學習目標——掌握任意角的三角函數(shù)值求法

? 要想學生學會求任意角的三角函數(shù)值，就必須讓學生去經(jīng)歷特殊角求三角函數(shù)值是怎樣計算出來的？經(jīng)歷特殊角的三角函數(shù)求值的過程，總結求任意角的三角函數(shù)值的方法。最重要是經(jīng)歷這個探究過程，讓學生明白某個角的三角函數(shù)值本質是描述其所在直角三角形線和線之間的關系的。

? 要想實現(xiàn)從特殊到一般的規(guī)律性總結，需要借助一個得力工具，這個工具就是平面直角坐標系。之前學生求一個銳角的三角函數(shù)值，只是在一個特定的直角三角形中利用三邊的關系，求出來一定的比值，基于此學情的基礎上，我請學生們在平面直角坐標系內分別畫出30度60度45度以及負45度角，并嘗試求出它們的三角函數(shù)值？

? 在這樣的探究活動，班里學生的三角函數(shù)學習程度分成了兩個不同層次。

? 第1個層次：班里有一部分學生不明白正弦余弦正切表示的數(shù)學意義，到底哪里是對邊哪里是鄰邊，哪里是斜邊，他們無法獨立找到對應邊。這些表現(xiàn)說明，這部分學生對于三角函數(shù)值的概念不清楚，因此無法理解三角函數(shù)用來描述三角形的各邊之間的比例關系的本質。因為學生不知道三角函數(shù)的概念，因此也無法求這幾個特殊角的三角函數(shù)值。因此這部分學生，她們只在平面直角坐標系內畫出了這4個特殊角，其他的學習要求，她們做不出來。

? 第2個層次：學生知道某個角的三角函數(shù)是對邊鄰邊與斜邊之間的比例，但是她們在找特殊角的時候，三個邊的比例找的不準確，因此她們求出的三角函數(shù)值是不對的。同樣還有一部分同學，她們在平面直角坐標系內畫出了30度的角，直接通過構造直角三角形，量測直角三角形的三邊之間的關系，算出來的三角函數(shù)值也是不夠科學的。

? 對于第1類問題，三角函數(shù)值計算不準確，在于她們沒有弄清楚特殊角三邊之間具體的關系，45度角構造出來的等腰直角三角形，它的兩個直角邊是相等的，因此終邊與這個直角三角形的交點坐標就是（1,1）因此我們就可以知道，在構造出來的45度角的直角三角形內，它的正切值等于1，正弦值等于2/根號2,余弦值等于2/根號2。學生出現(xiàn)問題的還有在30度特殊角對應的邊與三角形中哪一個邊，它們的比例關系是1/2，很多同學都找錯了。有同學錯把30度角所對應的邊與60度所對應的邊是1/2倍關系，因此,算出來三角函數(shù)是全部是錯誤的。當然也有同學錯把60度角所對應的直角邊與斜邊所成比例是1/2，她們計算出來的三角函數(shù)值也是錯誤的。

? 對于學生直接在平面直角坐標系內構造直角三角形，并且通過測量三邊之間的關系去計算三角函數(shù)值的方法。原因可能在于學生不明白自己任意構造的三角形測量出來的值與實際的特殊角的三角函數(shù)之間存在什么樣的關系？學生測量出來的值往往保留有限位小數(shù)，雖然它跟具體的函數(shù)值之間差別很小，但算出來的三角函數(shù)值趨近于真正的三角函數(shù)值。我還發(fā)覺這些學生之所以通過測量直角三角形來計算三邊之間的關系，我覺得她本人題目解讀能力有限，本質上還是割裂了角與線的統(tǒng)一關系。我們可以用角來度量線，也可以用線來度量角，但是它們本質是一樣的。對于同樣的一個角，在無數(shù)個構造出的直角三角形內它的對邊與鄰邊是比值是一定的，對邊與斜邊的比值，鄰邊與斜邊的比值，這些固定的比值不受線的變化而變化，只跟角有關系，因此才被定義為三角函數(shù)值。

? 最后我在黑板上，以45度，60度，-45度這三個特殊角為例，向學生展示如何在平面直角坐標系內畫圖找角確定比例。最后畫出一個任意角，落在第二象限，那么怎樣求出其三角函數(shù)值？借鑒我們求特殊角的三角函數(shù)值的方法，同樣在任意角的終邊所在的線上做垂線，找到終邊上的任意一個點的坐標，就可以利用縱橫坐標以及構成的斜邊，求出任意角的三角函數(shù)值。學生學生通過特殊角的三角函數(shù)值的求法，遷移到任意角的三角函數(shù)式的求法。講課之后，我才發(fā)現(xiàn)我在找角構造直角三角形中一次性把坐標寫出來了，但是并沒有寫出來縱橫坐標以及它們構成的斜邊，與三角函數(shù)值是怎樣一一對應的。引導學生在求特殊角三角函數(shù)值到求一般角的三角函數(shù)值知識遷移過程中找到終邊與垂線相交的點的坐標與三角函數(shù)值之間的一對應關系才是總結運算規(guī)律的關鍵。

課后反思：我應該讓學生從錯誤中引發(fā)認知沖突——就拿學生通過畫角構造自己的直角三角形，利用測量三邊的長度來求該角的三角函數(shù)值，我會讓不同學生到黑板上去展示，對于同樣的角，選取線段不同，求出來三角函數(shù)值是不一樣的，同樣的角，卻得到了不同的三角函數(shù)值，也就是說相同的角，對應的三角函數(shù)值不唯一，這是否正確？如果她們的方法是對的，那她們的問題出現(xiàn)在哪里？為什么她們求的值是不同的？

以我的設想，學生們會發(fā)現(xiàn)，是不是測量不標準。這個理由很容易被求證，如果我們統(tǒng)一測量標準，那么它們的比值是否是統(tǒng)一的。即使我們的讀數(shù)，測量都非常的精確，用同一個直尺與圓規(guī)，我們對度數(shù)與線段長度的讀數(shù)也只能是一個估值，嘗試各種統(tǒng)一，發(fā)現(xiàn)還是無法做到讓她們的計算的比值完全克服誤差，保持一模一樣?；谶@樣的經(jīng)歷，學生們就會發(fā)現(xiàn)用量角器與直尺構造直角三角形，通過測量的方法去計算特殊角的三角函數(shù)的方法是不精確的，有待更完善的方法。這個時候再跟學生分享利用勾股定理確定直角三角形三邊的邊長，再用勾股定理求出來的值進行比值運算，這樣我們每個人算出來的每個角的三角函數(shù)值都是確定的，唯一的。

這樣的設計可以避免給學生造成教師教學過程中生硬對待學生錯誤的感覺，讓學生發(fā)現(xiàn)我這種算法是有待更新完善的，需要自我認識迭代升級，通過勾股定理解決線的具體長度的問題。

第二個反思是關于學生在求特殊角三角函數(shù)值時候，最簡單的是求45度角的三角函數(shù)值，因為45度可以構造一個等腰直角三角形，通過構造等腰直角三角形，學生最容易算出來三角函數(shù)值。這提示我們，設計學生練習題的時候，要遵循由易到難的程度，當時我寫的順序是30度，45度，60度和-45度，我并沒有充分考慮難易程度和是否有利于學生解題思路的遷移。