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1. 基本概念

1.1 點(diǎn)和點(diǎn)集之間的關(guān)系

任意一點(diǎn) $P \in R^{2}$ 與任意一個(gè)點(diǎn)集 $E \in R^{2}$ 之間必有以下三種關(guān)系中的一種：
(1) 內(nèi)點(diǎn)：如果存在點(diǎn) $P$ 的某個(gè)領(lǐng)域 $U(P)$ ，使得 $U(P) \subset E$ ，則稱 $P$ 為 $E$ 的內(nèi)點(diǎn)。
(2) 外點(diǎn)：如果存在點(diǎn) $P$ 的某個(gè)領(lǐng)域 $U(P)$ ，使得 $U(P) \cap E = \varnothing$ ，則稱 $P$ 為 $E$ 的外點(diǎn)。
(3) 邊界點(diǎn)：如果點(diǎn) $P$ 的任一領(lǐng)域內(nèi)既包含有屬于 $E$ 的點(diǎn)，又含有不屬于 $E$ 的點(diǎn)，則稱 $P$ 為 $E$ 的邊界點(diǎn)。

$E$ 的邊界點(diǎn)的全體，稱為 $E$ 的邊界，記作 $\partial E$ 。
$E$ 的內(nèi)點(diǎn)必屬于 $E$ ， $E$ 的外點(diǎn)必不屬于 $E$ ， $E$ 的邊界點(diǎn)可能屬于 $E$ ，也可能不屬于 $E$ 。

聚點(diǎn)：如果對于任意給定的 $\delta > 0$ ，點(diǎn) $P$ 的去心領(lǐng)域 $\overset{\circ}{U}(P,\delta )$ 內(nèi)總有 $E$ 中的點(diǎn)，則稱 $P$ 是 $E$ 的聚點(diǎn)。

開集：如果點(diǎn)集 $E$ 的點(diǎn)都是 $E$ 的內(nèi)點(diǎn)，則稱 $E$ 為開集。
閉集：如果點(diǎn)集 $E$ 的邊界 $\partial E \subset E$ ，則稱 $E$ 為閉集。
連通集：如果點(diǎn)集 $E$ 內(nèi)任何兩點(diǎn)，都可以用折線連接起來，且該折線上的點(diǎn)都屬于 $E$ ，則稱 $E$ 為連通集。

區(qū)域（或開區(qū)域）：連通的開集稱為區(qū)域。
閉區(qū)域：開區(qū)域連同它的邊界一起所構(gòu)成的點(diǎn)集稱為閉區(qū)域。

有界集：對于平面點(diǎn)集 $E$ ，如果存在某一正數(shù) $r$ ，使得 $E\subset U(O,r)$ ，其中 $O$ 為坐標(biāo)原點(diǎn)，則稱 $E$ 為有界集。
無界集：一個(gè)集合如果不是有界集，就稱這集合為無界集。

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1.2 多元函數(shù)的極限

設(shè)二元函數(shù) $f(P) = f(x, y)$ 的定義域?yàn)? $D,P_0(x_0,y_0)$ 是 $D$ 的聚點(diǎn)，如果存在常數(shù) $A$ ，對于任意給定的正數(shù) $\epsilon$ ，總存在正數(shù) $\delta$ ，使得當(dāng)點(diǎn) $P(x, y) \in D \cap \overset{\circ}{U}(P,\delta )$ 時(shí)，都有 $|f(P) - A| = |f(x, y) - A| < \epsilon$ 成立，那么就稱常數(shù) $A$ 為函數(shù) $f(x,y)$ 當(dāng) $(x, y) \rightarrow (x_0, y_0)$ 時(shí)的極限，記作 $\underset{(x,y) \rightarrow (x_0, y_0) }{lim} f(x,y) = A 或 f(x, y) \rightarrow A ((x,y) \rightarrow (x_0, y_0))$

1.2 多元函數(shù)的連續(xù)性

設(shè)二元函數(shù) $f(P) = f(x, y)$ 的定義域?yàn)? $D,P_0(x_0,y_0)$ 是 $D$ 的聚點(diǎn)，且 $P_0 \in D$ ，如果 $\underset{(x,y) \rightarrow (x_0, y_0) }{lim} f(x,y) = f(x_0, y_0)$ 則稱函數(shù) $f(x, y)$ 在點(diǎn) $P_0(x_0,y_0)$ 連續(xù)。

設(shè)函數(shù) $f(x, y)$ 在 $D$ 上有定義， $D$ 內(nèi)的每一點(diǎn)都是函數(shù)定義域的聚點(diǎn)。如果函數(shù) $f(x, y)$ 在 $D$ 的每一點(diǎn)都連續(xù)，那么就稱函數(shù) $f(x, y)$ 在 $D$ 上連續(xù)，或者函數(shù) $f(x, y)$ 是 $D$ 上的連續(xù)函數(shù)。

