非相對(duì)論性量子力學(xué)完成于1925-1926年，是海森堡和薛定諤幾乎同時(shí)完成的。1928年狄拉克又提出了描述電子運(yùn)動(dòng)的相對(duì)論性量子力學(xué)。對(duì)這樣一個(gè)新生的理論，物理學(xué)家的意見卻發(fā)生了分歧，愛因斯坦、薛定諤等對(duì)這個(gè)版本的量子力學(xué)并不滿意，并與玻爾為首的哥本哈根派發(fā)生了激烈的爭(zhēng)論。

最著名的就是愛因斯坦于1935年發(fā)表的一篇論文，文章的題目就是：“Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?”（能認(rèn)為量子力學(xué)對(duì)物理實(shí)在的描述完備嗎？）

這里首先Reality如何理解，我們一般把其翻譯為“實(shí)在性”，但這個(gè)詞在中文里的意思實(shí)在是空洞，讓人聽了沒感覺，也許我們可以嘗試把它換為“物理現(xiàn)實(shí)”理解。現(xiàn)實(shí)是我們可能會(huì)忽視，但無法改變的要素，它在那里起作用，不管你知不知道。鴕鳥把腦袋埋在沙子里，但現(xiàn)實(shí)并不因?yàn)樗床灰姸腥魏胃淖儭?/p>

這里對(duì)概念的思辨并不是關(guān)鍵，很多物理學(xué)家有形而上學(xué)傾向，或者說他們思考起來就像一個(gè)哲學(xué)家，但僅僅是二流的或不入流的哲學(xué)家，物理學(xué)家真正厲害的是能把這些概念的思考翻譯成物理和數(shù)學(xué)的語言，愛因斯坦可謂是這方面的高手。

愛因斯坦在他1935年的論文中給出了一個(gè)夠用的對(duì)“物理現(xiàn)實(shí)”的定義：“如果，在沒有擾動(dòng)一個(gè)系統(tǒng)的情形下，我們可以確定地、即幾率為一地預(yù)言一個(gè)物理量的取值的話，那么就有一個(gè)與這個(gè)物理量相對(duì)應(yīng)的物理現(xiàn)實(shí)的要素?！?/p>

這個(gè)定義只是愛因斯坦本人對(duì)“物理現(xiàn)實(shí)”的定義，按照這個(gè)定義假設(shè)系統(tǒng)不在本征態(tài)，而我們又對(duì)它進(jìn)行測(cè)量的話，它將坍縮到其中之一的本征態(tài)上，我們只能按照幾率去描述量子系統(tǒng)的行為，這里面有“物理現(xiàn)實(shí)”嗎？

那么是否愛因斯坦定義了一個(gè)過于苛刻的“物理現(xiàn)實(shí)”呢？

接著愛因斯坦會(huì)構(gòu)造一個(gè)糾纏態(tài)（entangled state）以兌現(xiàn)他對(duì)“物理現(xiàn)實(shí)”的定義。這里為了敘述的方便，我們采用兩個(gè)自旋的例子。

假設(shè)兩個(gè)自旋1/2的粒子，甲自旋往左飛，乙自旋往右飛，同時(shí)甲乙自旋構(gòu)成一個(gè)自旋單態(tài)。對(duì)自旋單態(tài)而言，我們沒法說哪個(gè)自旋向上，哪個(gè)自旋向下。我們僅知道口袋里有兩個(gè)自旋，一個(gè)是向上的，另外一個(gè)是向下的。假如我們?cè)谧髠?cè)看到甲自旋是向上的，我們就立刻說右側(cè)的乙自旋是向下的。

我們?cè)谙胂笾凶鲆韵聦?shí)驗(yàn)：

1.A在左側(cè)不對(duì)甲自旋做任何測(cè)量，B在右側(cè)對(duì)乙自旋測(cè)量它在z方向的取值，向上或向下，結(jié)果是完全隨機(jī)的。這里我們沒有找到任何物理現(xiàn)實(shí)。

