? ? ? 兩天的時(shí)間只讀了《作為數(shù)學(xué)教育的任務(wù)》的第一章”數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)”，第一遍讀下來(lái)，腦袋一片模糊，又讀了幾遍，網(wǎng)上查看了一些資料解釋?zhuān)坪跄茏x懂一些，但也不知理解的對(duì)不對(duì)。

? ? ? 數(shù)學(xué)起源于實(shí)用，在巴比倫時(shí)代，各行各業(yè)的人都對(duì)數(shù)學(xué)起過(guò)催生的作用，數(shù)學(xué)是平民、商人、工匠、測(cè)量員的數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)對(duì)于他們來(lái)說(shuō)有用的，但是人們很快就滿(mǎn)足于此。學(xué)生在寺院學(xué)校里做許多看起來(lái)并不怎么樣實(shí)際的數(shù)學(xué)題目，并且代代相傳。學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的何在？他們有沒(méi)有抱怨？老師又是如何回答的呢？我們不得而知。 再后來(lái)數(shù)學(xué)運(yùn)用于是天文學(xué)，但數(shù)學(xué)天文學(xué)比數(shù)學(xué)遲生的2000余年，它是一門(mén)實(shí)用的科學(xué)，讓數(shù)學(xué)開(kāi)始得到了很好的應(yīng)用。

? ? ? 希臘數(shù)學(xué)是講究嚴(yán)密性的。一開(kāi)始就與其他數(shù)學(xué)不同，大約公元前6世紀(jì)，從泰爾斯的各種傳說(shuō)中可以看出是受巴比倫數(shù)學(xué)的影響，如畢達(dá)哥拉斯及其學(xué)派的成就就屬于巴比倫數(shù)學(xué)，人所共知的畢達(dá)哥拉斯定理，巴比倫人在希臘人之前的2000年就已經(jīng)知道了。但許多書(shū)中說(shuō)，證明定理這種做法是希臘人的創(chuàng)造，而不是巴比倫人的發(fā)明。希臘人的貢獻(xiàn)就在于把證明變成了數(shù)學(xué)中的一項(xiàng)原則，數(shù)學(xué)被編寫(xiě)成為今人所稱(chēng)的演繹體系。即:為證明而證明。什么是演繹體系？亞里士多德解為任何真正的科學(xué)都屬于原理，以他們?yōu)榛A(chǔ)，并由之而導(dǎo)出來(lái)的一切結(jié)果來(lái)。演繹性和公理化的內(nèi)核是希臘數(shù)學(xué)中最令人驚嘆的特色，它們還發(fā)現(xiàn)了無(wú)理數(shù)——正方形的對(duì)角線(xiàn)與其邊的不可公度。不可公度性與畢達(dá)哥斯拉德萬(wàn)物皆數(shù)的教里是水火不容的，對(duì)于全部依靠整數(shù)的畢氏哲學(xué)是一次致命的打擊，由此引起了數(shù)學(xué)史上的第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。人們需要一個(gè)關(guān)于比的新定義，先使用無(wú)限逼近的方法，最后的解決辦法和戴德金“分割””方法相似。（第一次數(shù)學(xué)危機(jī)正式解決是直到1872年，德國(guó)數(shù)學(xué)家戴德金從連續(xù)性的要求出發(fā)，用有理數(shù)的“分割”來(lái)定義無(wú)理數(shù)，并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上，才結(jié)束了無(wú)理數(shù)被認(rèn)為“無(wú)理”的時(shí)代，也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī)。戴德金分割，是將一切有理數(shù)的集合劃分為兩個(gè)非空不相交的子集A和B,使得A中的每一個(gè)元素小于B中的每一個(gè)元素，這時(shí)戴德金把這個(gè)劃分定義為有理數(shù)的一個(gè)分割（有些分割是有理數(shù)產(chǎn)生的，在這樣的分割中，要么有最大元素，要么有最小元素·但有些分割卻不是）。 既然數(shù)不足以解釋幾何中的比，那就把它驅(qū)逐出幾何，希臘人不僅拋棄了無(wú)限的過(guò)程，而且把巴比倫的代數(shù)也一并取消了，在純科學(xué)中，實(shí)數(shù)是不知之物，有理數(shù)被禁絕。人們發(fā)明了一種代替代數(shù)的替代品——幾何代數(shù)，一種把代數(shù)運(yùn)算線(xiàn)性方程與二次方程及其求解步驟都化為幾何滑稽戲的體系，在無(wú)理性的分類(lèi)中加以應(yīng)用，這是一種難懂的出奇的數(shù)學(xué)。幾何代數(shù)成為扼殺了希臘數(shù)學(xué)的瘟疫，第一個(gè)和希臘傳統(tǒng)決裂的是卡迪爾，他把幾何代數(shù)化，這也就是現(xiàn)在所稱(chēng)的解析幾何。一直到19世紀(jì)，當(dāng)嚴(yán)密性重新被重視，人們才懂得希臘數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)。

