卡爾曼濾波系列1_基礎(chǔ)

1 基礎(chǔ)知識(shí)

[1] 卡爾曼增益最后會(huì)變成定值嗎？
[2] 如何通俗并盡可能詳細(xì)解釋卡爾曼濾波？
[3] 卡爾曼濾波增益綜述報(bào)告
 [4] Understanding the Basis of the Kalman Filter

2 卡爾曼濾波算法簡(jiǎn)介

??Kalman Filter是一個(gè)高效的遞歸濾波器，它可以實(shí)現(xiàn)從一系列的噪聲測(cè)量中，估計(jì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài)。廣泛應(yīng)用于包含Radar、計(jì)算機(jī)視覺等在內(nèi)的工程應(yīng)用領(lǐng)域，在控制理論和控制系統(tǒng)工程中也是一個(gè)非常重要的課題。本文介紹了卡爾曼濾波增益的由來(lái)，以及它在卡爾曼濾波理論中的作用，著重介紹了卡爾曼濾波增益的理論意義。由卡爾曼濾波增益可以更深入的理解卡爾曼濾波，把它更好地應(yīng)用于實(shí)際中。

??1960年卡爾曼發(fā)表了用遞歸方法解決離散數(shù)據(jù)線性濾波問(wèn)題的論文A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems，在這篇文章里一種克服了維納濾波缺點(diǎn)的新方法被提出來(lái)，這就是我們今天稱之為卡爾曼濾波的方法?？柭鼮V波應(yīng)用廣泛且功能強(qiáng)大，它可以估計(jì)信號(hào)的過(guò)去和當(dāng)前狀態(tài)，甚至在即使并不知道模型的確切性質(zhì)時(shí)，也能估計(jì)將來(lái)的狀態(tài)。

??其基本思想是以最小均方誤差為最佳估計(jì)準(zhǔn)則，采用利用前一時(shí)刻信號(hào)與噪聲的狀態(tài)空間模型獲取的估計(jì)值和當(dāng)前時(shí)刻的觀測(cè)值來(lái)更新對(duì)狀態(tài)變量的估計(jì)，求出當(dāng)前時(shí)刻的估計(jì)值。算法根據(jù)建立的系統(tǒng)方程和觀測(cè)方程對(duì)需要處理的信號(hào)做出滿足最小均方誤差的估計(jì)。

??對(duì)于解決很大部分的問(wèn)題，它是最優(yōu)、效率最高甚至是最有用的。它的廣泛應(yīng)用已經(jīng)超過(guò)30年，包括機(jī)器人導(dǎo)航、控制、傳感器數(shù)據(jù)融合甚至在軍事方面的雷達(dá)系統(tǒng)以及導(dǎo)彈追蹤等等。近年來(lái)更被應(yīng)用于計(jì)算機(jī)圖像處理，例如人臉識(shí)別、圖像分割、圖像邊緣檢測(cè)等等。

3 卡爾曼濾波直觀描述

??Kalman Filter算法運(yùn)用場(chǎng)景。問(wèn)題描述：存在兩個(gè)功能相同但性能不同的傳感器，那么應(yīng)該如何融合兩個(gè)傳感器的測(cè)量值。解決辦法：加權(quán)平均，但是無(wú)法很好的確定加權(quán)平均參數(shù)?？柭鼮V波算法就是解決該問(wèn)題的方法。

??形式化描述：存在一個(gè)傳感器和一個(gè)對(duì)應(yīng)的模型，如何解決傳感器測(cè)量值與模型計(jì)算值的加權(quán)平均融合？假設(shè)模型是簡(jiǎn)化的，即 $x_{k+1}=f(w_{1}x_{k}+(1-w_{1})\hat x_{k})$ ，其中 $x_{k}(s_{1},s_{2},...,s_{n})$ ， $s_{i}$ 是影響模型的狀態(tài)變量，現(xiàn)假設(shè)狀態(tài)分量受到的不確定因素都服從正態(tài)分布。在 $k$ 時(shí)刻，模型估計(jì)值為 $x_{k}$ ，傳感器測(cè)量值為 $\hat x_{k}$ ，Kalman Filter算法能夠確定概率最大化下的綜合值 $\overline x_{k}=w_{1}x_{k}+(1-w_{1})\hat x_{k})$ ，即確定 $w_{1}$ ，同時(shí)，此時(shí)算出的綜合值也服從正太分布。定義Kalman增益為 $\overline x_{k}$ 的均值，定義步長(zhǎng) $\Delta t=t_{k+1}-t_{k}$ 。

