本文系史寧中教授在第十九屆全國新世紀(jì)小學(xué)數(shù)學(xué)課程與教學(xué)系列研討會上的發(fā)言。

各位老師，上午好：

這次課標(biāo)有一個(gè)比較大的變化就是增加了一個(gè)關(guān)鍵詞或者是叫一個(gè)表現(xiàn)，這個(gè)叫量感。其實(shí)，我對數(shù)學(xué)教育他們那些詞不是特別懂，所以上一次提到了四基，又提到了數(shù)學(xué)的基本思想，后來又提到了抽象。我總覺得抽象、邏輯推理，這個(gè)從數(shù)學(xué)角度思考是非常重要的，但是當(dāng)時(shí)也不知道用什么詞表示很合適？所以就說了一個(gè)核心詞，在解釋課標(biāo)的時(shí)候，又稱這個(gè)叫做核心概念，現(xiàn)在他們又說這個(gè)叫核心素養(yǎng)，所以我現(xiàn)在稍微明白一點(diǎn)了，我到時(shí)候給你們講一講這是怎么回事情。所以我今天要講的題目是：為什么要強(qiáng)調(diào)量感。主要是講三個(gè)事情：量感和數(shù)感有什么區(qū)別；還有一個(gè)度量的發(fā)展，量感來自于度量，現(xiàn)在的度量和過去的度量有很大的變化，我稍微講一下變化在什么地方；還有一個(gè)，基于量感的教學(xué)，課標(biāo)是怎樣設(shè)計(jì)這樣的教學(xué)的。

第一個(gè)講量感與數(shù)感。數(shù)學(xué)主要研究兩件事情：一件事情研究數(shù)量和數(shù)量關(guān)系，一件事情研究圖形和圖形關(guān)系，主要是研究這么兩件關(guān)系，但是最后，研究對象都變成了數(shù)。傳統(tǒng)意義上是通過長度把那個(gè)圖形跟數(shù)結(jié)合起來了，因此在初中的時(shí)候就講了數(shù)軸，數(shù)軸本質(zhì)上是講長度，這個(gè)長度跟實(shí)數(shù)就結(jié)合起來了。這樣的話，實(shí)現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合。后來人們把一些生活中的看起來沒有數(shù)的東西把它用數(shù)字進(jìn)行表達(dá)，也變成了數(shù)學(xué)研究的對象，比如，當(dāng)年那個(gè)，他們評酒，評酒的時(shí)候，過去評酒只是說，你認(rèn)為哪個(gè)酒最好。后來我說你這么品評不太講理。那么就這么評了，拿了5個(gè)酒，包括你們這兒品茶葉大概也得這么評，光說這個(gè)茶葉巨好不行，五個(gè)茶葉你排個(gè)隊(duì)：1、2、3、4、5，排了隊(duì)之后，根據(jù)大家排隊(duì)的情況，再這么一加上就能夠進(jìn)行數(shù)學(xué)分析了，要不然過去那個(gè)只是說哪個(gè)好，這樣的話可能會有些評得不太公平。因?yàn)橛腥丝隙ㄌ貏e喜歡喝茅臺，還有人就特別不喜歡喝茅臺，那有的人比較喜歡五糧液，但也不那么煩五糧液，這樣的話，五糧液可能就比茅臺評得更好，這樣的研究叫做定性數(shù)據(jù)的定量化，現(xiàn)在教材里面慢慢出現(xiàn)這個(gè)定性數(shù)據(jù)的定量化。這次把統(tǒng)計(jì)的分類問題變成數(shù)據(jù)分類也有這個(gè)意思?，F(xiàn)在社會在本質(zhì)上叫大數(shù)據(jù)，大數(shù)據(jù)其實(shí)是數(shù)字化，把網(wǎng)絡(luò)的那些信息，把圖像，把音響都變成數(shù)字了，就是這樣的話，數(shù)學(xué)研究的領(lǐng)域就會越來越廣泛了，數(shù)學(xué)的應(yīng)用也就越來越廣泛了，因此在本質(zhì)上研究的是能夠用數(shù)字表達(dá)的信息，在本質(zhì)上變成這樣一個(gè)東西了，那么，在原始，最開始來說，數(shù)是什么呢？數(shù)是對數(shù)量的抽象，這個(gè)是很重要的一個(gè)事情，數(shù)量是什么呢？數(shù)量是度量的結(jié)果，在本質(zhì)上，或者說有兩種度量，或者說有三種度量，一種度量是對個(gè)數(shù)的度量和對順序的度量，就是我們說的自然數(shù)，還有一種是長度的度量，長度的度量，我剛才說了后來數(shù)形結(jié)合都變成了數(shù)學(xué)的研究對象，他們兩個(gè)合在一起，用現(xiàn)在的詞呢，叫做集合，離散集合是個(gè)數(shù)，連續(xù)的呢就是長度，這樣子。還有一類量就是：重量、容積、時(shí)間、信息，這樣的一種度量，這樣的一種度量和剛才上面我用紅字表示的度量他們有時(shí)候不同，這次在課標(biāo)里把他們區(qū)分開來，因此，數(shù)是對度量結(jié)果的表達(dá)，是一種符號表達(dá)，數(shù)學(xué)的本質(zhì)在于度量，度量的本質(zhì)在于數(shù)的表達(dá)，這個(gè)是非常重要的，下面我逐漸來談這個(gè)事情。

