a+k_2 \vec b+k_3 \vec c=0,那么k_1=k_2=k_3
3、空間向量的基本定理
  • 空間向量的基本定理
    如果三個(gè)向量\vec a，\vec b，\vec c不共面，那么對(duì)空間任一向量\vec p存在一個(gè)唯一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使p=x\vec a+y\vec b+z\vec c,其中{\vec a，\vec b，\vec c}叫做空間的一個(gè)基底，\vec a，\vec b，\vec c為基向量。
  • 推論
    設(shè)O,A,B,C是不共面的四點(diǎn)，則對(duì)空間任一點(diǎn)P,都存在唯一的三個(gè)有序是數(shù)組x,y,z，使\vec {0P}p=x\vec {OA}+y\vec {OB}+z\vec {OC}
4、空間向量的數(shù)量積
  • 夾角的定義
    已知兩個(gè)非零向量 \vec a，\vec b，在空間任取一點(diǎn)o，做\vec {OA}=\vec a,\vec {OB}=\vec b,則∠AOB叫做向量 \vec a，\vec b的夾角，記作<\vec a，\vec b>
  • 夾角的范圍
    空間任意兩個(gè)向量的夾角的取值范圍是0≤<\vec a，\vec b>≤π
    當(dāng)<\vec a，\vec b>=0時(shí)，兩向量同向共線
    當(dāng)<\vec a，\vec b>=π時(shí)，兩向量反向共線
    當(dāng)<\vec a，\vec b>=\frac{π} {2}時(shí)，兩向量垂直，記作 \vec a⊥\vec b
    所以，若\vec a，\vec b共線或平行，則<\vec a，\vec b>=0或<\vec a，\vec b>=π。
  • 向量的數(shù)量積
    已知空間兩向量\vec a，\vec b，則|\vec a.\vec b=\vec a||\vec b|.cos<\vec a，\vec b>
  • 向量數(shù)量積的性質(zhì)
    ①\vec a.\vec a=|\vec a |^2,向量自身的數(shù)量積就是本身模的平方
    ②\vec a.\vec b=的充要條件是\vec a⊥\vec b
    ③兩個(gè)非零向量\vec a，\vec b的夾角可由\vec a，\vec b的數(shù)量積表示
    cos<\vec a，\vec b> = \frac{\vec a.\vec b}{|\vec a|.|\vec b|}
    ④對(duì)任意向量\vec a，\vec b，總有|\vec a.\vec b|≤|\vec a|.|\vec b|，并且只有當(dāng)\vec a//\vec b時(shí)，等號(hào)成立。
5、空間直角坐標(biāo)系
  • 單位正交基底
    若空間一個(gè)基底的三個(gè)基向量互相垂直，且長都為1，則這個(gè)基底叫做單位正交基底，通常用{i,j,k}
  • 空間直角坐標(biāo)系的建立
    在空間中選取一點(diǎn)O和一個(gè)單位正交基底{i,j,k},以點(diǎn)O為原點(diǎn)，分別以i，j，k的方向?yàn)檎较蚪⑷龡l數(shù)軸：x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標(biāo)系O-XYZ,點(diǎn)O為原點(diǎn)，i，j，k都叫做坐標(biāo)向量。
  • 空間直角坐標(biāo)系的畫法
    做空間直角坐標(biāo)系O-xyz，一般使∠xOy=135°(或45°)，∠yOz=90°
  • 向量的坐標(biāo)表示
    給定一個(gè)空間直角坐標(biāo)系和向量\vec a，且設(shè)\vec i，\vec j，\vec k為坐標(biāo)向量，由空間向量基本定理知，存在唯一的有序是數(shù)組(a_1,a_2,a_3),使a=a_1 \vec i+a_2 \vec j+a_3 \vec k,有序?qū)崝?shù)組(a_1,a_2,a_3)叫做向量\vec a在空間直角坐標(biāo)系O-xyz中的坐標(biāo)，即\vec a=(a_1,a_2,a_3).設(shè)A是空間任一點(diǎn)，\vec {OA}=x \vec i+y \vec j+z \vec k,則稱（x，y，z）稱為點(diǎn)A的空間直角坐標(biāo)。
6、空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算
  • 空間向量的坐標(biāo)
    一個(gè)向量在直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)等于表示這兩個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)，即若A(x_1,y_1,z_1),B(x_2,y_2,z_2)
    則\vec {AB}=\vec {OB}-\vec {OA}=(x_2,y_2,z_2)-(x_1,y_1,z_1) = (x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)
  • 空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算
    設(shè)\vec a=(x_1,y_1,z_1)，\vec b=(x_2,y_2,z_2)則
    ①|(zhì)\vec a|=\sqrt {x_1^2+y_1^2+z_1^2}
    ②\vec a+\vec b= (x_2+x_1,y_2+y_1,z_2+z_1)
    ③\vec a+\vec b= (x_2-x_1,y_2-y_1,z_2-z_1)
    ④λ\vec a = A(λx_1,λy_1,λz_1)
    ⑤\vec a.\vec b=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2
  • 空間向量平行（共線）的充要條件
    設(shè)\vec a=(x_1,y_1,z_1)，\vec b=(x_2,y_2,z_2)則
    \vec a//\vec b?x_1=λx_2,y_1=λy_2,z_1=λz_2
  • 空間向量垂直的充要條件
    設(shè)\vec a=(x_1,y_1,z_1)，\vec b=(x_2,y_2,z_2)則
    \vec a⊥\vec b?\vec a.\vec b=0?x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2=0
7、平面的法向量
  • 已知平面α，直線l⊥α，去l的方向向量a，有a⊥α，則稱a為平面α的法向量。
  • 已知一平面內(nèi)兩條相交直線的方向向量，可求出該平面的一個(gè)法向量。一個(gè)平面的法向量不是唯一的，在應(yīng)用時(shí)，可適當(dāng)取篇平面的一個(gè)法向量。
  • 一般地，由直線、平面的位置關(guān)系以及直線的方向向量和平面的法向量，可歸納出如下結(jié)論：
    設(shè)直線l，m的方向向量分別為a，b，平面α，β的法向量分別為u，v，則：
    l//m?a//b?a=kb,k∈R
    l⊥m?a⊥b?a.b=0
    l//α?a⊥u?a.u=0
    l⊥α?a//u?a=ku,k∈R
    α//β?u//v?u=kv,k∈R
    α⊥β?u⊥v?u.v=0
8、用向量方法判定空間中的平行關(guān)系