??假設(shè)存在2個(gè)傳感器 $S_{1}, S_{2}$ ，對(duì)應(yīng)的測(cè)量值為 $\hat x^{1},\hat x^{2}$ ，傳感器測(cè)量噪音協(xié)防差為 $\Sigma^{1}, \Sigma^{2}$ ，1個(gè)狀態(tài)估計(jì)模型 $M$ (假設(shè)狀態(tài)轉(zhuǎn)移為一步轉(zhuǎn)移)，對(duì)應(yīng)的估計(jì)值為 $x$ ，狀態(tài)轉(zhuǎn)移協(xié)防差矩陣為 $\Sigma$ 。Kalman Filter算法求解步驟如下：

??（1）狀態(tài)估計(jì)模型初始值為 $x_{0}$ ；

??（2）考慮第 $k$ 步，狀態(tài)估計(jì)模型估計(jì)值為 $x_{k}$ ，測(cè)量值為 $\hat x_{k}^{1},\hat x_{k}^{2}$ ，Kalman增益 $\overline x_{k}$ 為估計(jì)值與測(cè)量值的融合。針對(duì)該問(wèn)題，需要進(jìn)行兩次融合：傳感器測(cè)量融合、傳感器測(cè)量與狀態(tài)估計(jì)模型融合，融合過(guò)程中的加權(quán)參數(shù)由彼此的協(xié)防差確定。在融合值概率最大情況下求得Kalman增益，同時(shí)融合狀態(tài)也服從高斯分布。

??（3）進(jìn)入 $k+1$ 步，利用狀態(tài)估計(jì)模型求 $x_{k+1}$ ，即 $x_{k+1}=f(\overline x_{k})$ 。

4 卡爾曼濾波算法

??狀態(tài)轉(zhuǎn)移方程或離散隨機(jī)差分方程（線性）如下：
$x_{k}=A_{n \times n}x_{k-1}+B_{n}u_{k-1}+w_{k-1} \tag{1}$
??測(cè)量方程如下：
$z_{k}=H_{m \times n}x_{k}+v_{k} \tag{2}$
??隨機(jī)信號(hào) $w_{k}$ 和 $v_{k}$ 分別表示過(guò)程激勵(lì)噪聲和觀測(cè)噪聲，假設(shè)它們?yōu)橄嗷オ?dú)立且是高斯白噪聲，即：
$p(w)\sim N(0,Q) \tag{3}$
$p(v)\sim N(0,R) \tag{4}$

??實(shí)際系統(tǒng)中，過(guò)程激勵(lì)噪聲協(xié)方差矩陣Q和觀測(cè)噪聲協(xié)方差矩陣R可能會(huì)隨每次迭代計(jì)算而變化，但本文假設(shè)它們是常數(shù)。

??定義：已知第 $k$ 步以前狀態(tài)情況下，第 $k$ 步的先驗(yàn)狀態(tài)估計(jì)為 $\hat{\overline x}_{k}$ (?代表先驗(yàn)，?代表估計(jì))；已知測(cè)量變量 $z_{k}$ 時(shí)，第 $k$ 步的后驗(yàn)狀態(tài)估計(jì)為 $\hat x_{k}$ ；由此定義先驗(yàn)估計(jì)誤差 $\overline e_{k}$ 和后驗(yàn)估計(jì)誤差 $e_{k}$ 如下：
$\overline e_{k}= {x}_{k}- \hat{\overline x}_{k} \tag{5}$
$e_{k}= {x}_{k}- \hat x_{k} \tag{6}$

??那么先驗(yàn)估計(jì)誤差的協(xié)方差 $\overline P_{k}$ 和后驗(yàn)估計(jì)的協(xié)方差 $P_{k}$ 為：
$\overline P_{k}=E[{\overline e_{k}}{\overline e_{k}}^{T}] \tag{7}$
$P_{k}=E[{e_{k}}{e_{k}}^{T}] \tag{8}$

??卡爾曼濾波器的表達(dá)式：由先驗(yàn)估計(jì) $\overline P_{k}$ 和加權(quán)的測(cè)量變量 $z_{k}$ 及其預(yù)測(cè) $Hx_{k}$ 之差的線性組合構(gòu)成后驗(yàn)狀態(tài)估計(jì) $P_{k}$ ：
$\hat x_{k}=\hat{\overline x}_{k}+K(z_{k}-H\hat{\overline x}_{k}) \tag{9}$