為什么要講這個(gè)量感呢？在看國外的課程標(biāo)準(zhǔn)的時(shí)候，你會發(fā)現(xiàn)很多國家非常重視這個(gè)度量，咱們國家現(xiàn)在這個(gè)領(lǐng)域還是數(shù)與代數(shù)、圖形幾何，統(tǒng)計(jì)與概率，綜合與實(shí)踐四個(gè)領(lǐng)域，這個(gè)里頭再加上一個(gè)度量的領(lǐng)域呀，是挺困難的一件事情，而且老師并不一定接受，加上一個(gè)新的領(lǐng)域，但是我們度量這一塊呢還重視得不是很夠，所以這一次在修改課標(biāo)的時(shí)候就商量了一下，把核心素養(yǎng)的表現(xiàn)這兒，在傳統(tǒng)的核8個(gè)或者說10個(gè)核心詞這里再加上一個(gè)量感，所以這個(gè)詞就是為了強(qiáng)調(diào)度量這件事情。

趁這個(gè)機(jī)會，我稍微講一下這個(gè)核心素養(yǎng)，核心素養(yǎng)這個(gè)詞大家都很熟悉了，沒想到這么快大家都很熟悉了這個(gè)詞，這是高中課標(biāo)的時(shí)候談到過核心素養(yǎng)，核心素養(yǎng)，我逐漸開始明白這個(gè)詞是什么意思了，這個(gè)詞是思維品質(zhì)、關(guān)鍵能力、情感態(tài)度價(jià)值觀的一個(gè)綜合體現(xiàn)，這個(gè)是與人的行為有關(guān)，與人的什么行為呢？兩個(gè)行為：一個(gè)是思維的行為，一個(gè)是實(shí)踐，主要是思維和實(shí)踐，與終極目標(biāo)有關(guān)，是學(xué)生參與其中的。比如今天上課學(xué)生能思考，能討論，學(xué)生參與其中的，這樣的教學(xué)活動(dòng)中逐漸形成和發(fā)展起來的，這個(gè)是上次高中課標(biāo)的時(shí)候就明白的事情，這一次修改義教課標(biāo)的時(shí)候又明白了一件事情。就是核心素養(yǎng)，數(shù)學(xué)的核心素養(yǎng)，應(yīng)該從小學(xué)到大學(xué)，甚至到研究生培養(yǎng)，因此就強(qiáng)調(diào)了核心素養(yǎng)具有一致性，但是在每個(gè)學(xué)段的表現(xiàn)是不一樣的，因此具有了發(fā)展性，這樣的話，現(xiàn)在就把核心素養(yǎng)基本定了，就是三會，就是能夠用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界，會用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界，會用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界，就是變成這么三句話，這三句話，老師應(yīng)該清楚這個(gè)，明白它是啥，你看到核心素養(yǎng)，在本質(zhì)上跟知識本身沒有太大關(guān)系，但是它又是你整個(gè)教學(xué)的一個(gè)靈魂，什么意思呢，老師在教每一堂數(shù)學(xué)課的時(shí)候，你幾乎都要思考，你是在教學(xué)生用數(shù)學(xué)的眼光看呢，還是用數(shù)學(xué)的思維想，還是用數(shù)學(xué)的語言說呢，這是很重要的一件事情，這件事情呢，跟你們傳統(tǒng)數(shù)學(xué)里的三維目標(biāo)又聯(lián)系在一起，你們現(xiàn)在寫教案，是不是羅老師（羅鳴亮）還要求你們寫三維目標(biāo)啊，這個(gè)寫結(jié)果性目標(biāo)，一個(gè)知識技能目標(biāo)，一個(gè)是過程性目標(biāo)，一個(gè)是情感態(tài)度價(jià)值目標(biāo)，過去寫過程性目標(biāo)，其實(shí)不清楚，你們都特別不愿意跟他們提意見，我當(dāng)時(shí)在修改，06年修改課標(biāo)的時(shí)候，我一看到那些目標(biāo)，我一下就愣了，他說經(jīng)歷、體驗(yàn)、探索是不是，我當(dāng)時(shí)看到這個(gè)的時(shí)候非常吃驚，我就把原來買個(gè)寫課標(biāo)的馬云鵬叫到我辦公室來，我說你真是吃飽了飯沒事兒干，你領(lǐng)著孩子經(jīng)歷、體驗(yàn)、探索干啥，他說有什么問題嘛？我說經(jīng)歷、體驗(yàn)、探索呀，只能作為課堂目標(biāo)，不能作為課程目標(biāo)，你教了小學(xué)六年級，一直領(lǐng)著孩子經(jīng)歷、體驗(yàn)、探索嘛？教完初中你還這樣嗎？教完高中還是這樣嗎？不是，你教完了，最起碼一年，我認(rèn)為你就得有點(diǎn)收獲了是不是，經(jīng)歷、體驗(yàn)、探索，描述的是過程，我們的目標(biāo)是要有所獲得，那你經(jīng)歷、體驗(yàn)、探索，你要得到些什么東西呢？后來馬云鵬問我，得到什么東西？我說，得到經(jīng)驗(yàn)。就是通過孩子們參與其中的活動(dòng)，孩子們就能得到什么東西了呢？就兩件事情，一個(gè)是會想問題，一個(gè)是會做事情，這是你的培養(yǎng)目標(biāo)，這才能作為目標(biāo)，經(jīng)歷、體驗(yàn)、探索只是過程的描述，我希望老師們能夠注意。所以現(xiàn)在有把這個(gè)能夠進(jìn)一步，目標(biāo)就是核心素養(yǎng)。