設(shè)函數(shù) $f(P) = f(x, y)$ 的定義域?yàn)? $D,P_0(x_0,y_0)$ 是 $D$ 的聚點(diǎn)，如果函數(shù) $f(x, y)$ 在點(diǎn) $P_0(x_0,y_0)$ 不連續(xù)，則稱 $P_0(x_0,y_0)$ 為函數(shù) $f(P) = f(x, y)$ 的間斷點(diǎn)。

一切多元初等函數(shù)（多元初等函數(shù)是指可用一個(gè)式子表示的多元函數(shù)）在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的，所謂定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域。

2. 偏導(dǎo)數(shù)

2.1 定義

設(shè)函數(shù) $z=f(x, y)$ 在點(diǎn) $(x_0, y_0)$ 的某一領(lǐng)域內(nèi)有定義，當(dāng) $y$ 固定在 $y_0$ 而 $x$ 在 $x_0$ 處有增量 $\Delta x$ 時(shí)，相應(yīng)的函數(shù)有增量 $f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)$ ，如果 $\underset{\Delta x\rightarrow 0 }{lim} \frac{f(x_0 + \Delta x, y_0) - f(x_0, y_0)}{\Delta x}\tag{1}$ 存在，則稱此極限為函數(shù) $z=f(x, y)$ 在點(diǎn) $(x_0, y_0)$ 處對 $x$ 的偏導(dǎo)數(shù)，記作
$\frac{\partial z}{\partial x}\mid _{\begin{matrix} x = x_0\\ y = y_0 \end{matrix}}, \frac{\partial f}{\partial x}\mid _{\begin{matrix} x = x_0\\ y = y_0 \end{matrix}}, z_x\mid _{\begin{matrix} x = x_0\\ y = y_0 \end{matrix}} 或 f_x(x_0,y_0)$
類似的，函數(shù) $z=f(x, y)$ 在點(diǎn) $(x_0, y_0)$ 處對 $y$ 的偏導(dǎo)數(shù)定義為 $\underset{\Delta y\rightarrow 0 }{lim} \frac{f(x_0 , y_0+\Delta y) - f(x_0, y_0)}{\Delta y}\tag{1}$
記作
$\frac{\partial z}{\partial y}\mid _{\begin{matrix} x = x_0\\ y = y_0 \end{matrix}}, \frac{\partial f}{\partial y}\mid _{\begin{matrix} x = x_0\\ y = y_0 \end{matrix}}, z_y\mid _{\begin{matrix} x = x_0\\ y = y_0 \end{matrix}} 或 f_y(x_0,y_0)$

一元函數(shù)在某點(diǎn)具有導(dǎo)數(shù)，則它在該點(diǎn)必定連續(xù)，但對于多元函數(shù)來說，即使各偏導(dǎo)數(shù)在某點(diǎn)都存在，也不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)，因?yàn)楦髌珜?dǎo)數(shù)存在只能保證點(diǎn) $P$ 沿著平行于坐標(biāo)軸方向趨于 $P_0$ 時(shí)，函數(shù)值 $f(P)$ 趨于 $f(P_0)$ ，但不能保證點(diǎn) $P$ 按任何方式趨于 $P_0$ 時(shí)，函數(shù) 值 $f(P)$ 都趨于 $f(P_0)$ 。

2.2 高階偏導(dǎo)數(shù)

設(shè)函數(shù) $z=f(x, y)$ 在區(qū)域 $D$ 內(nèi)具有偏導(dǎo)數(shù) $\frac{\partial z}{\partial x} = f_x(x, y),\frac{\partial z}{\partial y} = f_y(x, y)$
那么在 $D$ 內(nèi) $f_x(x, y), f_y(x, y)$ 都是 $x, y$ 的函數(shù)，如果這兩個(gè)函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)也存在，則稱它們是函數(shù) $z=f(x, y)$ 的二階偏導(dǎo)數(shù)：
$\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial z}{\partial x}) = \frac{\partial^2 z}{\partial x^2}= f_{xx}(x, y),\frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial z}{\partial x}) = \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}= f_{xy}(x, y)$
$\frac{\partial}{\partial x}(\frac{\partial z}{\partial y}) = \frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}= f_{yx}(x, y),\frac{\partial}{\partial y}(\frac{\partial z}{\partial y}) = \frac{\partial^2 z}{\partial y^{2}}= f_{yy}(x, y)$

定理 ??? 如果函數(shù) $z=f(x, y)$ 的兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù) $\frac{\partial^2 z}{\partial x\partial y}, \frac{\partial^2 z}{\partial y\partial x}$ 在區(qū)域 $D$ 內(nèi)連續(xù)，那么在該區(qū)域內(nèi)這兩個(gè)二階混合偏導(dǎo)數(shù)必相等。也就是說，二階混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)的條件下與求導(dǎo)的次序無關(guān)。