? ? ? 古代傳說(shuō)是畢達(dá)哥拉斯把幾何從工匠的手藝提升為一種自由的藝術(shù)。它和算術(shù)、音樂(lè)、天文、在一起中世紀(jì)被稱(chēng)為“四藝”，由畢的第一批門(mén)徒傳授四藝，數(shù)學(xué)一詞也從他們當(dāng)中產(chǎn)生而來(lái)。事實(shí)上，希臘數(shù)學(xué)和巴比倫數(shù)學(xué)一樣，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超越了它們的應(yīng)用，它們誕生經(jīng)過(guò)了2000年，到開(kāi)普勒發(fā)現(xiàn)了行星的軌道是橢圓時(shí)，才得到了應(yīng)用。這也是數(shù)學(xué)的特性——尋求各種思想模式，一共應(yīng)用者選擇使用。在希臘思想中，唯理論占有重要的位置，于是有人把亞里士多德看成唯理論者，說(shuō)他把演澤推理看得高于經(jīng)驗(yàn)。但令人驚奇的是亞里士多德不是用數(shù)學(xué)——力學(xué)的思想框架，而是從生物心理學(xué)的角度去解釋自然。但那時(shí)候的數(shù)學(xué)從應(yīng)用中獲得了刺激是極為有限的。

? ? ? ? 印度人、阿拉伯人和中世紀(jì)的僧侶們重建的數(shù)學(xué)是與畢達(dá)哥斯拉所要提升的自由藝術(shù)的數(shù)學(xué)毫無(wú)聯(lián)系的全新科學(xué)，他們主要產(chǎn)生與應(yīng)用。希臘人計(jì)算使用了巴比倫的六十進(jìn)制，印度-阿拉伯計(jì)數(shù)法的使用是一大進(jìn)步，但進(jìn)步緩慢，六十進(jìn)分?jǐn)?shù)在巴比倫時(shí)代已經(jīng)存在了，而十進(jìn)分?jǐn)?shù)到了16世紀(jì)才由斯蒂文引入，普通分?jǐn)?shù)經(jīng)歷了更漫長(zhǎng)的時(shí)間才被人們普遍接受。承認(rèn)普通分?jǐn)?shù)是一種典型的代數(shù)思想，而另一種代數(shù)思想是符號(hào)化，即:后人用不同于日常語(yǔ)言的符號(hào)去表示變量。我們現(xiàn)在使用的代數(shù)于16世紀(jì)未的韋達(dá)，他用字母表示未知數(shù)，而且也表示“不定元”。

? ? ? 到了16世紀(jì)后，數(shù)學(xué)和科學(xué)逐漸變得興旺起來(lái)，以至于到17世紀(jì)產(chǎn)生的像伽利略，卡迪爾，開(kāi)普勒、惠更斯、牛頓、萊布尼茲等一批出類(lèi)拔萃的人物（物理學(xué)家、天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家），歸根結(jié)底是技術(shù)起了關(guān)鍵作用，技術(shù)推動(dòng)了歷史前進(jìn)的車(chē)輪，許多發(fā)明為數(shù)學(xué)和科學(xué)突飛猛進(jìn)少清了道路，新事物的發(fā)明激發(fā)了人們探索自然和了解數(shù)與形之間奧秘的熱情，那時(shí)候的幾何與代數(shù)知識(shí)已在大學(xué)里廣為傳播，但整個(gè)18世紀(jì)里，沒(méi)有大學(xué)開(kāi)設(shè)微積分。這是什么原因呢？主要是當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)頭面人物并沒(méi)有在大學(xué)執(zhí)教。另外，印刷術(shù)的發(fā)展是科學(xué)界的領(lǐng)頭人物覺(jué)得不必要急于創(chuàng)辦學(xué)校，許多人對(duì)此感到心滿(mǎn)意足。19世紀(jì)以來(lái)，活躍的科學(xué)活動(dòng)重新回歸于大學(xué)之中，數(shù)學(xué)得到了越來(lái)越多的應(yīng)用。這里所說(shuō)的應(yīng)用不單指天文學(xué)，而是指更為廣闊數(shù)學(xué)物理領(lǐng)域。從事應(yīng)用數(shù)學(xué)研究變成為最為榮耀的事，但應(yīng)用對(duì)數(shù)學(xué)真正的產(chǎn)生重大影響，始于19世紀(jì)初法國(guó)的科學(xué)家對(duì)應(yīng)用數(shù)學(xué)的發(fā)展起到了關(guān)鍵的作用，真正的開(kāi)始起于傅里葉、泊松和柯西。

? ? ? 在今天，數(shù)學(xué)更加廣泛應(yīng)用于社會(huì)生產(chǎn)和日常生活的各個(gè)方面，數(shù)學(xué)作為對(duì)于客觀(guān)現(xiàn)象抽象概括而逐漸形成的科學(xué)語(yǔ)言與工具，不僅是自然科學(xué)和技術(shù)科學(xué)的基礎(chǔ)，而且在人文科學(xué)與社會(huì)科學(xué)中發(fā)揮著越來(lái)越大的作用，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)比任何時(shí)候都更有用。