下面，我進(jìn)一步談核心素養(yǎng)在小學(xué)階段它的表現(xiàn)應(yīng)該是什么。這樣的話，核心素養(yǎng)，你看一下，它的情感態(tài)度價(jià)值觀就這么幾個(gè)詞，幾個(gè)詞呢？學(xué)習(xí)的興趣和學(xué)習(xí)的習(xí)慣，寫入課程目標(biāo)里，這個(gè)應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識，上次就有，作為核心素養(yǎng)的表現(xiàn)寫進(jìn)去了，還有一個(gè)科學(xué)精神、社會責(zé)任感，在素養(yǎng)的解釋里寫進(jìn)去了，主要是這么6個(gè)詞，然后，數(shù)學(xué)的眼光主要是抽象，數(shù)學(xué)思維主要指邏輯推理，數(shù)學(xué)的語言主要指數(shù)學(xué)模型，這個(gè)在上次高中課標(biāo)的時(shí)候就反復(fù)解釋了，我現(xiàn)在不用更多的時(shí)間解釋這件事情，現(xiàn)在想解釋一件新的事情，這件事情是在這次寫義教課標(biāo)的時(shí)候才考慮到的，既然核心素養(yǎng)是有階段性，它階段性的表現(xiàn)應(yīng)該是什么樣呢，我們初步想，你們認(rèn)為不合理，還有什么意見，你們跟羅老師說，現(xiàn)在改課標(biāo)還趕趟，大概到6、7月份最后審定，在過6、7月份寫，完了再改，就來不及了，現(xiàn)在你們要有意見你們改，我現(xiàn)在是這么說，后來我們小組都這么想，就是小學(xué)低年級階段哪，核心素養(yǎng)更具體一些，更側(cè)重于意識，到高年級，到初中，到高中就更涉及到能力，更涉及一般。這樣的話，如果這個(gè)想法成立的話，核心素養(yǎng)就是，意識是指什么東西呢，意識是指一種感覺，數(shù)感，這是一種感覺，這種感覺不一定建立在定義的基礎(chǔ)上，因?yàn)樵谛W(xué)，在本質(zhì)上沒有確切定義，沒有非常確切的定義，在這次課標(biāo)對小學(xué)不要求很確切，而觀念是什么呢？觀念是基于概念基礎(chǔ)上，因此在初中才談概念，這樣的話呢，就是不要有一些定義了，因此比如抽象這個(gè)事情，因?yàn)槌橄蟮玫揭欢挲g程度了，我要有時(shí)間的話，我稍微談一下，孩子的抽象能力大概在什么時(shí)候能夠建立起來？所以初中叫抽象意識，在小學(xué)就更具體了，叫數(shù)感、量感這些，我待會談。這個(gè)推理，小學(xué)叫推理意識，到初中叫推理能力，模型思想都是這樣，這樣的話，就是核心素養(yǎng)是什么呢？就是數(shù)學(xué)的眼光，數(shù)學(xué)的思維，數(shù)學(xué)的語言，那么它的表現(xiàn)呢，在各個(gè)學(xué)段是不一樣的，在高中的時(shí)候有六個(gè)詞，就是抽象，直觀想象，在初中有七個(gè)詞，在小學(xué)有九個(gè)詞來表現(xiàn)，跟數(shù)學(xué)眼光有關(guān)的，小學(xué)就是符號意識、數(shù)感，這跟上回是一樣的，解釋有點(diǎn)不同了，量感、空間觀念、幾何直觀。關(guān)于數(shù)學(xué)思維有關(guān)的是，小學(xué)是推理意識，小學(xué)只談到了一個(gè)能力，就是運(yùn)算能力，這個(gè)跟中學(xué)是一樣的，跟初中一樣。小學(xué)的模型叫模型意識，數(shù)據(jù)也是數(shù)據(jù)意識，就是感覺到用數(shù)據(jù)能夠提供一些信息，能夠提供你判斷的意識，所以這會百分?jǐn)?shù)這個(gè)放到統(tǒng)計(jì)里了，這是大數(shù)據(jù)時(shí)代的要求了，就是對于一些隨機(jī)現(xiàn)象，通過百分?jǐn)?shù)能夠進(jìn)行判斷，能夠提供你一個(gè)決策的信息，這個(gè)感覺，這就是意識，這個(gè)模型這個(gè)，能用數(shù)量的關(guān)系來解決一些實(shí)際問題就有這種意識就可以了，就不談到這個(gè)觀念，也不談到這個(gè)能力。