3. 全微分

3.1 定義

設(shè)函數(shù) $z=f(x, y)$ 在點(diǎn) $(x, y)$ 的某一領(lǐng)域內(nèi)有定義，如果函數(shù)在點(diǎn) $(x, y)$ 的全增量
$\Delta z = f(x + \Delta x, y+ \Delta y) - f(x, y)$
可表示為
$\Delta z = A \Delta x + B \Delta y + o(\rho )$
其中 $A,B$ 不依賴于 $\Delta x, \Delta y$ 而僅與 $x,y$ 有關(guān)， $\rho = \sqrt{(\Delta x)^{2} + (\Delta y)^{2}}$ ，則稱函數(shù) $z=f(x, y)$ 在點(diǎn) $(x, y)$ 可微分，而 $A\Delta x + B\Delta y$ 稱為函數(shù) $z=f(x, y)$ 在點(diǎn) $(x, y)$ 的全微分，記作 $dz$ ，即
$dz = A\Delta x + B\Delta y$
如果函數(shù)在區(qū)域 $D$ 內(nèi)各點(diǎn)處都可微分，那么稱這函數(shù)在 $D$ 內(nèi)可微分。

多元函數(shù)在某點(diǎn)的偏導(dǎo)數(shù)存在，并不能保證函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)；但是，如果函數(shù) $z=f(x, y)$ 在點(diǎn) $(x, y)$ 可微分，那么這函數(shù)在該點(diǎn)必連續(xù)。

定理 1 ??? 如果函數(shù) $z=f(x, y)$ 在點(diǎn) $(x, y)$ 可微分，則該函數(shù)在點(diǎn) $(x, y)$ 的偏導(dǎo)數(shù) $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$ 必定存在，且函數(shù) $z=f(x, y)$ 在點(diǎn) $(x, y)$ 的全微分為 $dz = \frac{\partial z}{\partial x} \Delta x + \frac{\partial z}{\partial y} \Delta y$

定理 2 ??? 如果函數(shù) $z=f(x, y)$ 的偏導(dǎo)數(shù) $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$ 在點(diǎn) $(x, y)$ 連續(xù)，則函數(shù)在該點(diǎn)可微分。

3.2 全微分形式不變性

設(shè)函數(shù) $z = f(u, v)$ 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則有全微分 $dz = \frac{\partial z}{\partial u}du + \frac{\partial z}{\partial v}dv$
如果 $u,v$ 又是中間變量，即 $u = \varphi(x,y)$ 、 $v = \psi(x,y)$ ，且則兩個(gè)函數(shù)也具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù) $z = f[\varphi(x,y), \psi(x,y)]$ 的全微分為 $dz = \frac{\partial z}{\partial x}dx + \frac{\partial z}{\partial y}dy$
由4.2中的公式可得
$dz = (\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x})dx + (\frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y})dy \\ = \frac{\partial z}{\partial u}(\frac{\partial u}{\partial x}dx + \frac{\partial u}{\partial y}dy) + \frac{\partial z}{\partial v}(\frac{\partial v}{\partial x}dx + \frac{\partial v}{\partial y}dy) \\ = \frac{\partial z}{\partial u}du + \frac{\partial z}{\partial v}dv$

4. 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)

4.1 一元函數(shù)與多元函數(shù)復(fù)合的情形

定理 1 ??? 如果函數(shù) $u = \varphi(t)$ 及 $v = \psi(t)$ 都在點(diǎn) $t$ 可導(dǎo)，函數(shù) $z = f(u, v)$ 在對應(yīng)點(diǎn) $(u, v)$ 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù) $z = f[\varphi(t), \psi(t)]$ 在點(diǎn) $t$ 可導(dǎo)，且有
$\frac{dz}{dt} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{du}{dt} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dt}$
這里的 $\frac{dz}{dt}$ 稱為全導(dǎo)數(shù)。

4.2 多元函數(shù)與多元函數(shù)復(fù)合的情形

定理 2 ??? 如果函數(shù) $u = \varphi(x,y)$ 及 $v = \psi(x,y)$ 都在點(diǎn) $(x, y)$ 具有對 $x$ 及對 $y$ 的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù) $z = f(u, v)$ 在對應(yīng)點(diǎn) $(u, v)$ 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù) $z = f[\varphi(x,y), \psi(x,y)]$ 在點(diǎn) $(x,y)$ 的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，且有
$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial x}$
$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{\partial v}{\partial y}$

