這里先來簡單看一個場景，左邊的人在向向外看，右邊的是他看到的圖像。這里有個明顯的區(qū)別就是從一個3d的世界變成了2d的圖片，這一切就是通過變換完成的。

3d場景變成2d圖片

1縮放變換

縮放變換

這里我們先對這個圖像進(jìn)行縮放變換，橫軸和縱軸都縮放0.5倍，我們可以先用圖上下方的方式來表達(dá)這個變換。而結(jié)合我們之前學(xué)過的矩陣，我們可以把它寫作這樣一個形式.

矩陣形式的表達(dá)

上面的縮放是一個均勻的縮放。而如果我們進(jìn)行一個非均勻的縮放，就會有這樣的結(jié)果

只對x軸進(jìn)行縮放

這時，我們只要將Sx為1 Sy為0.5 即可表達(dá)。

2.反射變換

我們先看一個簡單的 沿著y軸變換

反射變換

3.切變

切變

這里我們來稍微仔細(xì)推到下，之后省略此步驟，大同小異。 首先這個變換是只針對于x軸的變換，也就是說對于任何點(diǎn)來說他只發(fā)生了x軸方向的變換y軸值沒發(fā)生變動。而具體x軸變動了多少 需要看這個點(diǎn)的y值是多少。當(dāng)y值為1時x軸變動了+a也就是說從原來的點(diǎn) (0,1) 變動到了 (0 + a(1 * a)， 0) 也就是說y軸上的每個單位會給x軸帶來a的的值變化。同理可推導(dǎo)出來，當(dāng)x值為0.5時，帶來的時 a/2 的值變換 也就是說 x的值會變換 y*a 。
經(jīng)過上面的我們可以稍微梳理下矩陣的大體含義。

上圖切邊的矩陣運(yùn)算

4.旋轉(zhuǎn)變換s

這我們有個約定俗稱
1：在沒規(guī)定的情況下默認(rèn)認(rèn)為沿著原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)
2：在沒說方向的情況下默認(rèn)為逆時針

旋轉(zhuǎn)變換

這里矩陣的推導(dǎo)其實(shí)和上面類似，我們找到一個點(diǎn) 來看他的
x' 變?yōu)榱?a * x + b * y
y' 變味了 c * x + d * z
那么找出的

就是我們要的旋轉(zhuǎn)矩陣了。
帶入到上面的圖中，我們以原圖中的 (1,0) 點(diǎn)來看
x軸的值變味了 1 * cosθ y軸的值變成了 1 * sinθ 這兩個值就是我們的 a b
而c d 同理，我們吧 (0,1)點(diǎn)帶入，即可找到對應(yīng)的 c d 的值 這就是整體的推導(dǎo)過程。

這里我們可以發(fā)現(xiàn)，上面的4種變換都可以寫作如下的方式

線性變換

我們吧所有可以這樣推導(dǎo)的矩陣變換叫做線性變換。而什么是非線性變換呢？我們來看下面的

5.平移變換 & 齊次坐標(biāo)

這里我們發(fā)現(xiàn)我們都是用的相同維度的矩陣乘以對應(yīng)的變量。那我們能否使用不同維度的相乘呢？
接下來我們就需要引入齊次坐標(biāo)。
首先我們要明白為什么我們要引入齊次坐標(biāo)這個概念。我們來看下面的一個變換

平移變換

這里我們可以簡單的寫出對應(yīng)的方程：

方程

然而這個式子直覺上看著就略微。。。不夠優(yōu)雅，并且我們不希望用這么復(fù)雜的式子來表示平移這種很簡單的變換。所以我們需要會找到一個方法 讓他在不同維度下也可以相乘。
于是我們就找到了下面這種解決辦法：
對于任何2維的點(diǎn) 我們由原來的 (x,y) ==> (x,y,1)
對于任何2維的向量 我們由原來的 (x,y) ==> (x,y,0)

這里的0和1取決于你是為了表示這個點(diǎn) 還是說代表的是一個向量。
這樣對于之前的平移，我們便可以由如下操作來決絕之前的問題

平移矩陣

多出了這個1，我們便可以讓他來進(jìn)行一個常量的變換(平移變換)。而對于其他線性變換，我們可以吧 tx ty變?yōu)? 便不會影響線性變換的結(jié)果

這里我們思考下為何向量的結(jié)尾是0。
我們知道對于一個向量來說，他只有兩個關(guān)鍵信息：方向和長度。他無所謂起始點(diǎn)和終止點(diǎn)，只要方向和長度相同，我們便認(rèn)為兩個向量相同。而平移變換他只改變了起始點(diǎn)和終止點(diǎn)的位置，并未改變向量的方向和大小。所以對于向量而言，如果結(jié)尾是1 那經(jīng)過平移計算后的向量便和原向量不相等了。