2.A在左側(cè)對(duì)甲自旋測(cè)量它在z方向的取值，向上或向下，也是隨機(jī)的；在A完成測(cè)量的瞬間，B在右側(cè)對(duì)乙自旋也做z方向的測(cè)量，在B看來其結(jié)果也是隨機(jī)的，沒有任何規(guī)律，但如果我們把A和B的測(cè)量結(jié)果匯總在一起看的話，我們就能發(fā)現(xiàn)A和B的測(cè)量結(jié)果存在著關(guān)聯(lián)，而且是完全的百分百的關(guān)聯(lián)。

比如：只要甲是向上，那么乙就一定是向下；如果甲向下，那乙就一定向上。我們可以把那些使乙確定地“幾率為一”地取向上或向下的情形匯總在一起。首先這就符合了愛因斯坦對(duì)“物理現(xiàn)實(shí)”的定義，這里一定存在一個(gè)自旋在z方向上的物理現(xiàn)實(shí)。其次量子態(tài)比我們?cè)O(shè)想的要復(fù)雜，看起來都叫一個(gè)名字，但卻可進(jìn)一步分成很多類，有的自旋向上，有的自旋向下……

3.我們還可以讓A、B都對(duì)自旋的x分量進(jìn)行測(cè)量。將得到完全一樣的結(jié)果。即看起來B對(duì)乙自旋x分量的測(cè)量是完全隨機(jī)的，但如果我們把A和B的測(cè)量結(jié)果拿到一起匯總的話，我們就可以發(fā)現(xiàn)對(duì)某些測(cè)量，B對(duì)乙自旋的測(cè)量是確定地為向左或向右。Again，按照愛因斯坦對(duì)物理現(xiàn)實(shí)的定義，自旋的x分量也是“物理現(xiàn)實(shí)”的一個(gè)要素。

這里要做一個(gè)重要的聲明，就是我們總是讓A先對(duì)甲自旋進(jìn)行測(cè)量，而B對(duì)乙自旋的測(cè)量是在A完成測(cè)量的瞬間進(jìn)行的。如此設(shè)計(jì)的理由是要保證A在左側(cè)進(jìn)行的觀測(cè)——某種擾動(dòng)——不會(huì)影響傳播到乙自旋所在的右側(cè)。這樣我們可以心安理得的認(rèn)為B在右側(cè)面對(duì)的是同一個(gè)量子態(tài)。但現(xiàn)在我們所說的量子態(tài)必須做集合理解，集合里面有很多假想的乙自旋的態(tài)，它們各自又可以分成不同的類，以對(duì)應(yīng)那些可以確定取值的實(shí)驗(yàn)。（用物理的術(shù)語講，這個(gè)集合就叫系綜ensemble）

愛因斯坦這里用到了“定域原則”，即對(duì)空間分離的兩個(gè)系統(tǒng)甲和乙，乙的任何變化不是對(duì)甲操作的結(jié)果。

如果堅(jiān)持“定域原則”的話，$S_x$和$S_z$就可以同時(shí)是物理現(xiàn)實(shí)了，原則上我們可以給系綜里的每個(gè)自旋指定一個(gè)$S_x$的取值，同時(shí)一個(gè)$S_z$的取值，但我們的量子力學(xué)——海森堡、薛定諤和狄拉克的量子力學(xué)——無法提供這個(gè)信息，在此意義下我們說量子力學(xué)是不完備的。

愛因斯坦是這樣定義一個(gè)物理理論的完備性的：“物理現(xiàn)實(shí)的每個(gè)要素在物理學(xué)理論中都必須有它的對(duì)應(yīng)部分。”

愛因斯坦并不認(rèn)為量子力學(xué)是錯(cuò)的，但他認(rèn)為量子力學(xué)是不完備的，即潛在地還存在著一個(gè)升級(jí)的版本可以使每個(gè)“物理現(xiàn)實(shí)”的要素都在理論中有對(duì)應(yīng)，在我們現(xiàn)在的例子下就是$S_x$和$S_z$。