??其中測(cè)量變量及其預(yù)測(cè)之差 $z_{k}-H\hat{\overline x}_{k}$ 被稱為測(cè)量過(guò)程的革新或殘余，殘余反映了預(yù)測(cè)值和實(shí)際值之間的不一致程度；矩陣 $K_{m \times n}$ 叫做殘余的增益或混合因數(shù)，作用是使(8)式中的后驗(yàn)估計(jì)誤差協(xié)方差最小。

??在此忽略矩陣 $K$ 的詳細(xì)推導(dǎo)，僅給出計(jì)算的大致步驟：

??（1）將(9)式代入 $e_{k}$ 的定義式(6)，再將 $e_{k}$ 代入(8)式，求得后驗(yàn)估計(jì)的協(xié)方差 $P_{k}$ ；

??（2）將(8)式中的 $P_{k}$ 對(duì) $K$ 求導(dǎo)并使其一階導(dǎo)數(shù)為零，從而解得矩陣 $K$ 的值；矩陣 $K$ 的一種表示形式如下：
$K_{k}=\frac{\overline P_{k} H^{T}}{H \overline P_{k} H^{T}+R} \tag{10}$
??其中 $H$ 矩陣為常量， $P_{k}$ 與過(guò)程激勵(lì)噪聲的協(xié)方差矩陣 $Q$ 有關(guān)； $R$ 為測(cè)量噪聲的協(xié)方差矩陣。

5 卡爾曼增益的物理意義

??取值范圍： $K_{k} \in [0, H^{-1}]$ ，即： $\lim_{R\rightarrow 0}=H^{-1}$ ， $\lim_{\overline P_{k} \rightarrow 0}=0$ ，因此卡爾曼濾波增益是一個(gè)決定了最優(yōu)估計(jì)組成比例的“調(diào)節(jié)器”。

??具體地：當(dāng) $R\rightarrow 0$$時(shí)$$\lim_{R\rightarrow 0}=H^{-1}$ ，那么 $\hat x_{k}=\hat{\overline x}_{k}+H^{-1}(z_{k}-H\hat{\overline x}_{k})$ ，則可以看出系統(tǒng)表現(xiàn)為完全取測(cè)量值作為狀態(tài)的后驗(yàn)估計(jì)值，而系統(tǒng)的先驗(yàn)狀態(tài)估計(jì)完全被拋棄；反之 $\overline P_{k} \rightarrow 0$ ，那么 $\lim_{\overline P_{k} \rightarrow 0}=0$ ，即： $Q=0$ ，則可以看出系統(tǒng)完全拋棄測(cè)量值，取先驗(yàn)估計(jì)值。

6 卡爾曼增益的理論意義

??被估計(jì)值系統(tǒng)的第 $k+1$ 時(shí)刻的狀態(tài)值 ${x}_{k}$ 的卡爾曼濾波值 $\hat x_{k}$ ，就是 ${x}_{k}$ 的無(wú)偏最小方差估計(jì)。同時(shí)，濾波誤差方差矩陣 $P_{k}$ 是基于測(cè)量值 $z_{1},z_{2},z_{3}$ 等等的狀態(tài)值 ${x}_{k}$ 的所有線性估計(jì)中最小的均方誤差陣。

??對(duì)于一維的情況，測(cè)量噪聲協(xié)方差矩陣 $R$ 增大時(shí)，增益矩陣 $K$ 變小。這表明，如果測(cè)量噪聲越大，該增益取的越小，以減弱測(cè)量噪聲對(duì)估計(jì)值的影響，從而使預(yù)測(cè)值所占最后的結(jié)果比重加大。

??由(10)式還可以看出，當(dāng) $\overline P_{k}$ 或者 $Q$ 矩陣變小時(shí)， $P_{k}$ 也變?。ù颂幙梢詮耐茖?dǎo)公式中看出，本文省略）， $Ｋ_{k}$ 矩陣也減小。從直觀上看，這是自然的，因?yàn)? $Ｐ$ 變小表示估計(jì)值或者預(yù)測(cè)值比較好，又因?yàn)?img class="math-inline" src="https://math.jianshu.com/math?formula=%EF%BC%B1" alt="Ｑ" mathimg="1">變小表示狀態(tài)轉(zhuǎn)移隨機(jī)波動(dòng)減小。所以新的測(cè)量值對(duì)狀態(tài)的估計(jì)值的矯正影響減弱，于是增益矩陣 $Ｋ$ 應(yīng)當(dāng)變小。

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卡爾曼濾波系列1_基礎(chǔ)