因此，量感這個(gè)詞，就寫到核心素養(yǎng)的表現(xiàn)里了，因?yàn)槲覀儾豢赡埽膊淮蛩阍谛W(xué)數(shù)學(xué)里加測量這個(gè)領(lǐng)域，這是這么一個(gè)事情。那么量感和數(shù)感有什么區(qū)別呢？我這是為了你們這個(gè)報(bào)告我寫的，沒有經(jīng)過非常仔細(xì)的思考，大概說一下供你們參考，我說的不一定都是對的。數(shù)感和量感最本質(zhì)的都是數(shù)的表達(dá)，都要數(shù)，都要數(shù)的表達(dá)，這一點(diǎn)他們兩個(gè)是一致的，我們的數(shù)感可以把后綴的名詞去掉，就把單位的名稱基本都可以去掉，比如：一匹馬、兩頭牛、三件衣服，這個(gè)表達(dá)數(shù)感的這個(gè)，數(shù)感那個(gè)數(shù)主要是指表達(dá)個(gè)數(shù)，個(gè)數(shù)后面的后綴名詞都可以去掉，我已經(jīng)講過幾次了，把后綴的名詞去掉，這是一個(gè)抽象的過程，在形式上是把后綴的名詞去掉，在本質(zhì)上，數(shù)學(xué)研究的問題要脫離現(xiàn)實(shí)背景，你要有一件衣服，兩匹馬，它具有現(xiàn)實(shí)背景，后綴名詞脫掉就讓它脫離了現(xiàn)實(shí)背景，這是個(gè)抽象的過程，抽象的本質(zhì)就是去掉現(xiàn)實(shí)背景，只有數(shù)與數(shù)量關(guān)系，圖形與圖形關(guān)系，沒有背景。量感，給我的感覺就是后綴名詞，包括今天講的那個(gè)平方厘米不能去掉，一直保留著這個(gè)，所以一種運(yùn)算是保留單位的，一種運(yùn)算是不保留單位的。所以有次吳正憲老問我，為什么乘法模型非得說兩個(gè)，一個(gè)叫路程等于速度乘時(shí)間，還有一個(gè)總價(jià)等于單價(jià)乘個(gè)數(shù)，他們兩不一樣。感覺到他們兩不一樣在什么地方?jīng)]？總價(jià)等于單價(jià)乘個(gè)數(shù)，那個(gè)單價(jià)是一樣的，對不對，距離等于時(shí)間乘速度，是單位還要乘，這是不一樣的事情，是個(gè)數(shù)表達(dá)的數(shù)，還是量感表達(dá)的數(shù)。這是兩個(gè)不一樣的。