愛因斯坦這里其實(shí)是要做一個(gè)選擇，即在“定域原則”和“不確定原理”之間選擇。堅(jiān)持了“定域原則”，就意味著我們構(gòu)造了一個(gè)$S_x$和$S_z$都要取確定值的例子，這就必須放棄“不確定原理”。

放棄“定域原則”，意味著A在左側(cè)的測(cè)量動(dòng)作會(huì)在瞬間對(duì)遠(yuǎn)在右側(cè)的乙自旋進(jìn)行篩選，即瞬間B所面對(duì)的乙自旋的態(tài)就發(fā)生變化了。我們?nèi)钥砂春Ｉ?薛定諤-狄拉克的量子力學(xué)對(duì)它進(jìn)行處理，投影到基矢上，并計(jì)算幾率幅。

放棄“定域原則”并不意味著違反相對(duì)論，因?yàn)锽僅在它的局域進(jìn)行測(cè)量，無法同時(shí)知道A對(duì)甲自旋的測(cè)量結(jié)果，所以不論有沒有百分百的自旋相關(guān)，在B看來它測(cè)得的結(jié)果都是完全隨機(jī)的結(jié)果，沒有任何意義。換句話說我們無法利用糾纏態(tài)進(jìn)行通訊，所以也談不上違反相對(duì)論。

僅僅如此我們是無法判斷孰是孰非的。因?yàn)閻垡蛩固辜昂髞黼[變量理論的主張者都沒提出替代性的量子理論，所以很難構(gòu)造實(shí)驗(yàn)去進(jìn)行判定。

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我們同意無法同時(shí)確定$S_x$和$S_z$，但假設(shè)有很多自旋1/2，我們把$S_z$和$S_x$的取值同時(shí)賦予這些自旋，并對(duì)它們進(jìn)行分類，比如我們有（z+，x-），這意味著如果我們對(duì)這類自旋測(cè)量$S_z$的話，我們將確定地得到向上；我們也可以選擇測(cè)量$S_x$，確定地得到向下。除了（z+，x-），我們還有相同數(shù)量的自旋屬于（z+，x+）類。假如我們對(duì)篩選出來的$z+$自旋測(cè)量$S_x$，50%的可能性得到$x+$，另外50%的可能性得到$x-$。

考慮自旋單態(tài)（總自旋為0的態(tài)），假設(shè)自旋可以用（z+，x-）這樣的記號(hào)進(jìn)行分類的話，那么（z-，x+）和（z+，x-）就構(gòu)成一對(duì)。總共有四種可能性：

類型 I：甲（z+，x-）vs 乙（z-，x+）
類型 II：甲（z+，x+）vs 乙（z-，x-）
類型 III：甲（z-，x+）vs 乙（z+，x-）
類型 IV：甲（z-，x-）vs 乙（z+，x+）

這里對(duì)左側(cè)的甲自旋，假如屬于第I種類型，A可以對(duì)甲測(cè)量$S_z$，也可以測(cè)量$S_x$，但這些動(dòng)作都不會(huì)改變右側(cè)的乙自旋（z-，x+），這就構(gòu)造了一個(gè)符合愛因斯坦“定域原則”的方案。

進(jìn)一步討論，假如A先對(duì)甲測(cè)量$S_z$，假設(shè)結(jié)果是向上，這篩選出類型I和類型II，但這個(gè)測(cè)量動(dòng)作之后甲和乙就不再是自旋單態(tài)了。如果我們?cè)倮^續(xù)對(duì)甲測(cè)量$S_x$，對(duì)乙也測(cè)$S_x$，它們的測(cè)量結(jié)果將失去關(guān)聯(lián)。

