Convolution:
「1」 Spatial Convolution
「2」 Spectral Convolution

Convolution in spatial space:
In terms of spectral space: , where means **Fourier Transform
**.

In other words, convolution in spatial space could be translated as:
「1」Convert function and into spectral space (),
「2」Multiple two converted function element-wisely (),
「3」Convert it back to spatial space ().

以上就是一些卷積的相關(guān)信息知識(shí)。
從上可以發(fā)現(xiàn)如果要將Spatial和Spectral上的卷積聯(lián)系在一起，很重要的部分就是傅里葉變換，傅里葉變換的公式如下所示：

對(duì)于上述公式，重要的部分就是，其中表示的復(fù)數(shù)里的標(biāo)志，t表示的是時(shí)間（如果是時(shí)域轉(zhuǎn)化為頻域），x表示的就是頻率（角頻率）（表示的就是時(shí)間t里面旋轉(zhuǎn)的角度），它在傅里葉變換中起到了比較重要的作用，其實(shí)是拉普拉斯算子的廣義特征函數(shù)（就是線性代數(shù)中的特征向量的那種東西），具體的理解可以看參考。對(duì)于一幅圖片來說，它的拉普拉斯算子其實(shí)就是一個(gè)拉普拉斯矩陣，該矩陣對(duì)應(yīng)的特征 向量，表示的就是。具體的，拉普拉斯矩陣則可以表示成，即度矩陣（每個(gè)點(diǎn)的度）減去鄰接矩陣（兩點(diǎn)之間的二元值或者是權(quán)重）。

通過上述的介紹，就可以將傳統(tǒng)的傅里葉公式轉(zhuǎn)化為基于圖的傅里葉公式：

其中，即特征矩陣。

所以傳統(tǒng)的卷積操作（不一定是位于圖上的卷積操作）就可以轉(zhuǎn)化成位于圖上的卷積操作公式：

而將當(dāng)作一個(gè)可學(xué)習(xí)的卷積核，那么最終的卷積公式就是

從上面的整個(gè)推導(dǎo)過程中可以看到，從傳統(tǒng)的卷積（不是基于圖的卷積）通過與Spectral的連接，變換成了圖上的卷積，整個(gè)過程都有比較嚴(yán)密的推導(dǎo)。

相比之下可以提一提Spatial Graph Convolution Network

相比于上述的譜圖卷積，空間域上的卷積更加的intuitive一些。
GCN的每一層其實(shí)就是將neighborhood中的neighbors通過消息傳遞函數(shù)，聚合起來，然后通過狀態(tài)更新函數(shù)完成對(duì)點(diǎn)的更新，從公式中可以比較直觀的感受到這個(gè)過程。

其中表示的就是消息傳遞函數(shù)，它將每個(gè)neighbor的相關(guān)信息，自己的信息，以及邊信息綜合進(jìn)行考慮，然后傳遞到central上，然后再結(jié)合自身的信息update。整個(gè)過程其實(shí)就是模仿傳統(tǒng)CNN，將周圍的信息aggregate到一個(gè)點(diǎn)上。