4.3 其他情形

定理 3 ??? 如果函數(shù) $u = \varphi(x,y)$ 在點(diǎn) $(x, y)$ 具有對 $x$ 及對 $y$ 的偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù) $v=\psi(y)$ 在點(diǎn) $y$ 處可導(dǎo)，函數(shù) $z = f(u, v)$ 在對應(yīng)點(diǎn) $(u, v)$ 具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則復(fù)合函數(shù) $z = f[\varphi(x,y), \psi(y)]$ 在點(diǎn) $(x,y)$ 的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在，且有
$\frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial x}$
$\frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\partial z}{\partial u}\frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial z}{\partial v}\frac{dv}{dy}$

4.4 筆記

無論 $z$ 對誰求導(dǎo)，也不論求了幾階導(dǎo)，求導(dǎo)之后的新函數(shù)仍具有與原來函數(shù)完全相同的復(fù)合結(jié)構(gòu)。

5. 隱函數(shù)的求導(dǎo)

5.1 一個(gè)方程的情形

隱函數(shù)存在定理 1 ??? 設(shè)函數(shù) $F(x, y)$ 在點(diǎn) $(x_0, y_0)$ 的某一領(lǐng)域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且 $F(x_0, y_0) = 0, F_y'(x_0, y_0) \neq 0$ ，則方程 $F(x_0, y_0) = 0$ 在點(diǎn) $(x_0, y_0)$ 的某一領(lǐng)域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù) $y=f(x)$ ，它滿足條件 $y_0=f(x_0)$ ，并有 $\frac{dy}{dx} = -\frac{F_x}{F_y}$
此公式將 $y=f(x)$ 帶入方程 $F(x, y) = 0$ 然后對等式兩邊求導(dǎo)即可得出。

隱函數(shù)存在定理 2 ??? 設(shè)函數(shù) $F(x, y, z)$ 在點(diǎn) $(x_0, y_0, z_0)$ 的某一領(lǐng)域內(nèi)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且 $F(x_0, y_0, z_0) = 0, F_y'(x_0, y_0, z_0) \neq 0$ ，則方程 $F(x_0, y_0, z_0) = 0$ 在點(diǎn) $(x_0, y_0, z_0)$ 的某一領(lǐng)域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù) $z=f(x, y)$ ，它滿足條件 $z_0=f(x_0, y_0)$ ，并有 $\frac{\partial z}{\partial x}= -\frac{F_x}{F_z}, \frac{\partial z}{\partial y}= -\frac{F_y}{F_z}$
同理，將 $z=f(x,y)$ 帶入方程 $F(x, y, z) = 0$ 然后對等式兩邊求導(dǎo)即可得出。

5.2 方程組的情形

隱函數(shù)存在定理 3 ??? 設(shè)函數(shù) $F(x, y, u, v), G(x, y, u, v)$ 在點(diǎn) $P(x_0, y_0, u_0, v_0)$ 的某一領(lǐng)域內(nèi)具有對各個(gè)變量的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又 $F(x_0, y_0, u_0, v_0) = 0, G(x_0, y_0, u_0, v_0) = 0$ 且偏導(dǎo)數(shù)所組成的函數(shù)行列式 $J = \frac{\partial (F, G)}{\partial (u, v)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial F}{\partial u} & \frac{\partial F}{\partial v}\\ \frac{\partial G}{\partial u} & \frac{\partial G}{\partial v} \end{vmatrix}$
在點(diǎn) $P(x_0, y_0, u_0, v_0)$ 不等于零，則方程組 $F(x, y, u, v) = 0, G(x, y, u, v) = 0$ 在點(diǎn) $P(x_0, y_0, u_0, v_0)$ 的某一領(lǐng)域內(nèi)恒能唯一確定一個(gè)連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù) $u=u(x, y), v=v(x, y)$ ，它們滿足條件 $u_0=u(x_0, y_0), v_0=v(x_0, y_0)$ ，并有
$\frac{\partial u}{\partial x} = -\frac{1}{J}\frac{\partial (F, G)}{\partial (x, v)} = - \frac{\begin{vmatrix} F_x & F_v\\ G_x & G_v \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} F_u & F_v\\ G_u & G_v \end{vmatrix}}$
$\frac{\partial v}{\partial x} = -\frac{1}{J}\frac{\partial (F, G)}{\partial (u, x)} = - \frac{\begin{vmatrix} F_u & F_x\\ G_u & G_x \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} F_u & F_v\\ G_u & G_v \end{vmatrix}}$
$\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{1}{J}\frac{\partial (F, G)}{\partial (y, v)} = - \frac{\begin{vmatrix} F_y & F_v\\ G_y & G_v \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} F_u & F_v\\ G_u & G_v \end{vmatrix}}$
$\frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{1}{J}\frac{\partial (F, G)}{\partial (u, y)} = - \frac{\begin{vmatrix} F_u & F_y\\ G_u & G_y \end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} F_u & F_v\\ G_u & G_v \end{vmatrix}}$
對方程組 $F(x, y, u, v) = 0, G(x, y, u, v) = 0$ 兩邊進(jìn)行求導(dǎo)，然后解方程組即可得出。