而在另一方面，對于平面內(nèi)的一些計算 我們有下面類型

引入其次坐標(biāo)后的向量與點(diǎn)的計算

例如 點(diǎn) - 點(diǎn) = 向量，而這樣剪完之后心引入的其次坐標(biāo)為也會有 1-1 變成0，正好是向量的齊次坐標(biāo)補(bǔ)充結(jié)尾
其他三種我們都可以很簡單的理解而對于 點(diǎn) + 點(diǎn) 我們?nèi)绾卫斫饽兀?br> 這里對于這種運(yùn)算有一個擴(kuò)充：

點(diǎn)+點(diǎn)的擴(kuò)充

如圖，當(dāng)w為0時，他代表一個向量。而當(dāng)他不為0時， (x,y,w)他真正代表的點(diǎn)為 （x/w, y/w, 1），也就是說這兩種表達(dá)時等價的
例如我們舉個例子 (1,1,1) + (3,3,1) 的運(yùn)算結(jié)果 為 (4,4,2) <==> （2,2,1） 正好是前兩者的中點(diǎn)。也就在引入齊次坐標(biāo)后，兩個點(diǎn)相加的結(jié)果時他們的中點(diǎn)。

而對于下面方式可以表示的變換，我們稱為放射變換( = 線性變換 + 平移)。
我們可以發(fā)現(xiàn)對于二位的仿射變換在引入齊次坐標(biāo)后，他的最后一行永遠(yuǎn)是 (0,0,1)(這里只針對二維仿射變換)
tx,ty代表平移的值。

仿射變換

接下來我們把之前的線性變換矩陣引入齊次坐標(biāo)，就會有

引入齊次坐標(biāo)之后的線性變換

5.逆變換

逆變換

例如我們有個變換矩陣 M 在經(jīng)過 M 矩陣變換后到了如下位置， 我們可以再經(jīng)過 M的逆矩陣運(yùn)算后悔恢復(fù)原位。
推導(dǎo)大致如下
A M M（逆） = A (M M(逆))
矩陣 * 自己的逆矩陣 = 單位矩陣
矩陣 * 單位矩陣 = 不變

6.組合變換

例如有如下一個變換，那么我么你是怎么得到的呢？

或許我們可以先平移之后再進(jìn)行旋轉(zhuǎn)(繞原點(diǎn))

這里我們發(fā)現(xiàn)和結(jié)果明顯不對看來這次常識是失敗的。
但我們或許可以這樣：

2:變換的順序很關(guān)鍵，順序不同結(jié)果也會不同。
對于第二點(diǎn)，其實(shí)矩陣的乘法告訴了我們 因?yàn)橛?br> A B != B A
矩陣乘法不滿足交換律

我們便可以得到上面的選贊矩陣

這里因?yàn)槲覀兪橇邢蛄?，所以記得是要從右往左?/p>

這里加入我們要對一個點(diǎn)進(jìn)行很多個變換 A1,A2,A3......
那么我們就會有這樣一個算式

矩陣滿足結(jié)合律

雖然我們可以通過左邊的式子，一個一個的應(yīng)用變換從右向左

但我們也可以利用矩陣的結(jié)合律，現(xiàn)將 An ~ A1 所有的變換結(jié)合在一起 最后再乘上我們的點(diǎn)。
我們發(fā)現(xiàn) 最后我們只用了1個矩陣，可能就表示刻一個非常非常復(fù)雜的變換(只要 An ~ A1所有的矩陣均為 3* 3) 這其實(shí)是結(jié)合律很好的一個性質(zhì)，我們可以把一個很復(fù)雜的變換用一種很簡單的形式表現(xiàn)出來。

6.變換的分解

之前我們的旋轉(zhuǎn)默認(rèn)都是沿原點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，這其實(shí)很大幅度上限制了我們的操作空間，那么我們?nèi)绾文茏屗刂我庖稽c(diǎn)旋轉(zhuǎn)呢？

繞圖形左下角點(diǎn)進(jìn)行旋轉(zhuǎn)

雖然現(xiàn)在我們不會對任意點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)，但我們了解對原點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)。我們可以先將它平移到原點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)θ角度，再平移回去

7.三維變換

那么我們可以想到 三維空間中也會有平移變換，我們依然是需要引入齊次坐標(biāo)，規(guī)則和二維是相同的，各種運(yùn)算定義也是相同的

三維空間中的齊次坐標(biāo)引入

同樣對于三維空間的矩陣，變換引入齊次坐標(biāo)后如下

三維空間中的仿射變換

我們發(fā)現(xiàn)對于三維空間中的仿射變換，最后一行還是 0,0,0,1 平移還是在最后一列，左邊的3*3任然是代表旋轉(zhuǎn)、縮放等變換。

這里我們思考下 一直說可以把平移和線性變換兩種寫成一個矩陣，例如上圖的矩陣，那么他是先平移還是線性變換呢？

*留白思考

其實(shí)是先進(jìn)行線性變換后平移。因?yàn)樵谖覀儸F(xiàn)在使用的列向量的情況中，運(yùn)算是左乘 所以其實(shí)上面的運(yùn)算矩陣可以拆分為

平移矩陣（坐上角線性部分為單位矩陣） * 線性變換矩陣 * 要變換的點(diǎn)，例如下圖

如果順序相反由于矩陣不適用結(jié)合律 會有錯誤結(jié)果。