空間中的平行關(guān)系是指：線線平行，線面平行，面面平行。

  • 線線平行
    設(shè)直線l_1,l_2的方向向量分別是\vec a,\vec b,則要證明l_1//l_2，只需證明\vec a//\vec b，即\vec a=k\vec b(k∈R)
  • 線面平行
    ①設(shè)直線l的方向向量為\vec a，平面α的法向量為\vec u，則只需證明\vec a⊥\vec u，即\vec a.\vec u=0
    ②根據(jù)線面平行的判定定理：“如果平面外直線與平面內(nèi)的一條直線平行，那么這條直線和這個(gè)平面平行”，要證明一條直線和一個(gè)平面平行，也可以再平面內(nèi)找一個(gè)向量與已知直線的方向向量時(shí)共線向量。
    ③根據(jù)共面向量定理可知，如果一個(gè)向量和兩個(gè)不共線的向量是共面向量那么這個(gè)向量與這兩個(gè)不共線向量確定的平面必定平行。因此要證明一條直線和一個(gè)平面平行，只要證明這條直線的方向向量能夠用平面內(nèi)兩個(gè)不共線向量線性表示即可。
  • 面面平行
    ①由面面平行的判定定理知，要證明面面平行，只要轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的線面平行，線線平行即可。
    ②若能求出平面α，β的法向量\vec u，\vec v，則要證明α//β，只需證明\vec u//\vec v
9、用向量方法判定空間中的垂直關(guān)系

空間中的垂直關(guān)系主要是指：線線垂直，線面垂直，面面垂直

  • 線線垂直
    設(shè)直線l_1，l_2的方向向量分別為\vec a，\vec b，只需證\vec a⊥\vec b，即\vec a.\vec b=0
  • 線面垂直
    ①設(shè)直線l的方向向量是\vec a,平面α的法向量是\vec u，則要證l⊥α，只需證\vec a//\vec u
    ②根據(jù)線面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直
  • 面面垂直
    根據(jù)面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線面垂直和線線垂直；怎么兩個(gè)平面的法向量垂直
10、利用向量求空間角
  • 求異面直線所成的角
  • 求直線和平面所成的角
  • 求二面角
11、利用向量求空間距離

空間中的距離有：點(diǎn)與點(diǎn)的距離、點(diǎn)到線的距離、點(diǎn)到面的距離、線與線的距離、線與面的距離、面與面的距離。

  • 點(diǎn)面距離的求法
  • 兩異面直線距離的求法
  • 空間中各種距離一般都可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)點(diǎn)距、點(diǎn)線距、點(diǎn)面距、其中點(diǎn)點(diǎn)距、點(diǎn)線距最終都可以用空間向量的模來求解，而點(diǎn)面距則可由平面的法向量來求解。
12、求平面法向量的方法與步驟

①選向量：選取兩相交向量\vec{AC}、\vec{AB}
②設(shè)坐標(biāo)：設(shè)平面法向量的坐標(biāo)為\vec n=(x,y,z)
③解方程：解方程\vec n.\vec{AC}=0,\vec n.\vec{AB}=0
④定結(jié)論：求出向量中的三個(gè)坐標(biāo)不是具體的值而是比例關(guān)系，設(shè)定某個(gè)坐標(biāo)為非零常數(shù)，而得到其它坐標(biāo)。

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