6. 空間曲線的切線與法平面

設(shè)空間曲線 $\Gamma$ 的參數(shù)方程為
$\left\{\begin{matrix} x = \varphi (t)\\ y = \psi (t)\\ z = \omega (t) \end{matrix}\right.,t\in [\alpha, \beta]\tag{1}$
假定三個(gè)函數(shù)都在 $[\alpha, \beta]$ 上可導(dǎo)，且三個(gè)導(dǎo)數(shù)不同時(shí)為零。
設(shè)與點(diǎn) $M(x_0, y_0, z_0)$ 對應(yīng)的參數(shù)為 $t_0$ ，記 $f(t) = (\varphi (t), \psi (t), \omega (t)), t\in [\alpha, \beta]$ ，則向量 $T = f'(t_0) = (\varphi' (t_0), \psi' (t_0), \omega' (t_0))$ 就是曲線 $\Gamma$ 在點(diǎn) $M$ 處的一個(gè)切向量，所以曲線 $\Gamma$ 在點(diǎn) $M(x_0, y_0, z_0)$ 處的切線方程為
$\frac{x-x_0}{\varphi '(t_0)} = \frac{y-y_0}{\psi '(t_0)} = \frac{z-z_0}{\omega '(t_0)}$
通過點(diǎn) $M$ 且與切線垂直的平面稱為曲線 $\Gamma$ 在點(diǎn) $M$ 處的法平面，它是通過點(diǎn) $M$ 且以 $T = f'(t_0)$ 為法向量的平面，因此，法平面的方程為 $\varphi '(t_0)(x-x_0) +\psi '(t_0)(y-y_0) + \omega '(t_0)(z-z_0) = 0$

7. 曲面的切平面與法線

設(shè)曲面 $\Sigma$ 由方程 $F(x, y, z) = 0$ 給出， $M(x_0, y_0, z_0)$ 是曲面 $\Sigma$ 上的一點(diǎn)，并設(shè)函數(shù) $F(x, y, z)$ 的偏導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)且不同時(shí)為零。在曲面 $\Sigma$ 上通過點(diǎn) $M$ 的一切曲線在點(diǎn) $M$ 的切線所構(gòu)成的平面稱為曲面 $\Sigma$ 在點(diǎn) $M$ 的切平面，其方程為
$F_x(x_0, y_0, z_0)(x-x_0) + F_y(x_0, y_0, z_0)(y-y_0) + F_z(x_0, y_0, z_0)(z-z_0) = 0\tag{2}$
通過點(diǎn) $M$ 且垂直于切平面 $(2)$ 的直線稱為曲面在該點(diǎn)的法線，其方程為
$\frac{x-x_0}{F_x(x_0, y_0, z_0)} = \frac{y-y_0}{F_y(x_0, y_0, z_0)} = \frac{z-z_0}{F_z(x_0, y_0, z_0)}$
垂直于曲面上切平面的向量稱為曲面的法向量，向量
$n = (F_x(x_0, y_0, z_0), F_y(x_0, y_0, z_0), F_z(x_0, y_0, z_0))$
就是曲面 $\Sigma$ 在點(diǎn) $M$ 處的一個(gè)法向量。

8. 方向?qū)?shù)與梯度

偏導(dǎo)數(shù)反應(yīng)的是函數(shù)沿坐標(biāo)軸方向的變化率。

8.1 方向?qū)?shù)

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設(shè) $l$ 是 $xOy$ 平面上以點(diǎn) $P_0(x_0, y_0)$ 為始點(diǎn)的一條射線， $e_l = (cos \,\alpha, cos\, \beta)$ 是與 $l$ 同方向的單位向量。射線 $l$ 的參數(shù)方程為
$\begin{matrix} x = x_0 + t cos\,\alpha \\ y = y_0 + t cos\,\beta \end{matrix},t \geqslant 0$
設(shè)函數(shù) $z=f(x, y)$ 在 $P_0(x_0, y_0)$ 的某個(gè)鄰域 $U(P_0)$ 內(nèi)有定義， $P(x_0 + t cos\,\alpha ,y_0 + t cos\,\beta)$ 為 $l$ 上的另一點(diǎn)，且 $P \in U(P_0)$ 。如果函數(shù)增量 $f(x_0 + t cos\alpha ,y_0 + t cos\beta) - f(x_0, y_0)$ 與 $P$ 到 $P_0$ 的距離 $|PP_0| = t$ 的比值
$\frac{f(x_0 + t cos\,\alpha ,y_0 + t cos\,\beta) - f(x_0, y_0)}{t}$
當(dāng) $P$ 沿著 $l$ 趨于 $P_0$ (即 $t \rightarrow 0^{+}$ ) 時(shí)的極限存在，則稱此極限為函數(shù) $f(x, y)$ 在點(diǎn) $P_0$ 沿方向 $l$ 的方向?qū)?shù)，記作 $\frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_0, y_0)}$ ，即
$\frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_0, y_0)} = \underset{t\rightarrow 0^{+} }{lim}\frac{f(x_0 + t cos\,\alpha ,y_0 + t cos\,\beta) - f(x_0, y_0)}{t}$
從方向?qū)?shù)的定義可知，方向?qū)?shù) $\frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_0, y_0)}$ 就是函數(shù) $f(x, y)$ 在點(diǎn) $P_0(x_0, y_0)$ 處沿方向 $l$ 的變化率。