在此基礎(chǔ)上我們可以討論貝爾不等式（Bell's inequality）。貝爾不等式是貝爾在1964年提出來的，他構(gòu)造了一個(gè)可以區(qū)分正統(tǒng)量子力學(xué)和符合“定域原則”替代版本量子力學(xué)的實(shí)驗(yàn)判據(jù)。

其實(shí)沒有替代版本的量子力學(xué)，需要做的是把“定域原則”以某種方式考慮進(jìn)去。

考慮三個(gè)互相不正交的方向：a，b和c。我們可以沿a，b或c的方向測(cè)量自旋。然后假設(shè)有甲、乙兩個(gè)自旋，甲向左飛，乙向右飛。

甲和乙構(gòu)成自旋單態(tài)，這意味著如果我們可以用（a-，b+，c+）對(duì)甲進(jìn)行標(biāo)記的話，那么與甲對(duì)應(yīng)的乙就只能是（a+，b-，c-）。

甲、乙構(gòu)成的自旋單態(tài)可以分為如下八類，每一類的數(shù)字用$N_i$表示：

$N_1$：甲（a+，b+，c+）；乙（a-，b-，c-）
$N_2$：甲（a+，b+，c-）；乙（a-，b-，c+）
$N_3$：甲（a+，b-，c+）；乙（a-，b+，c-）
$N_4$：甲（a+，b-，c-）；乙（a-，b+，c+）
$N_5$：甲（a-，b+，c+）；乙（a+，b-，c-）
$N_6$：甲（a-，b+，c-）；乙（a+，b-，c+）
$N_7$：甲（a-，b-，c+）；乙（a+，b+，c-）
$N_8$：甲（a-，b-，c-）；乙（a+，b+，c+）

這里所有的N都是非負(fù)的，我們可以構(gòu)造如下不等式：

$N_3 + N_4 \le N_2 + N_4 + N_3 + N_7$

假設(shè)我們做這樣的實(shí)驗(yàn)：A對(duì)甲自旋進(jìn)行測(cè)量，讓甲通過a方向的非均勻磁場(chǎng)，得到的結(jié)果是向上；然后B對(duì)乙自旋進(jìn)行測(cè)量，讓乙通過b方向的非均勻磁場(chǎng)，假設(shè)得到的結(jié)果也是向上。如此關(guān)聯(lián)的測(cè)量結(jié)果對(duì)應(yīng)的數(shù)目是：

$N_3 + N_4$

我們把這個(gè)類型記為（a+，b+），得到這個(gè)結(jié)果的幾率是：

$P(a+, b+) = \frac{N_3 + N_4}{ \sum\limits_i N_i}$

類似地，A對(duì)甲自旋進(jìn)行測(cè)量，讓甲通過a方向的非均勻磁場(chǎng)，得到的結(jié)果是向上；然后B對(duì)乙自旋進(jìn)行測(cè)量，讓乙通過c方向的非均勻磁場(chǎng)，假設(shè)得到的結(jié)果也是向上。我們把這個(gè)類型記為（a+，c+），對(duì)應(yīng)的幾率是：

$P(a+, c+) = \frac{N_2 + N_4}{ \sum\limits_i N_i}$

還有（c+，b+），對(duì)應(yīng)的幾率是：

$P(c+, b+) = \frac{N_3 + N_4}{ \sum\limits_i N_i}$

這樣我們得到一個(gè)關(guān)于幾率的不等式：

$P(a+, b+) \le P(a+, c+) + P(c+, b+)$。

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以上是考慮了“定域原則”后的一個(gè)不等式。正統(tǒng)量子力學(xué)不考慮“定域原則”，但我們可以利用投影直接把以上幾率都計(jì)算出來。

首先我們計(jì)算$P(a+, b+)$，a+是對(duì)自旋甲而言的，自旋乙就應(yīng)處于a-的狀態(tài)，我們需要算的就是一個(gè)a-態(tài)下的自旋向b+方向投影：