定理 1 ??? 如果函數(shù) $f(x, y)$ 在點(diǎn) $P_0(x_0, y_0)$ 可微分，那么函數(shù)在該點(diǎn)沿任一方向 $l$ 的方向?qū)?shù)存在，且有
$\frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_0, y_0)} = f_x(x_0, y_0)cos\, \alpha + f_y(x_0, y_0)cos\, \beta$
其中 $cos\, \alpha , cos\, \beta$ 是方向 $l$ 的方向余弦。

8.2 梯度

設(shè)函數(shù) $f(x, y)$ 在平面區(qū)域 $D$ 內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則對于每一點(diǎn) $P_0(x_0, y_0) \in D$ ，都可以定出一個(gè)向量
$f_x(x_0, y_0)\mathbf {i} + f_y(x_0, y_0)\mathbf{j}$
這向量稱為函數(shù) $f(x, y)$ 在點(diǎn) $P_0(x_0, y_0)$ 的梯度，記作 $\mathbf {grad} \ f(x_0, y_0)$ 或 $\triangledown f(x_0, y_0)$ ，即 $\mathbf {grad} \ f(x_0, y_0) = \triangledown f(x_0, y_0) = f_x(x_0, y_0)\mathbf {i} + f_y(x_0, y_0)\mathbf{j}$
其中 $\triangledown = \frac{\partial }{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial}{\partial x}\mathbf{j}$ 稱為（二維的）向量微分算子或 $Nabla$ 算子， $\triangledown f = \frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{i} + \frac{\partial f}{\partial x}\mathbf{j}$

如果函數(shù) $f(x, y)$ 在點(diǎn) $P_0(x_0, y_0)$ 可微分， $e_l = (cos\, \alpha , cos\, \beta)$ 是與方向 $l$ 同向的單位向量，則
$\frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_0, y_0)} = f_x(x_0, y_0)cos\, \alpha + f_y(x_0, y_0)cos\, \beta \\=\mathbf {grad} \ f(x_0, y_0) \cdot e_l = |\mathbf {grad} \ f(x_0, y_0) |cos\, \theta \tag{3}$
其中 $\theta$ 為 $\mathbf {grad} \ f(x_0, y_0)$ 與 $e_l$ 之間的夾角。

這一關(guān)系式表明了函數(shù)在一點(diǎn)的梯度與函數(shù)在這一點(diǎn)的方向?qū)?shù)的關(guān)系：
(1) 當(dāng) $\theta = 0$ ，即方向 $e_l$ 與梯度 $\mathbf {grad} \ f(x_0, y_0)$ 的方向相同時(shí)，函數(shù) $f(x, y)$ 增加最快。此時(shí)，函數(shù)在這個(gè)方向的方向?qū)?shù)達(dá)到最大值，這個(gè)最大值就是梯度 $\mathbf {grad} \ f(x_0, y_0)$ 的模，即
$\frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_0, y_0)} = |\mathbf {grad} \ f(x_0, y_0)|$
這個(gè)結(jié)果也表明，函數(shù) $f(x, y)$ 在一點(diǎn)的梯度 $\mathbf {grad} \ f$ 是這樣一個(gè)向量，它的方向是函數(shù)在這一點(diǎn)的方向?qū)?shù)取得最大值的方向，它的模就等于方向?qū)?shù)的最大值。

(2) 當(dāng) $\theta = \pi$ ，即方向 $e_l$ 與梯度 $\mathbf {grad} \ f(x_0, y_0)$ 的方向相反時(shí)，函數(shù) $f(x, y)$ 減小最快，函數(shù)在這個(gè)方向的方向?qū)?shù)達(dá)到最小值，即
$\frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_0, y_0)} = - |\mathbf {grad} \ f(x_0, y_0)|$

(3) 當(dāng) $\theta = \frac{\pi}{2}$ ，即方向 $e_l$ 與梯度 $\mathbf {grad} \ f(x_0, y_0)$ 的方向正交時(shí)，函數(shù)的變化率為零，即
$\frac{\partial f}{\partial l}|_{(x_0, y_0)} = |\mathbf {grad} \ f(x_0, y_0)|cos\,\theta = 0$

一般說來，二元函數(shù) $z = f(x, y)$ 在幾何上表示一個(gè)曲面，這曲面被平面 $z = c$ 所截的曲線在 $xOy$ 面上的投影稱為函數(shù) $z = f(x, y)$ 的等值線。若 $f_x, f_y$ 不同時(shí)為零，則等值線 $f(x,y) = c$ 上任一點(diǎn) $P_0(x_0, y_0)$ 處的一個(gè)法向量為
$n = \frac{1}{\sqrt{f^{2}_x(x_0, y_0) + f^{2}_y(x_0, y_0)}}(f_x(x_0, y_0), f_y(x_0, y_0)) = \frac{\triangledown f(x_0, y_0)}{|\triangledown f(x_0, y_0)|}$
這表明函數(shù) $z = f(x, y)$ 在一點(diǎn) $(x_0, y_0)$ 的梯度 $\triangledown f(x_0, y_0)$ 的方向就是等值線 $f(x,y) = c$ 在這點(diǎn)的法線方向 $n$ ，而梯度的模 $|\triangledown f(x_0, y_0)|$ 就是沿這個(gè)法線方向的方向?qū)?shù) $\frac{\partial f}{\partial n}$ ，于是有
$\triangledown f(x_0, y_0) = \frac{\partial f}{\partial n} \mathbf {n}$

8.3 數(shù)量場及向量場

如果對于空間區(qū)域 $G$ 內(nèi)的任一點(diǎn) $M$ ，都有一個(gè)確定的數(shù)量 $f(M)$ ，則稱在這空間區(qū)域 $G$ 內(nèi)確定了一個(gè)數(shù)量場。一個(gè)數(shù)量場可用一個(gè)數(shù)量函數(shù) $f(M)$ 來確定。如果與點(diǎn) $M$ 對應(yīng)的是一個(gè)向量 $F(M)$ ，則稱在這個(gè)區(qū)域 $G$ 內(nèi)確定了一個(gè)向量場。一個(gè)向量場可以用一個(gè)向量值函數(shù) $F(M)$ 來確定，而
$F(M) = P(M) \mathbf {i} + Q(M) \mathbf {j} + R(M) \mathbf {k}$
其中 $P(M), Q(M), R(M)$ 是點(diǎn) $M$ 的數(shù)量函數(shù)。

若向量場 $F(M)$ 是某個(gè)數(shù)量函數(shù) $f(M)$ 的梯度，則稱 $f(M)$ 是向量場 $F(M)$ 的一個(gè)勢函數(shù)。并稱向量場 $F(M)$ 為勢場。

9. 多元函數(shù)的極值

定理 1（必要條件） ??? 設(shè)函數(shù) $z = f(x, y)$ 在點(diǎn) $P_0(x_0, y_0)$ 具有偏導(dǎo)數(shù)，且在點(diǎn) $(x_0, y_0)$ 處有極值，則有 $f_x(x_0, y_0) = 0,\quad f_y(x_0, y_0) = 0$

凡是能使 $f_x(x_0, y_0) = 0,\, f_y(x_0, y_0) = 0$ 同時(shí)成立的點(diǎn) $(x_0, y_0)$ 稱為函數(shù) $z = f(x, y)$ 的駐點(diǎn)，從定理1可知，具有偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn)。但函數(shù)的駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。

定理 2（充分條件） ??? 設(shè)函數(shù) $z = f(x, y)$ 在點(diǎn) $(x_0, y_0)$ 的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，又 $f_x(x_0, y_0) = 0,\, f_y(x_0, y_0) = 0$ ，令
$f_{xx}(x_0, y_0) = A,\,f_{xy}(x_0, y_0) = B,\,f_{yy}(x_0, y_0) = C$
則 $f(x, y)$ 在點(diǎn) $(x_0, y_0)$ 處是否取得極值的條件如下：
(1) $AC-B^{2} > 0$ 時(shí)具有極值，且當(dāng) $A<0$ 時(shí)有極大值，當(dāng) $A>0$ 時(shí)有極小值；
(2) $AC-B^{2} < 0$ 時(shí)沒有極值；
(3) $AC-B^{2} = 0$ 時(shí)可能有極值，也可能沒有極值，還需要另做討論。

在求函數(shù)的極值時(shí)，除了考慮函數(shù)的駐點(diǎn)外，如果有偏導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，那么對這些點(diǎn)也應(yīng)當(dāng)考慮。如果函數(shù) $f(x, y)$
在有界閉區(qū)域 $D$ 上連續(xù)，則 $f(x, y)$ 在 $D$ 上必定能取得最大值和最小值。一般地，如果知道函數(shù)的最大值（最小值）一定在 $D$ 的內(nèi)部取得，而函數(shù)在 $D$ 內(nèi)只有一個(gè)駐點(diǎn)，那么可以肯定該駐點(diǎn)處的函數(shù)值就是函數(shù) $f(x, y)$ 在 $D$ 上的最大值（最小值）。