$\left\langle {b+} | {a-} \right\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \cos \frac{\pi - \theta_{ab}}{2} $

這里$\theta_{ab}$指的是方向a和方向b之間的夾角。

$P(a+, b+) = \left| {\left\langle {b+} | {a-} \right\rangle} \right|^2 = \frac{1}{2} \sin^2 \frac{\theta_{ab}}{2} $

假如正統(tǒng)量子力學(xué)也符合貝爾不等式的話，我們應(yīng)該有：

$\sin^2 \frac{\theta_{ab}}{2} \le \sin^2 \frac{\theta_{ac}}{2} + \sin^2 \frac{\theta_{cb}}{2} $

我們可以舉一個(gè)特例來說明貝爾不等式是被違背的，假設(shè)a、b和c都在一個(gè)平面內(nèi)，$\theta_{ab} = 2 \theta$，c正好在a和b的中間，$\theta_{ac} = \theta_{cb} = \theta$?？紤]$\theta$的取值范圍是0到$\frac{\pi}{2}$，我們可以做個(gè)表來說明：

$\theta = \frac{\pi}{20}$：$\sin^2 \frac{\theta_{ab}}{2} = 0.024$，$\sin^2 \frac{\theta_{ac}}{2} + \sin^2 \frac{\theta_{cb}}{2}= 0.012$

$\theta = \frac{\pi}{10}$：$\sin^2 \frac{\theta_{ab}}{2} = 0.095$，$\sin^2 \frac{\theta_{ac}}{2} + \sin^2 \frac{\theta_{cb}}{2}= 0.049$

$\theta = \frac{3 \pi}{20}$：$\sin^2 \frac{\theta_{ab}}{2} = 0.206$，$\sin^2 \frac{\theta_{ac}}{2} + \sin^2 \frac{\theta_{cb}}{2}= 0.109$

$\theta = \frac{\pi}{5}$：$\sin^2 \frac{\theta_{ab}}{2} = 0.345$，$\sin^2 \frac{\theta_{ac}}{2} + \sin^2 \frac{\theta_{cb}}{2}= 0.191$

……

正統(tǒng)量子力學(xué)做出了與符合“定域原則”替代理論完全不同的預(yù)言。

這樣，我們就可以利用實(shí)驗(yàn)去驗(yàn)證愛因斯坦的觀點(diǎn)了。

迄今為止的實(shí)驗(yàn)都表明貝爾不等式被違反了，在這個(gè)意義下我們說量子力學(xué)是個(gè)“非定域”的理論，對(duì)一個(gè)糾纏態(tài)，某個(gè)局部的測(cè)量會(huì)影響空間分離的另一個(gè)局部的狀況，這是一種超越距離的瞬時(shí)的量子態(tài)的坍縮。

當(dāng)然我們不能因此就小覷（undervalue）愛因斯坦的貢獻(xiàn)，一個(gè)偉大物理學(xué)家的錯(cuò)誤理論往往比一個(gè)平庸物理學(xué)家的正確理論對(duì)學(xué)科的貢獻(xiàn)大的多得多。（這意味著在物理學(xué)中追求新穎比追求正確更有價(jià)值。）

閱讀愛因斯坦1935年的論文，我們能夠感受到愛因斯坦強(qiáng)健的物理思維，即把哲學(xué)的立場(chǎng)——對(duì)“物理現(xiàn)實(shí)”的堅(jiān)持——翻譯為物理的選擇——保留“定域原則”，還是保留“不確定原理”——進(jìn)而挑戰(zhàn)量子理論已經(jīng)完備的正統(tǒng)觀點(diǎn)。

愛因斯坦的這個(gè)工作也被看做是今天熱門的量子信息學(xué)的奠基工作，這篇論文在物理評(píng)論網(wǎng)站上顯示已經(jīng)被引用了4249次，而獲得了諾貝爾獎(jiǎng)的康普頓散射的論文也才僅僅被引用了210次。