10. 二元函數(shù)的泰勒公式

**定理 ** ??? 設(shè)函數(shù) $z = f(x, y)$ 在點(diǎn) $(x_0, y_0)$ 的某鄰域內(nèi)連續(xù)且有直到 $(n+1)$ 階的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， $(x_0 + h, y_0 + k)$ 為此鄰域內(nèi)任一點(diǎn)，則有
$f(x_0 + h, y_0 + k) = f(x_0, y_0) + (h\frac{\partial }{\partial x} + k\frac{\partial }{\partial y})f(x_0, y_0) + \\ \frac{1}{2!}(h\frac{\partial }{\partial x} + k\frac{\partial }{\partial y})^{2}f(x_0, y_0) + \cdots + \frac{1}{n!}(h\frac{\partial }{\partial x} + k\frac{\partial }{\partial y})^{n}f(x_0, y_0) + \\ \frac{1}{(n+1)!}(h\frac{\partial }{\partial x} + k\frac{\partial }{\partial y})^{n+1}f(x_0 + \theta h, y_0 + \theta k)\quad (0< \theta < 1) \tag{1}$
其中記號
$(h\frac{\partial }{\partial x} + k\frac{\partial }{\partial y})f(x_0, y_0)\, 表示 \, h\,f_x(x_0, y_0) + k\,f_y(x_0, y_0)$
$(h\frac{\partial }{\partial x} + k\frac{\partial }{\partial y})^{2}f(x_0, y_0)\, 表示 \, h^{2}\,f_{xx}(x_0, y_0) + 2hk\,f_{xy}(x_0, y_0) + k^{2}\,f_{yy}(x_0, y_0)$
一般地，記號
$(h\frac{\partial }{\partial x} + k\frac{\partial }{\partial y})^{m}f(x_0, y_0) \, 表示 \, \sum_{p=0}^{m}C_m^{p}h^{p}k^{m-p}\frac{\partial ^{m}f}{\partial x^{p}\partial y^{m-p}}|_{(x_0, y_0)}$

當(dāng) $n= 0$ 時(shí)，公式 $(1)$ 成為
$f(x_0 + h, y_0 + k) = f(x_0, y_0) + h\,f_x(x_0 + \theta h, y_0 + \theta k) +k\,f_y(x_0 + \theta h, y_0 + \theta k) \tag{2}$
公式 $(2 )$ 稱為二元函數(shù)的拉格朗日中值定理。

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高等數(shù)學(xué)——多元函數(shù)微分法

高等數(shù)學(xué)——多元函數(shù)微分法

1. 基本概念

1.1 點(diǎn)和點(diǎn)集之間的關(guān)系

1.2 多元函數(shù)的極限

1.2 多元函數(shù)的連續(xù)性

2. 偏導(dǎo)數(shù)

2.1 定義

2.2 高階偏導(dǎo)數(shù)

3. 全微分

3.1 定義

3.2 全微分形式不變性

4. 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)

4.1 一元函數(shù)與多元函數(shù)復(fù)合的情形

4.2 多元函數(shù)與多元函數(shù)復(fù)合的情形

4.3 其他情形

4.4 筆記

5. 隱函數(shù)的求導(dǎo)

5.1 一個(gè)方程的情形

5.2 方程組的情形

6. 空間曲線的切線與法平面

7. 曲面的切平面與法線

8. 方向?qū)?shù)與梯度

8.1 方向?qū)?shù)

8.2 梯度

8.3 數(shù)量場及向量場

9. 多元函數(shù)的極值

10. 二元函數(shù)的泰勒公式

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1. 基本概念

1.1 點(diǎn)和點(diǎn)集之間的關(guān)系

1.2 多元函數(shù)的極限

1.2 多元函數(shù)的連續(xù)性

2. 偏導(dǎo)數(shù)

2.1 定義

2.2 高階偏導(dǎo)數(shù)

3. 全微分

3.1 定義

3.2 全微分形式不變性

4. 多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)

4.1 一元函數(shù)與多元函數(shù)復(fù)合的情形

4.2 多元函數(shù)與多元函數(shù)復(fù)合的情形

4.3 其他情形

4.4 筆記

5. 隱函數(shù)的求導(dǎo)

5.1 一個(gè)方程的情形

5.2 方程組的情形

6. 空間曲線的切線與法平面

7. 曲面的切平面與法線

8. 方向?qū)?shù)與梯度

8.1 方向?qū)?shù)

8.2 梯度

8.3 數(shù)量場及向量場

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